Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Нахождение периметра многоугольников
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать выпуклые и невыпуклые многоугольники по определению и находить периметр многоугольника, включая неизвестную сторону, с успешным выполнением не менее 8 из 10 заданий рабочего листа.
- Сформулировать определение выпуклого и невыпуклого многоугольника через положение фигуры относительно прямых, содержащих его стороны.
- Научиться находить периметр многоугольника как сумму длин всех его сторон и применять это свойство для нахождения неизвестной стороны.
- Развивать умение анализировать чертёж, выбирать математическое утверждение и обосновывать свой ответ.
- Воспитывать аккуратность построений, самостоятельность и готовность аргументированно отстаивать выбранное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию геометрических форм и связи геометрии с чертежами, архитектурой и проектированием.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата при выполнении геометрических построений.
- Принимают возможность выбора уровня задания и оценивают собственную готовность к самостоятельной работе.
- Формируют ответственное отношение к совместной работе и уважение к математически обоснованному мнению одноклассника.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа и формулировки задания, выделяют условие и требование.
- Сравнивают выпуклые и невыпуклые фигуры, классифицируют их по заданному признаку.
- Планируют решение задачи на периметр, выполняют вычисления и проверяют их по смыслу.
- Формулируют выводы в устной и письменной форме, аргументируют выбор ответа.
- Используют самопроверку по эталону и корректируют допущенные ошибки.
Предметные
- Знать определения выпуклого и невыпуклого многоугольника.
- Уметь проверять выпуклость многоугольника по расположению фигуры относительно прямых, содержащих его стороны.
- Уметь распознавать невыпуклый многоугольник по наличию внутреннего угла больше 180°.
- Знать формулу периметра многоугольника как суммы длин всех его сторон.
- Уметь находить периметр и неизвестную сторону многоугольника, а также объяснять, почему форма не изменяет периметр при сохранении длин соответствующих сторон.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с чертежом и формулами.
- Связывают точность геометрического рассуждения с практикой черчения, дизайна и инженерного проектирования.
- Проявляют самостоятельность при выборе обязательного или повышенного задания.
- Оценивают значение проверки результата перед предъявлением ответа.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют алгоритм проверки выпуклости и алгоритм нахождения периметра.
- Контролируют правильность чтения чертежа, вычислений и единиц измерения.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят причину ошибки и исправляют её.
- Оценивают степень достижения цели по результатам рабочего листа.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки выпуклого и невыпуклого многоугольника.
- Устанавливают связь между внутренним углом больше 180° и невыпуклостью фигуры.
- Моделируют ситуацию построением двух четырёхугольников из общей вершины и стороны.
- Применяют формулу $P=a_1+a_2+...+a_n$ в задачах на периметр.
- Преобразуют текстовую информацию задачи в краткую запись и математическое выражение.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре признаки фигур и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы по чертежу и условию задачи.
- Аргументируют выбор ответа в заданиях с вариантами утверждений.
- Сопоставляют разные способы проверки и корректно оценивают решение партнёра.
- Распределяют роли при совместной работе: чертёжник, проверяющий, докладчик.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–10 — по одному экземпляру на каждого ученика, всего по числу учащихся класса плюс 2 запасных.
- Подготовить отдельные карточки с изображениями выпуклого и невыпуклого многоугольников для этапа мотивации — по одной на парту.
- Подготовить заготовку для задания 10 с общей вершиной O и стороной OA — по одному листу на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран два определения, алгоритм проверки выпуклости и формулу периметра.
- Подготовить цветные маркеры или мел: красным выделять прямую, содержащую сторону, синим — положение многоугольника относительно этой прямой.
- Подготовить карточки самооценки «зелёный — понял», «жёлтый — нужна проверка», «красный — нужна помощь» — по одной на каждого ученика.
- Подготовить эталон ответов к заданиям 1–9 для самопроверки: 1 — проверка по прямым; 2 — 25 см; 3 — первое утверждение; 4 — вывод о невыпуклости; 5 — 6 см; 6 — первое утверждение; 8 — невыпуклый, 27 см; 9 — первое утверждение.
- Подготовить линейки, простые карандаши и ластики; проверить, что на доске достаточно места для двух построений и записи формул.
- Разделить задания на обязательный минимум 1–6, базовую практику 7–9 и творческое задание 10.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследование многоугольников и создать проблемную ситуацию, требующую нового способа распознавания фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся рабочий лист, тетрадь, линейка и карандаш. Положите всё перед собой так, чтобы можно было быстро переходить от чертежа к записи решения." | Готовят материалы, записывают дату, проверяют наличие рабочего листа и линейки. |
3 мин | Учитель показывает две карточки с многоугольниками, один из которых имеет вогнутую часть: "Посмотрите на эти две фигуры. На глаз можно сказать, что одна фигура выглядит более выпуклой, но геометрия требует точного признака. Как проверить фигуру не по впечатлению, а по определению? А если у двух фигур одинаковые длины сторон, будет ли их периметр разным? Запишите сначала индивидуально свою гипотезу, затем обсудите её с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Сначала записывают гипотезы, затем обсуждают их в парах. Формулируют предположения: "Нужно продолжить стороны" и "Периметр зависит от длин сторон, а не от формы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши гипотезы по точным признакам, научимся распознавать оба вида многоугольников и применим это умение непосредственно к заданиям рабочего листа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о многоугольнике, его сторонах, вершинах, внутренних углах и периметре.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране пятиугольник и спрашивает: "Назовите элементы фигуры, которые понадобятся нам сегодня. Сколько сторон и вершин у этой фигуры? Что называют периметром? Как найти периметр, если известны все стороны?" | Указывают стороны, вершины и внутренние углы; отвечают: "У пятиугольника пять сторон и пять вершин. Периметр — сумма длин всех сторон". |
3 мин | Учитель записывает на доске: $P=a_1+a_2+...+a_n$ и предлагает устно решить мини-пример: "Пятиугольник имеет стороны 3 см, 4 см, 5 см, 6 см и 7 см. Составьте выражение для периметра и назовите единицу ответа. Не забывайте: складываем длины, а не количество сторон." | Записывают выражение $P=3+4+5+6+7=25$ см, проговаривают алгоритм и отвечают: "Периметр равен 25 см". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. $P=a_1+a_2+...+a_n$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как читать многоугольник и находить его периметр. Теперь выясним, каким точным признаком отличаются выпуклая и невыпуклая фигуры."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить недостаточность визуального распознавания и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует чертёж многоугольника и одну из прямых, содержащих его сторону: "Представьте, что сторона фигуры стала бесконечной прямой. Где окажется весь многоугольник — по одну сторону от этой прямой или по разные стороны? Что изменится, если одна вершина окажется по другую сторону?" | Рассматривают чертёж, обсуждают в парах и отвечают: "Для выпуклого многоугольника вся фигура должна быть по одну сторону каждой такой прямой. Если части оказываются по разные стороны, фигура невыпуклая". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как доказать выпуклость по чертежу и как связать форму многоугольника с его периметром?» Затем предлагает ученикам сформулировать цель: "Закончите фразу: «Сегодня я научусь…»" | Формулируют цель: "Научусь проверять выпуклость по сторонам и находить периметр, в том числе неизвестную сторону". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Сначала откроем признак выпуклости, затем отработаем его на чертежах и соединим с вычислением периметра."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести определения выпуклого и невыпуклого многоугольника и алгоритмы решения заданий на периметр.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель чертит выпуклый многоугольник и по очереди продолжает его стороны: "Посмотрите: для каждой прямой, содержащей сторону, весь многоугольник остаётся в одной полуплоскости. Это и есть признак выпуклого многоугольника. Проверяем не одну выбранную сторону, а каждую сторону фигуры. Сформулируйте определение своими словами." | Наблюдают за построением, выделяют стороны, отвечают: "Многоугольник выпуклый, если он целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону". |
2 мин | Учитель показывает невыпуклый многоугольник: "Теперь продолжим прямую, содержащую одну из его сторон. Видно, что часть фигуры оказалась слева, а часть справа. Значит, условие выпуклости нарушено. У такого многоугольника хотя бы один внутренний угол больше 180°. Какое утверждение из задания 3 является верным?" | Находят сторону, соответствующую прямую, и выбирают первое утверждение: "Хотя бы один его внутренний угол больше 180°". |
3 мин | Учитель записывает алгоритмы: "Для задания на выпуклость действуем так: 1) выбираем сторону; 2) мысленно или на чертеже продолжаем её до прямой; 3) проверяем, по одну ли сторону лежит вся фигура; 4) повторяем проверку и формулируем вывод. Для периметра: складываем все стороны. Если неизвестна сторона, из периметра вычитаем сумму известных сторон." | Записывают алгоритмы, задают уточняющие вопросы, объясняют, почему одного взгляда на форму недостаточно. |
Запись в тетрадях
- Выпуклый многоугольник — многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей любую его сторону.
- Невыпуклый многоугольник — многоугольник, для которого хотя бы одна такая прямая разделяет его точки на разные стороны; один из его внутренних углов больше 180°.
- Алгоритм: проверить положение фигуры относительно прямых, содержащих стороны; сделать вывод.
- $P=a_1+a_2+...+a_n$; неизвестная сторона равна периметру минус сумма известных сторон.
Эталон решения
Для задания 5: известны $P=30$ см и три стороны $7$ см, $8$ см, $9$ см. Сначала найдём их сумму: $7+8+9=24$ см. Четвёртая сторона: $30-24=6$ см. Ответ: $6$ см. Для задания 8: внутренний угол $240°>180°$, поэтому шестиугольник невыпуклый. Периметр: $P=3+5+4+6+2+7=27$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть два инструмента: признак выпуклости для анализа чертежа и формула периметра для вычислений. Проверим их сначала вместе, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: применить новые определения и формулу периметра в заданиях с выбором ответа и кратким вычислением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель направляет выполнение заданий 1 и 4: "Работаем с чертежами. В задании 1 найдите прямые, содержащие стороны выпуклого многоугольника, и проверьте положение фигуры. В задании 4 найдите сторону, при продолжении которой фигура окажется по разные стороны от прямой. Запишите не только ответ, но и объяснение: «фигура лежит по одну сторону» или «фигура лежит по разные стороны»." | Индивидуально выполняют задания 1 и 4, проводят карандашом продолжение выбранной стороны, записывают вывод о выпуклости или невыпуклости. |
3 мин | Учитель предлагает парную проверку задания 3 и задания 9: "Сравните выбранные утверждения. Объясните партнёру, почему остальные варианты не подходят. В задании 9 обратите внимание на слово «достаточно»: ищем общий признак, а не случайное свойство отдельных фигур." | В парах выбирают в обоих заданиях первое утверждение, формулируют объяснение: "Достаточно, чтобы весь многоугольник лежал по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону". |
2 мин | Учитель разбирает задание 5 у доски: "Периодически проверяйте, что ответ имеет единицу длины. Запишем решение: $x=30-(7+8+9)$. Почему нельзя просто разделить 30 на 4?" | Записывают $x=30-24=6$ см, отвечают: "Стороны не обязаны быть равными, поэтому деление на 4 неверно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили фигуры по определению и увидели, что периметр неизвестной стороны находится через разность. Теперь вы самостоятельно решите оставшиеся задания, а затем проверите себя по критериям."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение признаков выпуклости и способов нахождения периметра на материале всего рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель даёт инструкцию: "Самостоятельно завершите задания 2, 6, 7 и 8. Затем выполните задание 10: достройте от общей вершины O и стороны OA один выпуклый и один невыпуклый четырёхугольник. Для каждого рисунка подпишите проверку по определению. Можно выбрать порядок заданий, но обязательны вычисления, единицы измерения и объяснение выбора." Учитель раздаёт листы с эталоном ответов для самопроверки после сигнала. | Решают задание 2: $P=25$ см; выбирают в задании 6 утверждение о равенстве периметров; сравнивают формы в задании 7; в задании 8 устанавливают невыпуклость и находят $27$ см; строят два четырёхугольника и подписывают проверку. |
3 мин | Учитель объявляет самопроверку: "Сверьте ответы с эталоном, но сначала закройте его рукой и объясните себе, где применили определение, а где формулу. Отметьте одну ошибку или поставьте знак проверки. Используйте «Светофор»: зелёный — всё могу объяснить, жёлтый — есть неточность, красный — нужна помощь." | Проверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, поднимают карточку нужного цвета и формулируют личное затруднение: "Мне нужно ещё потренироваться в проверке по прямым" или "Я уверенно нахожу неизвестную сторону". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что один и тот же рабочий лист требует двух разных действий: анализа формы и вычисления длины. Осталось обобщить результат и проверить, достигли ли мы цели урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способы действий, выявить затруднения и определить содержание дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите три фразы в тетради: «Выпуклый многоугольник проверяют так…», «Периметр находят так…», «Сегодня мне нужно повторить…». Затем ответьте на контрольный вопрос: может ли невыпуклый многоугольник иметь такой же периметр, как выпуклый, если соответствующие стороны равны?" | Письменно завершают фразы и отвечают: "Да, может, потому что периметр зависит от длин сторон, а не от формы". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; если чувствуете готовность, добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении сохраняйте пояснение и единицы длины. Перед уходом сдайте рабочий лист или покажите отметку самопроверки." | Записывают домашнее задание, задают вопросы по уровням, сдают билет на выход с одним определением и одним вычислением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились отличать выпуклость по строгому геометрическому признаку и находить периметр как сумму сторон. На следующем уроке мы продолжим применять свойства многоугольников при решении более сложных задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 9 заданий рабочего листа, правильно распознаны выпуклые и невыпуклые многоугольники, вычисления периметров записаны с единицами измерения, построения в задании 10 соответствуют определениям и имеют пояснение.
- «4» — верно выполнены 7–8 заданий, допущена не более одной ошибки в распознавании или вычислениях, общий способ проверки выпуклости и формула периметра применены правильно.
- «3» — верно выполнены 5–6 заданий, понятен общий смысл определения и формулы, но есть ошибки в проверке по прямым, сложении сторон или нахождении неизвестной стороны.
- Ниже «3» — выполнено менее 5 заданий либо отсутствуют объяснения и самостоятельное применение алгоритмов; требуется дополнительная работа с определением и формулой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как проверить, что многоугольник выпуклый, если нельзя ограничиться внешним видом? | Проверка осознания определения и алгоритма анализа чертежа. |
Почему многоугольник с внутренним углом 240° является невыпуклым? | Выявление понимания связи между величиной внутреннего угла и видом фигуры. |
Как найти неизвестную сторону, если известны периметр и остальные стороны? | Проверка владения алгоритмом преобразования формулы периметра. |
Какое задание рабочего листа оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для планирования коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились отличать выпуклые и невыпуклые многоугольники не по внешнему впечатлению, а по положению фигуры относительно прямых, содержащих её стороны. Мы также убедились, что периметр зависит от длин сторон и не зависит от того, выпуклой или невыпуклой является фигура. Типичная ошибка — проверить только одну сторону или забыть единицу измерения в ответе. Дома закрепите оба алгоритма, а на следующем уроке будем использовать их в более сложных рассуждениях и задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить вид двух многоугольников по чертежам с проверкой относительно прямых, выбрать верное утверждение о невыпуклом многоугольнике и найти периметр пятиугольника со сторонами 4 см, 6 см, 3 см, 8 см и 5 см. | Закрепляет определение выпуклости и алгоритм сложения длин сторон. При проверке смотреть на наличие объяснения и единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: найти неизвестную сторону четырёхугольника при периметре 34 см и трёх сторонах 8 см, 7 см и 11 см; определить вид шестиугольника с внутренним углом 225°; объяснить, могут ли два многоугольника разной формы иметь одинаковый периметр. | Закрепляет применение формулы периметра, связь величины угла с выпуклостью и умение аргументировать вывод. |
Продвинутый (дополнительный) | Построить на клетчатой бумаге один выпуклый и один невыпуклый пятиугольник с одинаковыми длинами соответствующих сторон, вычислить оба периметра и письменно доказать, почему они равны. | Развивает моделирование, построение и доказательное рассуждение; при проверке смотреть на корректность чертежей и использование определения периметра. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как формулируется признак выпуклого многоугольника? Какой внутренний угол указывает на невыпуклость? По какой формуле находят периметр? Как найти неизвестную сторону по известному периметру?»
