Первый признак равенства треугольников: применение при решении задач
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик применит первый признак равенства треугольников не менее чем в двух задачах на доказательство и объяснит, почему выбранный угол является углом между указанными сторонами.
- Образовательная задача: повторить формулировку первого признака равенства треугольников и условие его применения.
- Образовательная задача: отработать распознавание соответствующих вершин, сторон и углов в паре треугольников.
- Развивающая задача: учиться выстраивать доказательство по условию, обосновывать каждый шаг и обнаруживать недостаточность данных.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за точность геометрических рассуждений и уважительное обсуждение различных способов решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску краткого и логически обоснованного способа доказательства геометрического утверждения.
- Осознают значение точных измерений и доказательств в строительстве, проектировании и технических профессиях.
- Принимают ответственность за самостоятельную проверку соответствия условия задачи формулировке признака.
- Уважительно относятся к аргументам одноклассников и готовы пересмотреть собственное решение при обнаружении ошибки.
Метапредметные
- Извлекают из текста геометрической задачи данные о равных сторонах и углах и представляют их на чертеже.
- Сопоставляют порядок записи вершин треугольников с соответствием равных элементов.
- Планируют последовательность доказательства и проверяют достаточность данных до применения признака.
- Формулируют выводы устно и письменно, используя геометрические обозначения и точные термины.
Предметные
- Знают первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны.
- Умеют определять угол, заключённый между заданными сторонами, и отличать его от угла, не являющегося углом между ними.
- Умеют устанавливать соответствие вершин и записывать равенство треугольников в правильном порядке.
- Применяют признак для доказательства равенства треугольников и получения равенства соответствующих сторон и углов.
- Объясняют, почему данных задачи достаточно или недостаточно для применения первого признака.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы: научиться видеть структуру доказательства, а не только запоминать формулировку признака.
- Оценивают собственную готовность применять признак и обозначают, на каком шаге им может понадобиться поддержка.
- Проявляют настойчивость при проверке чертежа и исправлении неточностей в рассуждении.
- Связывают точность геометрического доказательства с ответственностью за результат совместной и практической работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения после анализа условия и выбирают, какие данные требуется сопоставить.
- Составляют план доказательства: установить соответствие вершин, проверить две стороны и заключённый между ними угол, записать вывод.
- Сверяют решение с критериями и эталоном, отмечая пропущенные обоснования.
- Корректируют решение, если обнаруживают, что сравниваемый угол не заключён между заданными сторонами.
- Оценивают результат индивидуальной работы и определяют следующий шаг для устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные задачи и переводят словесное условие на язык чертежа и геометрических обозначений.
- Сравнивают элементы двух треугольников и устанавливают взаимно однозначное соответствие вершин.
- Классифицируют данные как достаточные или недостаточные для применения первого признака.
- Строят логическую цепочку от равенства двух сторон и угла между ними к равенству треугольников.
- Проверяют вывод о равенстве соответствующих элементов на основании установленного соответствия вершин.
Коммуникативные УУД
- В паре объясняют партнёру выбор соответствующих сторон и угла, выслушивают альтернативный способ рассуждения.
- Задают уточняющие вопросы о том, какие именно стороны образуют данный угол.
- Аргументируют применение или неприменимость признака, ссылаясь на все его необходимые условия.
- Распределяют роли в парной работе: один ученик предлагает доказательство, второй проверяет соответствие элементов и полноту обоснования.
- Корректно указывают на ошибку в доказательстве и предлагают способ её исправить.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для парной работы с двумя заданиями: на прямое применение признака и на анализ недостаточности данных; распечатать по одной карточке на пару.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней с заданиями на доказательство, установление соответствия элементов и поиск ошибки; распечатать по одной карточке на ученика.
- Подготовить листы с критериями самопроверки и кратким эталоном решения для самостоятельной работы; распечатать по одному комплекту на ученика.
- На доске заранее оставить место для схемы «две стороны — угол между ними» и для записи последовательности доказательства.
- Подготовить слайд или запись на доске с двумя чертежами: в первом отмечен угол между заданными сторонами, во втором — угол, не заключённый между ними.
- Подготовить цветные маркеры или мел двух цветов, чтобы отдельно выделять соответствующие стороны и угол.
- Подготовить таймер для этапов парной и самостоятельной работы; при отсутствии экрана использовать часы.
- Обеспечить каждому ученику тетрадь, линейку и ручку; дополнительные чертёжные инструменты к уроку не требуются.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать работу класса и показать практическую ценность точного применения признака равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня мы будем не просто повторять формулировку, а использовать её как инструмент доказательства. Геометрические рассуждения нужны, например, когда проверяют, совпадают ли детали конструкции по заданным размерам. Важно не угадать по рисунку, а обосновать вывод». | Готовят тетради и инструменты, записывают дату, настраиваются на работу; называют возможные области применения геометрии: «строительство», «проектирование», «изготовление деталей». |
2 мин | Учитель показывает на доске два треугольника с одинаково отмеченными двумя сторонами и одним углом, но один из углов отмечен между сторонами, а другой — напротив одной из них. «Посмотрите на рисунки. На глаз треугольники могут казаться похожими, но достаточно ли этого, чтобы утверждать, что они равны? Какой рисунок позволяет применить известный нам признак? Подумайте несколько секунд, затем обсудите ответ с соседом. Сегодня проверим, как не попасться на похожий, но недостаточный набор данных». | Сравнивают два изображения, 30 секунд обдумывают ответ и около минуты обсуждают его в паре; предполагают: «Нужен угол между двумя отмеченными сторонами». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже заметили, что в задаче важно не только количество известных элементов, но и их расположение. Сначала восстановим точную формулировку признака, а затем применим её к задачам».
Этап 2. Актуализация знаний и быстрая проверка (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулировку первого признака и проверить готовность распознавать угол между двумя сторонами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Откройте тетради и начертите небольшой треугольник ABC. Отметьте в нём стороны AB и AC, а затем обведите угол, который образуют именно эти стороны. Как он называется и какой вершиной обозначается? Теперь сформулируйте, какие три элемента должны быть равны в двух треугольниках, чтобы мы могли применить первый признак». Учитель фиксирует на доске схему: «две стороны + угол между ними». | Чертят треугольник ABC, выделяют стороны AB и AC и угол BAC; отвечают: «Угол BAC с вершиной A», «Две стороны и угол между ними». |
3 мин | «Проверим формулировку на примере. В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, AC = DF, ∠BAC = ∠EDF. Какой угол является углом между сторонами AB и AC? А между DE и DF? Запишите соответствие вершин и скажите, можно ли утверждать равенство треугольников». Учитель просит одного ученика проговорить ответ целиком и уточняет, что обозначения должны идти в соответствующем порядке. | Называют ∠BAC и ∠EDF, устанавливают соответствие A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F; формулируют: «△ABC = △DEF по первому признаку равенства треугольников». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают краткую опору: «Первый признак: две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника — треугольники равны».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулировку восстановили и проверили соответствие элементов. Теперь договоримся, по каким шагам будем строить доказательство, чтобы ни один необходимый элемент не потерялся».
Этап 3. Постановка учебной задачи и план решения (4 мин)
Цель этапа: сформулировать критерии успешного решения и согласовать алгоритм применения первого признака.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Представьте, что в условии даны две стороны и равный угол, но не сказано, где он расположен. Можно ли сразу начинать доказательство? Что следует проверить в первую очередь? Предложите шаги решения, а я запишу их на доске. Если ваши варианты различаются, объясните, какой шаг защищает нас от ошибки». Учитель принимает предложения и помогает упорядочить их. | Предлагают шаги: «Сначала отметить данные на чертеже», «Установить соответствие вершин», «Проверить, что угол находится между нужными сторонами», «Только потом записать равенство треугольников». |
2 мин | Учитель записывает алгоритм: 1) выписать данные; 2) установить соответствие вершин; 3) проверить две стороны и заключённый между ними угол; 4) сделать вывод о равенстве треугольников; 5) использовать равенство соответствующих элементов, если это требуется. «Сегодня ваша задача — не только получить верный ответ, но и обосновать каждый шаг. В парной работе можно будет выбрать прямое доказательство или задание с поиском ошибки». | Записывают алгоритм в тетрадь, задают уточняющие вопросы; выбирают, какое задание повышенного уровня готовы попробовать в парной работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас есть общий план и критерий самопроверки — угол должен быть именно между заданными сторонами. Перейдём к полному разбору доказательства и проверим, как этот план работает».
Этап 4. Решение задачи с проговариванием доказательства (10 мин)
Цель этапа: отработать полный ход доказательства по первому признаку и переход от равенства треугольников к равенству соответствующих элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает условие задачи на доске: «Дано: AB = DE, AC = DF, ∠BAC = ∠EDF. Докажите, что △ABC = △DEF». «Начертите рядом два треугольника и отметьте все данные. Не торопитесь записывать вывод. Сначала проследите, какие вершины должны соответствовать друг другу. По каким данным это видно?» | Чертят два треугольника, отмечают равные стороны и углы, сопоставляют вершины: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. |
4 мин | «Сравним треугольники ABC и DEF. Назовите первую пару соответствующих равных сторон. Теперь вторую пару. Какой угол образован сторонами AB и AC? Каким углом образованы стороны DE и DF? Убедитесь, что это именно углы между уже указанными сторонами. Какой признак теперь можно применить? Запишите доказательство в две-три строки, обязательно со ссылкой на признак». Учитель приглашает ученика озвучить связное доказательство. | Записывают AB = DE, AC = DF, ∠BAC = ∠EDF; проговаривают: «Угол BAC заключён между AB и AC, угол EDF — между DE и DF. Следовательно, △ABC = △DEF по первому признаку». |
4 мин | «Продолжим задачу: если дополнительно требуется найти, чему равен BC, как использовать уже полученный результат? Не измеряйте стороны по рисунку. Укажите основание для равенства. А если нужно установить равенство углов ABC и DEF, какие вершины сопоставляются? Проверьте порядок записи треугольников: он задаёт соответствие». Учитель выделяет цветом соответствующие стороны и углы. | Делают вывод BC = EF как равных соответствующих сторон; называют ∠ABC = ∠DEF как соответствующие углы; поясняют, что выводы следуют из равенства треугольников и соответствия вершин. |
Эталон решения
1. По условию AB = DE и AC = DF. 2. ∠BAC = ∠EDF; это углы между сторонами AB и AC, DE и DF соответственно. 3. Следовательно, △ABC = △DEF по первому признаку равенства треугольников. 4. При соответствии A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F получаем, например, BC = EF и ∠ABC = ∠DEF.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы доказали равенство треугольников не по внешнему виду, а по трём точно сопоставленным элементам. Теперь потренируемся в парах: в одном задании применим признак, а в другом проверим, хватает ли данных».
Этап 5. Парная практика с выбором задания (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в новой ситуации и аргументированно отличить достаточные данные от недостаточных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт по одной карточке на пару. «Выберите задание по готовности: первое — прямое доказательство, второе — анализ возможной ошибки. Можно выполнить оба, если останется время. В паре распределите роли: один строит доказательство, второй проверяет, что угол заключён между указанными сторонами. Через несколько минут поменяйтесь ролями». | Получают карточку, выбирают первое задание или начинают с повышенного, распределяют роли: доказывающий и проверяющий. |
5 мин | Учитель читает условие первого задания: «Дано: OA = OC, OB = OD, ∠AOB = ∠COD. Докажите, что △AOB = △COD». Затем предлагает задание на анализ: «В треугольниках PQR и XYZ известно, что PQ = XY, PR = XZ, ∠PQR = ∠XYZ. Можно ли по этим данным применить первый признак и доказать равенство треугольников? Обоснуйте ответ». Учитель подходит к парам и спрашивает: «Какие стороны образуют данный угол? Где находится вершина этого угла?» | В первом задании отмечают OA = OC, OB = OD и равные углы при O; заключают, что треугольники равны по первому признаку. Во втором замечают, что ∠PQR заключён между QP и QR, но среди заданных равных сторон указаны PQ и PR; формулируют: «Угол не заключён между двумя заданными сторонами, данных для первого признака недостаточно». |
2 мин | «Поменяйтесь ролями и проверьте решение партнёра по трём вопросам: верно ли установлено соответствие вершин, названы ли обе пары сторон, является ли угол заключённым между ними? Назовите партнёру одну сильную сторону решения и одно точное улучшение, если оно требуется. Затем одна пара кратко представит аргумент». | Проверяют работу партнёра по трём вопросам; дают обратную связь: «Верно сопоставлены вершины», «Нужно пояснить, между какими сторонами расположен угол»; одна пара представляет ответ классу. |
Эталон решения
Задание 1: OA = OC, OB = OD и ∠AOB = ∠COD. Угол AOB заключён между OA и OB, угол COD — между OC и OD. Следовательно, △AOB = △COD по первому признаку. Задание 2: ∠PQR образован сторонами QP и QR, а ∠XYZ — сторонами YX и YZ. Из условия задано равенство PQ = XY и PR = XZ, но не дана равенство второй стороны, образующей указанные углы. Первый признак применить нельзя; данных недостаточно для такого доказательства.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы потренировались и доказывать равенство, и обоснованно отказываться от поспешного вывода. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу, чтобы проверить, насколько уверенно вы применяете алгоритм без помощи партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (9 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить применение признака, установление соответствия элементов и умение обнаруживать ошибку в рассуждении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и показывает критерии на доске: «Выполните обязательное первое задание. Затем переходите к следующему; дополнительное задание — по желанию. На листе укажите не только вывод, но и обоснование. На работу отводится семь минут, после этого открою эталон для самопроверки». | Получают карточки, читают критерии, отмечают порядок заданий; выбирают, выполнять ли дополнительное задание. |
6 мин | Учитель обозначает задания на карточке: «Первое: даны MN = RS, MP = RT, ∠NMP = ∠SRT; докажите равенство △MNP и △RST. Второе: если эти треугольники равны в указанном порядке, укажите равную стороне NP сторону второго треугольника. Третье, дополнительное: объясните, почему равенство двух сторон и угла, не заключённого между ними, само по себе не позволяет сослаться на первый признак». Учитель наблюдает за работой и напоминает: «Сначала проверьте положение угла, затем записывайте вывод». | Индивидуально записывают доказательство первого задания, указывают соответствующую сторону ST во втором задании, а при выполнении дополнительного формулируют, что условие первого признака не выполнено. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сверьте решение по шагам, поставьте отметку за каждый выполненный критерий и исправьте ошибку другим цветом. Если вывод верен, но не объяснено, что угол заключён между заданными сторонами, это ещё не полное доказательство. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить признак самостоятельно, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока затрудняетесь». | Сверяют доказательство с эталоном, исправляют пропуски, отмечают результат самопроверки цветовой карточкой и записывают, какой шаг требует повторения. |
Эталон решения
1. MN = RS и MP = RT по условию. 2. ∠NMP = ∠SRT; это углы между указанными парами сторон. 3. Соответствие вершин: M ↔ R, N ↔ S, P ↔ T. 4. Следовательно, △MNP = △RST по первому признаку. 5. Стороне NP соответствует сторона ST. Дополнительный вывод: если угол не заключён между двумя заданными сторонами, условие первого признака не выполнено, поэтому ссылаться на него нельзя.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что для доказательства важны и правильный вывод, и полная запись обоснования. В завершение оценим, какой шаг стал надёжным и что ещё стоит повторить».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ действий, зафиксировать затруднения и выбрать домашнее задание по уровню готовности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Заполните короткий билет на выход: продолжите фразу “Чтобы применить первый признак, я проверяю…” и назовите один шаг, который сегодня получался уверенно, и один, который потребовал внимания. Это не оценка, а способ понять, что ещё нужно потренировать. Можно опереться на алгоритм на доске, но сформулируйте ответ своими словами». | Письменно завершают фразу: «Две стороны и угол между ними»; указывают уверенный шаг и затруднение, например: «Нужно внимательнее следить за порядком вершин». |
3 мин | Учитель показывает варианты домашней работы. «Обязательный уровень выполняют все. Повышающий выбирайте, если уверенно справились с самостоятельной работой; дополнительный — если хотите проверить рассуждение на новой ситуации. Запишите выбранный уровень. Перед выходом ответьте устно: чем угол между двумя сторонами отличается от просто данного угла? Какой вывод мы вправе сделать после установления равенства треугольников?» | Записывают домашнее задание выбранного уровня; отвечают: «Угол между сторонами имеет вершину в общей точке этих сторон», «Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов». |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие три элемента нужны для первого признака? Как проверить, что угол является углом между заданными сторонами? Что позволяет установить равенство треугольников после применения признака?»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания на доказательство в парной и самостоятельной работе, правильно установлено соответствие вершин, указано, что угол заключён между заданными сторонами, вывод обоснован первым признаком.
- «4» — основное доказательство выполнено верно и признак выбран правильно, но допущена одна неточность в записи соответствия вершин или пропущено пояснение положения угла.
- «3» — верно распознана часть данных и сделана попытка применить признак, однако в доказательстве есть пропуск обоснования либо требуется исправить соответствие элементов; ученик понимает, какая ошибка допущена после самопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие три элемента нужно сопоставить, чтобы применить первый признак? | Проверить осознанное воспроизведение условия признака. |
Как определить, является ли данный угол углом между двумя заданными сторонами? | Выявить понимание положения угла и предупредить типичную ошибку. |
На каком шаге самостоятельной работы вы остановились или сомневались? | Определить конкретное затруднение в алгоритме решения. |
Какое задание вы выбрали бы для дальнейшей тренировки и почему? | Поддержать самооценку и осознанный выбор уровня практики. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы применяли первый признак равенства треугольников и увидели, что одного перечисления трёх элементов недостаточно: угол должен быть заключён между указанными сторонами. Самая частая ошибка — сопоставить стороны и углы без проверки их расположения и порядка вершин. Проверьте дома свои записи и отметьте шаг, который требует дополнительной тренировки. На следующем уроке продолжим использовать равенство треугольников для доказательства геометрических свойств».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на доказательство равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними; в каждой задаче выполнить чертёж, обозначить данные и записать вывод с обоснованием. | Закрепить формулировку и алгоритм; при проверке смотреть, правильно ли сопоставлены вершины и указан ли угол между сторонами. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи, в которых после доказательства равенства треугольников требуется найти равную соответствующую сторону или угол; порядок вершин записать явно. | Научиться использовать следствия из равенства треугольников; при проверке обратить внимание на соответствие элементов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с чертежом, в которой первый признак применим, и задачу-ловушку с углом, не заключённым между заданными сторонами; к обеим написать краткое обоснование. | Развивать умение создавать условия задачи и критически оценивать достаточность данных; проверить точность формулировок и аргументации. |
