Биссектриса угла
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать биссектрису угла, применять её свойство равенства частей и решать не менее 4 из 5 предложенных задач на нахождение углов и неизвестной величины.
- Сформулировать определение биссектрисы угла и выделить её обязательные признаки: луч проходит через вершину и делит угол на два равных угла.
- Научиться находить часть угла по градусной мере целого угла и целый угол по градусной мере его части.
- Освоить составление уравнения по условию равенства углов, образованных биссектрисой.
- Развивать умение проверять истинность геометрических утверждений и аргументировать ответ.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию геометрических объектов и понимают практическую ценность точных измерений.
- Осознают значение аккуратного чертежа, последовательного рассуждения и проверки результата.
- Принимают возможность выбора уровня задания и ответственно оценивают собственный результат.
- Уважительно обсуждают разные способы решения и аргументированно относятся к мнению одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи данные о целом угле, его частях и биссектрисе.
- Планируют решение по алгоритму: определить равные углы, записать соотношение, вычислить и проверить результат.
- Сравнивают утверждения, находят логические ошибки и обосновывают вывод.
- Работают в паре, формулируют вопросы и представляют решение с использованием математической речи.
Предметные
- Знать определение биссектрисы угла и её основное свойство.
- Уметь находить углы AOM и MOB, если OM — биссектриса угла AOB.
- Уметь находить целый угол как сумму двух равных частей и часть угла как половину целого.
- Уметь составлять и решать уравнение вида $3x+5=5x-19$.
- Уметь применять свойство двух последовательно расположенных биссектрис внутри угла.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и соотносят её с результатом самостоятельной работы.
- Проявляют готовность исправлять ошибку после проверки по эталону.
- Осознают ценность доказательного рассуждения вместо угадывания ответа.
- Выбирают посильный и повышенный уровень задания с учётом собственных возможностей.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную задачу по проблемному чертежу.
- Планируют последовательность решения задач рабочего листа.
- Проверяют вычисления и соответствие ответа условию.
- Оценивают продвижение с помощью листа самооценки и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки биссектрисы и отличают их от несущественных.
- Моделируют условие задачи с помощью чертежа и буквенных обозначений.
- Устанавливают связь между целым углом и его равными частями.
- Анализируют истинность геометрических утверждений и строят контрпример.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему углы при биссектрисе равны.
- Задают уточняющие вопросы к условию и ответу.
- Согласовывают общий вариант решения в паре.
- Аргументированно защищают вывод и корректно исправляют неточность одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заданиями 1–10 по одному на каждого ученика и три карточки уровней для дополнительной дифференциации.
- Подготовить карточки «верно/ложно» для задания 5 по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску или экран изображения угла AOB, луча OM и схему «целый угол = сумма двух частей».
- Подготовить цветные маркеры: стороны угла — синие, биссектриса — красная, равные части — одинаковые дуги.
- Раздать каждой паре линейку, транспортир и один лист для чернового чертежа.
- Записать на доске алгоритм: 1) найти равные углы; 2) составить равенство или сумму; 3) вычислить; 4) проверить.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь.
- Оборудовать рабочее место учителя проектором или интерактивной доской для демонстрации чертежей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и вызвать интерес к поиску точного признака биссектрисы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка, рабочий лист и линейка. Сегодня мы будем не просто вычислять углы, а выяснять, какое условие позволяет уверенно назвать луч биссектрисой." | Проверяют готовность, подписывают рабочий лист. |
2 мин | Учитель показывает угол AOB и два луча внутри него: "Какой из лучей может делить угол пополам? Можно ли определить это только по внешнему виду? Сегодня нам понадобится точное правило, которое работает и на чертеже, и в вычислениях." | Рассматривают чертёж, предполагают: "Нужно сравнить два получившихся угла". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного впечатления от чертежа недостаточно. Теперь восстановим признаки, которые помогут решать задания рабочего листа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия угла, вершины, сторон и градусной меры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает угол AOB: "Назовите вершину и стороны угла. Что показывает его градусная мера? Как связаны части угла, если внутренний луч разделяет его на два угла?" | Указывают вершину O, стороны OA и OB; отвечают: "Градусная мера показывает величину угла", "целый угол равен сумме частей". |
3 мин | Учитель предлагает выполнить устно: "Если угол AOB равен $70^\circ$, а луч OM делит его на части $30^\circ$ и $40^\circ$, можно ли назвать OM биссектрисой? Обоснуйте." | Сравнивают $30^\circ$ и $40^\circ$, отвечают: "Нет, части не равны"; формулируют критерий проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили вершину, стороны и сумму частей угла. Теперь сформулируем точное определение и проверим, какие утверждения действительно следуют из него."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести определение биссектрисы и поставить цель решения заданий рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с четырьмя определениями из задания 1: "Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите в паре. Выберите одно определение и назовите два признака, которые должны в нём присутствовать." | Выбирают вариант «Луч, который делит угол на два равных угла», обсуждают признаки: луч и равенство двух углов. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске: "Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Сформулируйте цель: что вы должны уметь после урока, чтобы решить лист?" | Формулируют цель: "Распознавать биссектрису и находить углы и неизвестные величины по её свойству". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение стало нашим инструментом. Сейчас применим его к равным частям и научимся переводить текст условия в математическую запись."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: установить формулы и алгоритм решения задач 2–4, 6–7 рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель чертит угол AOB и луч OM: "Запишем условие: OM — биссектриса угла AOB. Что из этого следует? Верно: $\angle AOM=\angle MOB$. Если один из них равен $35^\circ$, чему равен другой?" | Записывают равенство, отвечают: "$35^\circ$"; связывают решение с заданием 2. |
3 мин | Учитель продолжает: "Если каждая часть равна $24^\circ$, то весь угол состоит из двух таких частей. Запишем: $\angle AOB=2\cdot\angle AOC$. Если весь угол равен $86^\circ$, как найти часть?" | Записывают формулы $\alpha=2\beta$ и $\beta=\alpha:2$, отвечают: "$43^\circ$"; соотносят с заданиями 3, 4 и 6. |
3 мин | Учитель показывает задачу: "Части угла равны $(3x+5)^\circ$ и $(5x-19)^\circ$. Так как луч — биссектриса, составьте равенство и решите его. Не забудьте найти затем весь угол." | В парах составляют $3x+5=5x-19$, получают $x=12$, части равны $41^\circ$, весь угол равен $82^\circ$. |
Запись в тетрадях
Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Если $OC$ — биссектриса угла $AOB$, то $\angle AOC=\angle COB$, а $\angle AOB=2\cdot\angle AOC=2\cdot\angle COB$.
Эталон решения
$3x+5=5x-19$; $24=2x$; $x=12$. Каждая часть равна $3\cdot12+5=41^\circ$, поэтому $\angle AOB=41^\circ+41^\circ=82^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть три записи: равенство частей, удвоение части для получения целого и уравнение для неизвестной величины. Проверим, насколько уверенно вы применяете их в типовых ситуациях."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: закрепить определение и алгоритм на заданиях 1–5 рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Выполните задания 1–4. Сначала подчеркните в условии слово «биссектриса», затем запишите равенство углов или сумму. После выполнения сравните ответы с соседом." | Индивидуально выполняют задания 1–4: выбирают определение, находят $35^\circ$, выбирают $48^\circ$, вписывают множители 2 и 2. |
3 мин | Учитель организует приём «Верно — ложно»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение истинно, красную — если ложно. Для каждого ответа назовите основание." | Определяют: первые два утверждения истинны; третье ложно, так как развёрнутый угол делится на $90^\circ$ и $90^\circ$; четвёртое ложно, потому что любой луч внутри угла не обязан делить его пополам. |
2 мин | Учитель разбирает затруднение: "Почему в четвёртом утверждении задания 5 недостаточно того, что луч находится внутри угла? Назовите недостающее условие." | Формулируют: "Два получившихся угла должны быть равны"; исправляют объяснение в рабочем листе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение помогает не только находить числа, но и отсекать ложные утверждения. Теперь каждый проверит себя без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение свойства биссектрисы в заданиях 6–10.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбор: "Обязательный маршрут — задания 6, 7 и 8; повышенный — дополнительно 9 или 10. Работайте самостоятельно, рядом с вычислением записывайте используемое свойство." | Решают задания: в №6 получают $43^\circ$; в №7 составляют уравнение; в №8 сопоставляют ситуацию с выводом; желающие выполняют №9 или №10. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и ход решения. В задании 10 обозначьте равные части: если $OC$ — биссектриса угла AOB, а $OD$ — биссектриса угла COB, то $AOC=COD=DOB$." | Сверяют решения, исправляют ошибки условным знаком, задают вопросы по расхождениям. |
2 мин | Учитель проводит самоконтроль: "Поставьте плюс, если записали равенство частей, второй плюс — если нашли целый угол или неизвестное, третий — если проверили ответ." | Отмечают пункты самооценки и определяют, нужна ли помощь по жёлтому или красному стикеру. |
Эталон решения
В задании 10 равные последовательные части обозначим через $a$. Тогда $\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=2a=75^\circ$, откуда $a=37{,}5^\circ$. Следовательно, $\angle AOC=37{,}5^\circ$, $\angle COD=37{,}5^\circ$, $\angle DOB=37{,}5^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили одно свойство в разных формах: в выборе ответа, вычислении, уравнении и рассуждении. Осталось обобщить алгоритм и зафиксировать, что уже получается уверенно."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит заполнить билет на выход: "Закончите фразы: «Биссектриса — это...», «Если часть угла равна $a$, то целый угол равен...», «Мне нужно потренировать...»." | Записывают определения и формулы, называют индивидуальное затруднение. |
1 мин | Учитель предлагает светофор: "Поднимите стикер зелёного цвета, если можете объяснить свойство; жёлтого — если решаете с подсказкой; красного — если пока не различаете целый угол и его часть." | Выбирают цвет, прикрепляют стикер к доске. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень; средний и продвинутый уровни выполняйте по желанию. Во всех задачах обязательно чертите угол, обозначайте биссектрису и записывайте равенство частей." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили, что биссектриса проходит через вершину и делит угол на две равные части. На следующем уроке будем использовать это свойство в более сложных конфигурациях и при доказательстве геометрических утверждений."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены задания 1–8 и дополнительно задание 9 или 10; определения, равенства углов и вычисления записаны корректно.
- "4" — верно выполнены задания 1–7, допущена не более одной вычислительной ошибки или неточности в задании 8–10.
- "3" — верно выполнены задания 1–5 и не менее одного вычислительного задания 6–8; свойство биссектрисы сформулировано правильно.
- Работа, в которой ответ получен без записи равенства частей или обоснования, требует доработки даже при верном числе.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое биссектриса угла и какие два признака обязательны? | Проверка понимания определения и выделения существенных признаков. |
Как ты решаешь задачу, если дана часть угла? | Выявление владения алгоритмом перехода от части к целому. |
Что было труднее: вычисление, уравнение или проверка истинности утверждений? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Какое задание рабочего листа ты теперь можешь объяснить однокласснику? | Субъективная оценка освоения и готовности к сотрудничеству. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились узнавать биссектрису не по рисунку, а по точному свойству: она проходит через вершину и делит угол на два равных угла. Запомните типичную ошибку: градусная мера части не равна мере целого угла, если не учтены обе равные части. При решении сначала записывайте равенство углов, а уже затем выполняйте вычисления. На следующем уроке мы продолжим использовать биссектрисы в составных чертежах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на определение биссектрисы, нахождение равной части и целого угла по его половине; выполнить одну проверку истинности утверждений. | Закрепить определение и базовые вычисления; при проверке обратить внимание на запись равенства частей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи, аналогичные заданиям 6–9 рабочего листа: найти часть угла, решить уравнение с двумя выражениями для равных частей и заполнить таблицу углов. | Отработать переход от текста к уравнению и проверку результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задачи на две последовательно расположенные биссектрисы внутри угла, включая ситуацию с неизвестной величиной, и составить к одной задаче краткое объяснение решения. | Развить моделирование сложного чертежа и аргументацию последовательности равных частей. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обязательно должно быть общим у биссектрисы и угла?», «Как найти целый угол по одной его части?», «Какое равенство составляется, если части заданы выражениями с переменной?»
