Понятие о равных треугольниках и первичные представления о равных фигурах
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать равные фигуры и равные треугольники по наложению и соответствию элементов, формулировать признаки равенства в простейших случаях и применять это умение при решении двух практических задач.
- Образовательная задача: сформировать представление о равных фигурах, равных треугольниках и соответствующих вершинах, сторонах и углах.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать геометрические фигуры, выделять существенные признаки, строить рассуждение и проверять вывод наложением или измерением.
- Коммуникативная задача: учить аргументированно обсуждать результат в парах и группах, задавать уточняющие вопросы и корректно принимать другую точку зрения.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность геометрических построений, самостоятельность выбора способа проверки и понимание роли точности в инженерных и технических профессиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию геометрических объектов через практическое действие.
- Осознают ценность точности и доказательности при выполнении чертежей и сравнении фигур.
- Развивают самостоятельность, выбирая способ проверки равенства фигур: наложение, измерение или рассуждение.
- Понимают связь геометрических знаний с деятельностью архитектора, конструктора, дизайнера и инженера.
Метапредметные
- Познавательные: сравнивают фигуры, выделяют их элементы, устанавливают соответствие и формулируют вывод на основании наблюдений.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность проверки, осуществляют самоконтроль и исправляют неточности.
- Коммуникативные: формулируют мнение, приводят аргументы, слушают партнёра и согласуют общий вывод.
- Работают с графической информацией, переводят результат практического действия в математическую запись и текстовое объяснение.
Предметные
- Знать определение равных фигур и равных треугольников.
- Уметь проверять равенство фигур наложением и объяснять, что совпадение при наложении означает равенство.
- Уметь устанавливать соответствие вершин, сторон и углов двух треугольников.
- Уметь записывать равенство треугольников с соблюдением порядка соответствующих вершин.
- Уметь решать простейшие задачи на нахождение неизвестного элемента равных треугольников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения геометрии через задачу на точность и совпадение конструкций.
- Проявляют готовность отстаивать обоснованное мнение без обесценивания позиции партнёра.
- Оценивают собственную уверенность в распознавании равных фигур и планируют дальнейшее улучшение результата.
- Формируют ответственное отношение к аккуратности чертежа как условию надёжного вывода.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования по проблемному вопросу.
- Планируют действия: сравнить фигуры, установить соответствие, проверить совпадение, записать вывод.
- Контролируют правильность наложения и порядок записи вершин.
- Оценивают решение по критериям и корректируют ошибочное соответствие элементов.
Познавательные УУД
- Выделяют признаки, по которым фигуры можно считать равными.
- Классифицируют пары фигур как равные или неравные и обосновывают классификацию.
- Моделируют наложение фигур с помощью прозрачного листа или вырезанных шаблонов.
- Устанавливают причинно-следственную связь между совпадением всех точек фигур и равенством их элементов.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по распределённым ролям: исполнитель наложения и проверяющий соответствие.
- Задают вопросы: «Какая вершина соответствует данной?» и «Почему вы считаете фигуры равными?».
- Аргументируют вывод с использованием математических терминов.
- Разрешают разногласия через повторную проверку и обращение к определению.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране проблемный вопрос: «Достаточно ли похожести фигур, чтобы назвать их равными?».
- Распечатать для каждого ученика комплект из четырёх пар фигур: две пары равных треугольников в разных положениях и две пары неравных фигур.
- Подготовить по одному прозрачному листу или кальке на пару для проверки наложением.
- Подготовить ножницы и бумажные шаблоны треугольников по одному комплекту на парту.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые на распознавание, повышающие на соответствие элементов, дополнительные на нахождение неизвестной стороны или угла.
- Подготовить слайд с двумя равными треугольниками и обозначениями вершин, а также с примером неверного порядка записи.
- Вывести на доску памятку: «Равные фигуры совпадают при наложении; соответствующие элементы занимают одинаковое положение».
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета по одной на каждого ученика.
- Организовать на доске место для итоговой схемы и критериев самостоятельной работы.
- Подготовить линейки, карандаши и транспортиры по одному комплекту на парту; проектор или интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать мотивацию через практическую проблему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два бумажных треугольника, один из которых перевёрнут. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как исследователи и конструкторы. Посмотрите на две детали: они расположены по-разному. Можно ли заранее сказать, что это одна и та же форма? Что нужно проверить, чтобы не ошибиться?» | Рассматривают изображения, формулируют предположения: «Нужно сравнить размеры», «Можно повернуть один треугольник», «Нужно совместить их». |
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре бумажные треугольники и прозрачный лист. «Проведите короткое исследование. Положите один треугольник на другой, попробуйте повернуть или перевернуть верхний. Зафиксируйте, совпали ли они полностью. Пока не используйте слово “равные” без объяснения: сначала найдите основание для вывода». | В парах выполняют наложение, поворачивают и переворачивают шаблоны, называют результат: «Фигуры совпали полностью» или «Совпала только часть». |
1 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала каждый сформулируйте свой ответ, затем сравните его с партнёром. Нам важно понять, чем полное совпадение отличается от внешнего сходства». | Индивидуально формулируют признак, обсуждают его в паре, две-три пары сообщают вывод классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что положение фигуры на листе может измениться, а её форма и размеры — нет. Теперь выясним, как геометрия точно описывает полное совпадение фигур».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о треугольнике и его элементах, необходимые для введения соответствия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает треугольник $ABC$. «Назовите его вершины, стороны и углы. Какими буквами обозначают сторону, соединяющую вершины $A$ и $B$, и угол с вершиной $C$? Почему порядок букв в обозначении угла важен?» | Называют вершины $A$, $B$, $C$, стороны $AB$, $BC$, $AC$, углы с вершинами $A$, $B$, $C$; отвечают: «В обозначении угла средняя буква показывает вершину». |
2 мин | Учитель демонстрирует второй треугольник $A_1B_1C_1$. «Представим, что эти треугольники можно совместить. Какая вершина должна совпасть с $A$, если ей соответствует $A_1$? Какие стороны тогда становятся соответствующими?» | Устанавливают соответствия: $A o A_1$, $B o B_1$, $C o C_1$; называют пары сторон $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$. |
2 мин | Учитель предлагает быстрое задание «Верно — неверно»: «Если $A$ соответствует $B_1$, а $B$ соответствует $A_1$, можно ли записать равенство как $ABC=A_1B_1C_1$? Объясните». | Поднимают сигнальные карточки, обсуждают ответ и формулируют: «Нет, порядок вершин должен отражать соответствие; нужно записать $ABC=B_1A_1C_1$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что треугольник состоит из вершин, сторон и углов, а запись должна показывать соответствие элементов. Теперь сформулируем точное определение равенства фигур».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две пары треугольников: в первой совпадают два угла, но размеры различны; во второй треугольники расположены по-разному, но совпадают при наложении. «Перед вами два случая. В первом треугольники похожи, но один больше. Во втором один треугольник повернут. Какой случай можно назвать равенством? На каком действии основан ваш ответ?» | Сравнивают пары, отвечают: «Равными являются треугольники, которые полностью совпадают при наложении; похожие по форме, но разные по размеру — не равны». |
2 мин | Учитель записывает на доске проблемный вопрос и предлагает сформулировать цель. «Как научиться распознавать равные фигуры, правильно устанавливать соответствующие элементы и применять это к задачам? Сформулируйте цель одним предложением». | Предлагают формулировки: «Узнать определение равных фигур», «Научиться проверять равенство треугольников и находить соответствующие элементы». Класс принимает общую цель. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло потому, что внешнее сходство ещё не доказывает равенство. Наша задача — открыть признак полного совпадения и научиться пользоваться соответствием элементов».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определение равных фигур и равных треугольников через практическое наложение и математическую запись.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выполняет наложение двух бумажных фигур. «Если при наложении одна фигура полностью совмещается с другой, не остаётся выступающих частей и пробелов, такие фигуры называют равными. Запишите определение. Обратите внимание: равенство не зависит от того, как фигура повернута или отражена». | Записывают определение: «Две фигуры называются равными, если при наложении они совмещаются». Повторяют определение своими словами. |
3 мин | Учитель показывает треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. «Если при наложении вершина $A$ совпала с $A_1$, $B$ — с $B_1$, $C$ — с $C_1$, эти вершины называют соответствующими. Соответствующие стороны и углы также совпадают. Посмотрите на доску и проследите цепочку соответствий». | Записывают соответствия вершин, сторон и углов; проговаривают: «$AB$ соответствует $A_1B_1$, угол $A$ — углу $A_1$». |
2 мин | Учитель объясняет запись. «При записи равенства треугольников порядок букв имеет смысл. Если $A$ соответствует $A_1$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$, пишем $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$. Если изменить порядок только в одном треугольнике, соответствие нарушится». | Составляют две правильные записи равенства по предложенным схемам, находят ошибочную запись и исправляют её. |
2 мин | Учитель применяет приём «Сократовский диалог»: «Что произойдёт с соответствующими сторонами при полном наложении? Что можно сказать о соответствующих углах? Можно ли утверждать, что у равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы?» | Отвечают: «Соответствующие стороны совпадут», «Соответствующие углы совпадут», «Да, все соответствующие элементы равны». |
Запись в тетрадях
- Две фигуры называются равными, если при наложении они совмещаются.
- У равных треугольников соответствующие вершины, стороны и углы совпадают.
- Порядок букв в записи равенства треугольников задаёт соответствие вершин.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили определение не из запоминания, а из действия — наложения. Теперь проверим, умеем ли мы применять это определение и не путать равенство с похожестью».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание равных фигур и установление соответствующих элементов в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с треугольниками $ABC$ и $DEF$, где при наложении $A$ совпадает с $D$, $B$ — с $E$, $C$ — с $F$. «Работаем в парах. Запишите равенство треугольников, назовите соответствующие стороны и углы. Один ученик объясняет, второй проверяет порядок букв». | Записывают $\triangle ABC=\triangle DEF$, называют пары $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $AC$ и $DF$; проверяют работу партнёра по рисунку. |
2 мин | Учитель предлагает устный разбор: «Треугольник $KLM$ равен треугольнику $PQR$, причём $K$ соответствует $Q$, $L$ — $P$, $M$ — $R$. Как правильно записать равенство? Какая сторона соответствует $KL$?» | Отвечают: «$\triangle KLM=\triangle QPR$; стороне $KL$ соответствует $QP$». |
2 мин | Учитель организует приём «Светофор». «Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно установить соответствие, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если пока не понимаете порядок записи. По сигналам выберем темп следующего задания». | Показывают карточки, кратко называют затруднение: «Путаю соответствующие вершины» или «Не уверен в записи». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство уже умеет читать соответствие по порядку букв. Теперь каждый проверит себя индивидуально, а затем сверит решение с эталоном».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение определением равных фигур и умение применять его к простым задачам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень самостоятельно. Базовый обязателен для всех; повышающий можно выбрать, если базовый выполняете уверенно; дополнительный — для тех, кто хочет проверить себя на новом условии. Работайте молча, чертёж подписывайте аккуратно». | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальное выполнение. |
5 мин | Учитель предлагает задания. «Базовый уровень: по рисунку установите соответствие вершин и запишите равенство двух треугольников. Повышенный уровень: если $\triangle ABC=\triangle DEF$, $AB=7$ см, $BC=5$ см, $\angle C=42^\circ$, найдите $DE$, $EF$ и $\angle F$. Дополнительный уровень: объясните, почему два треугольника с одинаковыми углами могут не быть равными». | Выполняют выбранные задания: устанавливают соответствия, переносят известные значения на соответствующие элементы, формулируют объяснение о различии размеров подобных фигур. |
3 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку. «Сверьте не только ответ, но и ход рассуждения. Отметьте плюс, если соответствие установлено верно, и вопросительный знак, если ошибка связана с порядком букв или переносом значения. Исправление выполните другим цветом». | Сверяют работу с эталоном, отмечают ошибки, исправляют запись и ставят самооценку по выбранному уровню. |
Эталон решения
Если $\triangle ABC=\triangle DEF$, то $A$ соответствует $D$, $B$ — $E$, $C$ — $F$. Поэтому стороне $AB$ соответствует $DE$, стороне $BC$ — $EF$, углу $C$ — углу $F$. Следовательно, $DE=7$ см, $EF=5$ см, $\angle F=42^\circ$. Основание вывода: соответствующие элементы равных треугольников равны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что равенство треугольников позволяет переносить известные значения на соответствующие элементы. В конце урока проверим, что каждый может объяснить не только ответ, но и основание своего вывода».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить степень его освоения и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу. «Достаточно ли того, что фигуры похожи? Как доказать, что они равны? Что означает порядок букв в записи равенства треугольников? Сформулируйте ответы коротко и точно». | Отвечают: «Похожести недостаточно; при равенстве фигуры совмещаются при наложении», «Порядок букв показывает соответствующие вершины». |
1 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход». «На отдельной полоске напишите: 1) определение равных фигур; 2) одну пару соответствующих элементов; 3) вопрос, который ещё требует тренировки». | Пишут три пункта, сдают билет при выходе или передают учителю. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии. «Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не количество записей, а правильное соответствие и объяснение, почему фигуры равны». | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, показывают цвет самооценки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранного уровня, без ошибок установлено соответствие вершин, сторон и углов, запись равенства треугольников выполнена в правильном порядке, объяснение опирается на определение.
- «4» — выполнены основные задания, допущена одна неточность в обозначении или переносе значения, но общий способ рассуждения выбран верно и ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — верно выполнено базовое распознавание равных фигур или установлена часть соответствий, однако допущены ошибки в порядке записи либо в переносе данных на соответствующие элементы.
- Ниже базового уровня — требуется дополнительная работа с моделями наложения и повторное установление соответствий по цветным меткам.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о равных фигурах и равных треугольниках? | Проверка осознания определения и ключевого признака полного совпадения. |
Как вы определяли, какая вершина одного треугольника соответствует вершине другого? | Выявление понимания соответствия элементов и порядка букв в записи. |
Какое задание оказалось самым сложным: наложение, запись равенства или перенос числовых значений? | Определение конкретной точки затруднения для коррекционной работы. |
Что вы сможете объяснить однокласснику на следующем уроке? | Оценка уровня самостоятельности и перехода от понимания к объяснению. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что равные фигуры полностью совмещаются при наложении, даже если они повернуты или отражены. Для треугольников особенно важно правильно определить соответствующие вершины и сохранить их порядок в записи. Типичная ошибка — переносить длину или угол не на соответствующий элемент, поэтому всегда проверяйте соответствие по рисунку. На следующем уроке мы продолжим исследовать равенство треугольников и узнаем, какие условия позволяют доказать его без непосредственного наложения».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание равных фигур и равных треугольников по рисункам; в каждом установить соответствие вершин и записать равенство треугольников. | Закрепляет определение равных фигур и порядок записи; при проверке смотреть на соответствие вершин и аккуратность обозначений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых по равенству треугольников нужно найти 2–3 неизвестные стороны или угла; к каждому ответу записать основание переноса значения. | Формирует применение свойства соответствующих элементов; при проверке смотреть на аргументацию и правильный выбор соответствующего элемента. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пару равных треугольников в разных положениях, обозначить соответствующие вершины, стороны и углы, а затем придумать вопрос на нахождение неизвестного элемента и решить его. | Развивает создание математической модели и умение объяснять соответствие; при проверке смотреть на корректность чертежа, записи и решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить равенство двух фигур? Что означает совпадение при наложении? Как записать равенство треугольников, если $A$ соответствует $D$, $B$ соответствует $E$, а $C$ соответствует $F$? Какая сторона соответствует $AB$? Почему у равных треугольников равны соответствующие углы?»
