Окружность и круг: основные элементы, касательная и окружности треугольника
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока систематизировать знания об окружности, круге, хорде, диаметре, радиусе, дуге и касательной, а также научиться распознавать и обосновывать взаимное расположение прямой и окружности и выбирать способ построения вписанной или описанной окружности.
- Закрепить определения окружности, круга, радиуса, диаметра, хорды, дуги и касательной, а также связь между диаметром и радиусом.
- Научиться определять по рисунку взаимное расположение прямой и окружности и объяснять, почему радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Установить исследовательским способом свойства серединного перпендикуляра к отрезку и биссектрисы угла как геометрических мест точек.
- Развивать умение работать в парах и группах, аргументировать геометрические выводы, выполнять построения и осуществлять самопроверку по эталону.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию геометрических объектов и осознают практическую ценность точных построений.
- Принимают ответственность за результат индивидуальной и групповой работы, спокойно относятся к ошибке как к источнику нового знания.
- Осознают значение доказательного рассуждения для учебной и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении различных способов решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста учебника, рисунка, геометрической схемы и цифровой модели.
- Сравнивают случаи пересечения прямой и окружности, формулируют гипотезы и проверяют их построением.
- Планируют последовательность геометрического построения, контролируют соответствие результата условию.
- Работают в паре и группе, распределяют роли, представляют вывод и аргументируют его.
- Используют динамическую геометрическую модель или интерактивную доску для проверки предположений.
Предметные
- Знать определения окружности, круга, центра, радиуса, диаметра, хорды, дуги и касательной.
- Уметь различать окружность и круг, показывать на рисунке их элементы и устанавливать, что диаметр равен двум радиусам.
- Уметь определять три случая взаимного расположения прямой и окружности по числу общих точек.
- Знать и применять свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Понимать связь серединного перпендикуляра и биссектрисы угла с геометрическими местами точек, распознавать центры описанной и вписанной окружностей треугольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение исследовательской задачи и оценивают собственную готовность применять свойства окружности.
- Формируют смысл учения через связь геометрических построений с архитектурой, инженерией, дизайном и картографией.
- Проявляют познавательную инициативу при выборе задания базового или повышенного уровня.
- Соблюдают культуру математической речи и конструктивного взаимодействия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с опорой на проблемный вопрос и планируют последовательность действий.
- Проверяют правильность чертежа по заданным признакам и находят несоответствия.
- Сверяют решение с эталоном, фиксируют ошибку и выбирают способ её исправления.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и приёма «Светофор».
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки окружности, круга, хорды, диаметра и касательной.
- Устанавливают причинно-следственную связь между расстоянием от центра до прямой и количеством общих точек.
- Строят модели геометрических мест точек, формулируют и проверяют гипотезы.
- Сравнивают центр описанной и центр вписанной окружности треугольника.
- Преобразуют текстовое условие в чертёж и используют чертёж для доказательного рассуждения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: чертёжник, аналитик, докладчик и контролёр.
- Задают уточняющие вопросы по условию и корректно возражают, приводя геометрический аргумент.
- Объясняют ход построения партнёру, используя определения и свойства.
- Согласуют общий вывод группы и представляют его классу в течение установленного времени.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель с окружностью, кругом, хордой, диаметром, дугой и тремя случаями взаимного расположения прямой и окружности.
- Вывести на доску опорную схему: «окружность — множество точек, равноудалённых от центра», «круг — часть плоскости внутри окружности», «диаметр = 2 радиуса».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности по одной на каждого ученика: минимальный, базовый и повышенный уровни.
- Распечатать исследовательские листы для групп по одному на группу: «Серединный перпендикуляр», «Биссектриса угла», «Касательная».
- Подготовить циркули по одному на каждого ученика, линейки, угольники, карандаши и ластики.
- Подготовить на каждую парту карточку с изображениями прямой и окружности для определения числа общих точек.
- Подготовить лист самооценки и сигнальные карточки «зелёный — понял», «жёлтый — есть вопрос», «красный — нужна помощь».
- Подготовить компьютер, проектор или интерактивную доску; при наличии оборудования открыть динамическую геометрическую модель.
- На доске заранее оставить место для формулировок свойств касательной, серединного перпендикуляра и биссектрисы.
- Предусмотреть опору на текст учебника: учащиеся используют определения и теоретические формулировки из раздела об окружности, без указания страниц и номеров заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать готовность класса и вызвать интерес к исследованию свойств окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, циркуля и карандаша. Сегодня нам понадобятся не только знания, но и точность построений. На доске вы видите изображение колеса, круглого окна и дорожного знака. Что объединяет эти предметы?" | Проверяют готовность к уроку, рассматривают изображения и формулируют предположение: "Во всех предметах есть окружность или круг". |
2 мин | Учитель показывает на экране окружность, затем закрашивает её внутреннюю область: "Посмотрите внимательно: изменилось ли множество точек самой границы? Чем отличаются окружность и круг? Сегодня мы проверим, какие элементы можно выделить в этих фигурах и почему касательная обладает особым свойством." | Отвечают: "Окружность — граница, а круг включает внутреннюю область"; записывают тему урока и называют вопросы, на которые хотят получить ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что привычное слово «круг» скрывает несколько важных геометрических понятий. Сейчас восстановим необходимые определения и подготовим основу для исследования свойств."
Этап 2. Актуализация знаний и понятийный разогрев (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения и выявить затруднения в различении элементов окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно подпишите на карточке центр, радиус, хорду, диаметр и дугу. У вас есть 30 секунд на размышление, затем обсудите ответы с соседом. Не называйте только элементы — объясняйте, по какому признаку вы их узнали." | Самостоятельно подписывают элементы на рисунке, затем в парах сравнивают обозначения и исправляют неточности. |
2 мин | Учитель выводит на экран пять утверждений: "Радиус соединяет центр с точкой окружности; хорда соединяет любые две точки окружности; диаметр — хорда, проходящая через центр; дуга является частью окружности; круг состоит только из граничных точек. Какие утверждения верны? Обоснуйте исправление последнего." | Отмечают верные утверждения, объясняют: "Последнее утверждение неверно: круг включает все точки внутри окружности и на её границе". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Сколько радиусов можно провести в одной окружности? Как связаны радиус и диаметр? Может ли хорда быть больше диаметра?" Затем фиксирует на доске формулу: $d=2r$. | Отвечают: "Радиусов бесконечно много"; "Диаметр в два раза больше радиуса"; "Хорда не может быть больше диаметра, потому что диаметр — самая длинная хорда". |
Запись в тетрадях: «Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки — центра. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Радиус — отрезок от центра до точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр. $d=2r$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили язык темы: центр, радиус, диаметр, хорда и дуга. Теперь выясним, что происходит, когда прямая приближается к окружности и касается её."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и план исследовательской работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске окружность и подвижную прямую: "Передвигая прямую, мы получаем разные положения. В одном случае общих точек нет, в другом — две, а в третьем — только одна. Назовите эти случаи и предположите, от чего они зависят." | Наблюдают модель, называют положения: "Прямая не пересекает окружность, пересекает её в двух точках или касается в одной точке"; выдвигают гипотезу о зависимости от расстояния от центра до прямой. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Как доказать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной? Где могут находиться точки, равноудалённые от концов отрезка? Как найти центр окружности, проходящей через вершины треугольника?" Учитель принимает версии и формулирует план: повторить теорию, провести исследование, решить разноуровневые задания, выполнить рефлексию. | Формулируют цель: "Научиться распознавать случаи расположения прямой и окружности и применять свойства при построениях"; записывают план работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас появился исследовательский маршрут: сначала определим признаки касательной, затем проверим свойства геометрических мест точек и в конце применим всё в задачах. Переходим к теоретическому ядру урока."
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания. Исследовательская работа (12 мин)
Цель этапа: систематизировать теорию о касательной, серединном перпендикуляре, биссектрисе и центрах окружностей треугольника через групповое исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель делит класс на три группы и раздаёт исследовательские листы. Группе 1: "Проведите отрезок AB, постройте его серединный перпендикуляр и отметьте на нём несколько точек. Измерьте расстояния до A и B. Сформулируйте вывод." Группе 2: "Постройте угол, отметьте точки на его биссектрисе и сравните расстояния от них до сторон угла." Группе 3: "Постройте окружность и касательную в точке T. Проведите радиус OT. Измерьте угол между OT и касательной и сформулируйте гипотезу." | Выполняют построения циркулем и линейкой, измеряют расстояния, заполняют таблицу наблюдений, распределяют роли внутри группы. |
3 мин | Учитель направляет исследование вопросами: "Что общего у всех точек серединного перпендикуляра? Почему для биссектрисы используется расстояние до сторон, а не до вершин? Что показывает измерение угла между радиусом и касательной?" | Обсуждают результаты и формулируют: "Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка"; "Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла"; "Радиус в точку касания перпендикулярен касательной". |
3 мин | Учитель систематизирует выводы на доске: "Запишите три свойства. 1. Прямая, перпендикулярная радиусу в его конце на окружности, является касательной. 2. Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от его концов. 3. Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон." | Записывают свойства в тетрадь, подчёркивают условия применения и выделяют слова «точка касания», «концы отрезка», «стороны угла». |
3 мин | Учитель показывает треугольник и объясняет: "Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности. Биссектрисы углов пересекаются в центре вписанной окружности. В первом случае центр равноудалён от вершин, во втором — от сторон." | По схеме определяют: "Окружность, проходящая через все вершины треугольника, описана около него; окружность, касающаяся всех его сторон, вписана в него"; сравнивают два центра. |
Запись в тетрадях
«Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка. Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис его углов.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Исследование подтвердило наши гипотезы и показало, что построения основаны на геометрических местах точек. Теперь проверим понимание теории на коротких заданиях с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить определения и свойства касательной, серединного перпендикуляра и окружностей треугольника в типовых ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "На рисунке окружность с центром O касается прямой в точке T. Угол между OT и прямой равен 90°. Назовите признак, по которому прямая является касательной. Затем объясните, почему прямая, проходящая через T и не перпендикулярная OT, не будет касательной." | В парах формулируют ответ: "Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касательная"; записывают обоснование. |
2 мин | Учитель предлагает задание: "В треугольнике ABC построены серединные перпендикуляры к AB и AC. Что можно сказать об их точке пересечения O? Какая окружность получится при построении с центром O и радиусом OA?" | Отвечают: "Точка O равноудалена от A, B и C; окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины и является описанной". |
2 мин | Учитель предлагает сравнить два утверждения: "Точка находится на биссектрисе угла. Точка находится на серединном перпендикуляре к отрезку. Какие равенства расстояний можно записать?" | Записывают: для биссектрисы расстояния до сторон равны; для серединного перпендикуляра $PA=PB$. Объясняют различие объектов, до которых измеряется расстояние. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили свойства не по внешнему виду рисунка, а по условиям и определениям. Следующий шаг — самостоятельная работа, где каждый выберет уровень и проверит собственную готовность."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание материала и закрепить алгоритм применения свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный минимум выполняют все. Затем можно перейти к базовому или повышенному уровню. Работайте самостоятельно, но аккуратно оформляйте чертежи: отмечайте центр, точку касания, прямой угол и равные отрезки." | Выбирают уровень, подписывают фамилию и приступают к работе. |
5 мин | Учитель контролирует выполнение и напоминает алгоритм: "Если видите касательную, ищите радиус в точку касания и прямой угол. Если требуется центр описанной окружности, вспоминайте серединные перпендикуляры. Если требуется центр вписанной окружности, ищите биссектрисы." | Выполняют задания: определяют элементы окружности; устанавливают число общих точек прямой и окружности; строят касательную; выбирают построение центра описанной или вписанной окружности. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и ход рассуждения. За каждое верное задание поставьте себе знак плюс, ошибку подчеркните и рядом запишите, какое свойство нужно повторить." | Проверяют работу по эталону, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
«Если прямая касается окружности в точке T, проводим радиус OT. По свойству касательной $OT\perp l$, поэтому угол между радиусом и прямой равен $90^\circ$. Для центра описанной окружности строим серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника; их пересечение равноудалено от всех трёх вершин. Для центра вписанной окружности строим биссектрисы двух углов; их пересечение равноудалено от всех трёх сторон.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие свойства уже стали инструментом, а какие требуют повторения. Ошибка в чертеже или обозначении не должна оставаться без объяснения — сейчас кратко выясним, что помогло вам решить задания."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результаты урока, зафиксировать затруднения и принять домашнее задание с выбором уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию: "Заполните лист самооценки. Закончите фразы: «Теперь я могу отличить…», «При решении задачи о касательной я сначала…», «Мне нужно повторить…». Затем покажите карточку: зелёная — могу объяснить однокласснику, жёлтая — решаю с опорой, красная — нужна помощь." | Заполняют лист, выбирают цвет карточки и формулируют личный результат: "Я научился находить радиус в точку касания" или "Мне нужно повторить отличие хорды от диаметра". |
2 мин | Учитель говорит: "Домашнее задание имеет три уровня. Обязательный уровень нужен каждому, повышающий помогает увереннее применять свойства, дополнительный предлагает построение и доказательство. Выберите посильный уровень, но ориентируйтесь не на лёгкость, а на возможность разобраться." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы: "Что называют касательной? Почему радиус перпендикулярен касательной? Чем отличаются центры вписанной и описанной окружностей?" |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, элементы чертежа обозначены, свойства сформулированы точно, решение содержит обоснование и построение выполнено аккуратно.
- «4» — выполнено не менее 75 процентов заданий, допущена одна содержательная или две технические ошибки, но определения и основная логика применения свойств сохранены.
- «3» — выполнено не менее половины обязательных заданий, распознаны основные элементы окружности и касательная, однако обоснование или построение содержит существенные неточности.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость повторить определения и выполнить корректирующие задания с опорой на схему свойств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о касательной и радиусе? | Выявление осознания ключевого свойства касательной. |
Как по рисунку определить, является ли прямая касательной? | Проверка понимания признака и алгоритма рассуждения. |
Чем отличаются центр описанной и центр вписанной окружности треугольника? | Проверка различения двух геометрических мест точек. |
Какое задание оказалось самым сложным и какую помощь вы выбрали бы? | Выявление индивидуальных точек затруднения и потребности в дифференцированной поддержке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали основные элементы окружности и круга и установили, что касательная связана с радиусом прямым углом. Мы также увидели, как серединный перпендикуляр и биссектриса помогают находить центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Самая частая ошибка — называть любую хорду диаметром, не проверив, проходит ли она через центр. Дома закрепите определения и выберите уровень задания, соответствующий вашей готовности. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на построение и доказательство свойств окружности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на распознавание окружности, круга, радиуса, диаметра, хорды и дуги; определить три случая взаимного расположения прямой и окружности; сформулировать свойство касательной. | Закрепляет определения и базовый алгоритм. При проверке обратить внимание на точность терминов, обозначение точки касания и различение хорды и диаметра. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задачи на применение свойства касательной и 2 задачи на построение центра описанной или вписанной окружности треугольника с письменным объяснением последовательности построения. | Формирует умение выбирать нужное свойство и обосновывать построение. Проверить наличие прямого угла, серединных перпендикуляров или биссектрис. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская работа: построить треугольник, его вписанную и описанную окружности, сравнить расположение двух центров и подготовить доказательство одного выбранного свойства; дополнительно описать практическое применение касательной. | Развивает исследовательское и доказательное мышление. При проверке оценить самостоятельность гипотезы, корректность чертежа и логичность доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка? Какое условие превращает прямую в касательную? Где находится центр описанной окружности треугольника? Где находится центр вписанной окружности?»
