Смежные и вертикальные углы. Измерение и вычисление отрезков и углов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать смежные и вертикальные углы, измерять углы транспортиром и вычислять неизвестные углы и отрезки в типовых геометрических ситуациях, выполнив не менее 4 из 5 заданий практической работы.
- Сформировать знания о свойствах смежных и вертикальных углов: сумма смежных углов равна $180^\circ$, вертикальные углы равны.
- Научить измерять углы транспортиром, находить длину отрезка по известным частям и вычислять неизвестный угол по его связи со смежным или вертикальным углом.
- Развивать умение строить рассуждение по рисунку, проверять результат измерением и аргументировать решение в паре.
- Формировать ответственное отношение к точности измерений и взаимной проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности измерений в геометрии, строительстве, инженерии и техническом проектировании.
- Проявляют интерес к самостоятельному поиску свойства углов через наблюдение и измерение.
- Принимают необходимость проверять собственный результат и корректно обсуждать решение с одноклассником.
- Развивают учебную самостоятельность, выбирая базовый или повышенный вариант задания.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, цифровой демонстрации и условия задачи.
- Сравнивают результаты измерения и вычисления, выявляют несоответствие и исправляют ошибку.
- Планируют решение: определяют вид углов или связь частей отрезка, выбирают нужное свойство.
- Формулируют выводы, аргументируют ответ и участвуют в парной проверке.
- Используют интерактивную геометрическую модель для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать определения смежных и вертикальных углов и их основные свойства.
- Уметь измерять величину угла транспортиром с точностью до $1^\circ$ и записывать результат с обозначением градуса.
- Уметь вычислять неизвестный угол по развернутому углу, смежности или вертикальности.
- Уметь находить неизвестный отрезок по формуле сложения длин частей и проверять результат.
- Владеть алгоритмом распознавания смежных и вертикальных углов на чертеже.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в парную работу и оценивают, насколько точно выполнили измерения.
- Связывают изучаемые свойства с практикой черчения, архитектуры и конструирования.
- Проявляют готовность принимать обоснованную позицию партнёра и уточнять собственную.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют последовательность измерения и вычисления.
- Сверяют решение с эталоном, находят причину ошибки и корректируют запись.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы и выходного билета.
Познавательные УУД
- Выделяют общие признаки смежных и вертикальных углов.
- Строят логическое рассуждение по рисунку и устанавливают связь между величинами.
- Моделируют ситуацию с помощью чертежа и интерактивной геометрической модели.
- Применяют формулы и свойства к новым задачам, отличающимся расположением элементов.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один строит или измеряет, другой фиксирует и проверяет.
- Задают уточняющие вопросы о выборе свойства.
- Аргументируют ответ полным предложением: «Углы вертикальные, поэтому они равны».
- Согласуют общий результат и дают партнёру корректную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежами пересекающихся прямых, шкалой транспортира, заданиями на измерение и интерактивной геометрической моделью.
- Подготовить проектор, компьютер и интерактивную доску; заранее открыть цифровую модель двух пересекающихся прямых с возможностью изменения угла.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, три уровня сложности.
- Распечатать лист самостоятельной работы по одному экземпляру на каждого ученика и отдельный лист с эталоном для самопроверки.
- Подготовить транспортиры и линейки: по одному комплекту на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «Смежные углы: сумма $180^\circ$; вертикальные углы равны; длина целого отрезка равна сумме частей».
- Подготовить цветные маркеры или магнитные углы для выделения пар углов.
- Разместить на партах мини-лист самооценки с пунктами «измеряю», «выбираю свойство», «объясняю», «проверяю».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить подростков в учебную деятельность и показать практическую значимость точного измерения углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение перекрёстка дорог и конструкции фермы: "Сегодня мы будем работать как инженеры: по рисунку определять величины, проверять их измерением и обосновывать результат. На экране вы видите пересекающиеся направления. Как понять, какие углы равны, а какие в сумме дают развернутый угол?" | Рассматривают изображение, формулируют предположения: «Нужно измерить углы», «Некоторые углы расположены напротив друг друга», «Соседние углы могут составлять прямую линию». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какие величины можно найти по одному известному углу. После этого две пары представят свои гипотезы." | Записывают одну гипотезу, обсуждают её в паре одну минуту, представляют варианты: «Если известен угол напротив, он может быть таким же», «Соседний угол можно найти вычитанием из $180^\circ$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши гипотезы связаны с расположением углов и прямых. Сейчас вспомним необходимые понятия и проверим, какие предположения можно доказать."
Этап 2. Актуализация знаний и измерение (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия угла, развернутого угла, отрезка и правила работы с транспортиром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске несколько углов и спрашивает: "Назовите вершину и стороны угла. Чем отличается прямой угол от развернутого? Как обозначается величина угла?" Затем демонстрирует транспортир: "Центр транспортира совмещаем с вершиной, нулевую отметку — с одной стороной, отсчёт ведём по шкале, начинающейся с нуля на выбранной стороне." | Показывают элементы угла на рисунке, отвечают: «Прямой угол равен $90^\circ$, развернутый — $180^\circ$». На мини-листе записывают алгоритм измерения. |
3 мин | Учитель выводит на экран угол с величиной $65^\circ$: "Измерьте угол самостоятельно. Сравните показание с цифровой моделью. Если значения различаются, проверьте, с какой шкалы начали отсчёт." | Измеряют угол транспортиром, записывают $65^\circ$, сверяют с экраном, исправляют возможную ошибку в выборе шкалы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как читать чертёж и точно измерять угол. Теперь рассмотрим ситуацию, в которой два угла имеют общую сторону и общую вершину."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при вычислении углов и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает пересекающиеся прямые, один угол обозначен как $70^\circ$, остальные не подписаны: "Не измеряя остальные углы, найдите их величины. Какие данные нужны? Можно ли решить задачу только по рисунку?" Учитель не сообщает свойства, а фиксирует версии на доске. | Рассматривают чертёж, предлагают: «Один угол напротив равен $70^\circ$», «Соседний равен $180^\circ-70^\circ=110^\circ$», «Нужно доказать, почему это верно». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какую цель поставим на урок? Сформулируйте её так, чтобы в конце можно было проверить результат." Обобщает ответы и записывает цель: "Научиться распознавать смежные и вертикальные углы и вычислять их величины, используя свойства и измерение." | Формулируют цель урока, записывают её в тетрадь и называют план: «Повторить признаки, открыть свойства, решить задачи, проверить измерением». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что мы пока не назвали свойства углов. Откроем их через чертёж, измерение и рассуждение, а затем применим к вычислению отрезков и углов."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: сформулировать свойства смежных и вертикальных углов и связать их с измерением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на интерактивной доске лучи $OA$, $OB$, $OC$, где $OA$ и $OC$ — противоположные лучи. Обращается к классу: "Углы $AOB$ и $BOC$ имеют общую вершину и общую сторону. Две другие стороны являются противоположными лучами. Изменяю положение луча $OB$ в цифровой модели. Какова сумма величин двух углов при каждом положении?" | Наблюдают за моделью, называют измерения и формулируют: «Сумма остаётся $180^\circ$». Записывают определение смежных углов и свойство: $\angle AOB+\angle BOC=180^\circ$. |
3 мин | Учитель меняет положение лучей и выделяет цветом противоположные углы: "Теперь сравните углы, расположенные напротив друг друга. Измерьте их на экране и объясните наблюдение. Почему они называются вертикальными?" | Сравнивают пары углов, называют одинаковые значения, формулируют: «Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми и имеют общую вершину, но не имеют общей стороны; вертикальные углы равны». |
3 мин | Учитель записывает на доске памятку: "Если один угол равен $\alpha$, то вертикальный равен $\alpha$, а каждый смежный равен $180^\circ-\alpha$. Для вычисления отрезков используем сложение частей: $AB=AC+CB$. Выберите один пример на экране и объясните шаги." | Выбирают один из двух примеров: при $\alpha=72^\circ$ находят вертикальный $72^\circ$ и смежный $108^\circ$; при $AB=13$ см и $AC=8$ см находят $CB=5$ см. Объясняют выбор свойства. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Смежные углы имеют общую вершину, общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми; вертикальные углы равны. Если $AB=AC+CB$, то $CB=AB-AC$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто увидели одинаковые числа на экране, а связали их с устройством чертежа. Проверим свойства на конкретных карточках и научимся объяснять каждый шаг решения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание видов углов и применение свойств в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя чертежами: "Выполните задание «Геометрический детектив». В каждом рисунке определите, являются ли отмеченные углы смежными, вертикальными или ни теми ни другими. Обязательно назовите признак." | Распределяют роли: измеритель и объяснитель. Рассматривают три рисунка, подписывают вид каждой пары, например: «Смежные, потому что имеют общую сторону, а другие стороны — противоположные лучи». |
3 мин | Учитель предлагает вычислительный блок: "На первом рисунке один угол равен $48^\circ$. Найдите вертикальный и два смежных угла. На втором рисунке $AB=17$ см, $AC=9$ см, точка $C$ лежит между $A$ и $B$. Найдите $CB$. Запишите не только ответ, но и свойство." | В парах выполняют вычисления: вертикальный угол $48^\circ$, смежные углы $132^\circ$; $CB=17-9=8$ см. Один ученик объясняет, второй проверяет запись. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Используйте приём «Две звезды и пожелание»: отметьте два точных элемента и один момент для улучшения." | Проверяют определения, вычисления и единицы измерения, записывают две сильные стороны и одно конкретное пожелание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы использовали свойства и объяснили их по признакам. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выбрать способ решения без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств, измерение и вычисление величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт лист самостоятельной работы: "Выполните три обязательных задания. 1) Измерьте угол на чертеже и запишите его величину. 2) Один из вертикальных углов равен $117^\circ$; найдите остальные три. 3) На прямой точка $C$ лежит между $A$ и $B$, $AB=24$ см, $AC=15$ см; найдите $CB$. Записывайте формулу или свойство перед вычислением." | Индивидуально измеряют угол транспортиром, решают задачи: вертикальный угол $117^\circ$, два смежных угла по $63^\circ$; $CB=24-15=9$ см. Выполняют чертёж или используют данный рисунок. |
2 мин | Учитель предлагает выбор повышенного задания: "Если вы закончили обязательную часть, решите задачу: два смежных угла относятся как $2:7$. Найдите их величины. Запишите, почему сумма частей равна $180^\circ$." | Решают: $2x+7x=180^\circ$, $9x=180^\circ$, $x=20^\circ$; углы $40^\circ$ и $140^\circ$. Проверяют сумму. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: рисунки, формулы и ответы. "Сверьте каждую строку. Если есть ошибка, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Сопоставляют решение с эталоном, отмечают количество верных заданий, исправляют ошибки и заполняют мини-лист самооценки. |
Эталон решения
1) Значение угла считывается транспортиром по шкале, начинающейся с нуля на первой стороне угла. 2) Вертикальный угол равен $117^\circ$. Каждый смежный угол равен $180^\circ-117^\circ=63^\circ$. 3) Так как $AB=AC+CB$, то $CB=AB-AC=24-15=9$ см. Для повышенного задания: $2x+7x=180^\circ$, $9x=180^\circ$, $x=20^\circ$, поэтому углы равны $40^\circ$ и $140^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное — сначала распознать связь на чертеже, затем выбрать свойство и только после этого выполнять вычисление. Осталось обобщить результат и сформулировать, чему вы научились."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете без подсказки распознать вертикальные и смежные углы; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если пока трудно. На стикере допишите одно действие, которое поможет перейти на следующий уровень." | Поднимают карточку, записывают: «ещё раз потренирую измерение», «повторю формулу смежных углов», «буду сначала отмечать общую вершину и стороны». |
2 мин | Учитель раздаёт выходной билет: "Ответьте письменно: если один угол при пересечении прямых равен $35^\circ$, чему равны остальные углы и почему? Второй вопрос: как найти неизвестную часть отрезка?" | Пишут: «Вертикальный угол равен $35^\circ$, два смежных равны $145^\circ$, потому что сумма смежных углов $180^\circ$». Записывают правило вычитания известной части из целого. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и уточняет критерий: "Выберите уровень по итогам самооценки. В каждом решении указывайте свойство, формулу и единицы измерения." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают выходной билет. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 обязательных задания, угол измерен корректно, свойства названы и применены обоснованно; повышенное задание решено без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены 2 обязательных задания из 3, допущена одна вычислительная или измерительная ошибка, ход рассуждения в основном записан.
- «3» — верно выполнено не менее 1 обязательного задания, распознана хотя бы одна связь между углами или частями отрезка, но требуется помощь в выборе свойства.
- Ниже отметки «3» — свойства пока применяются непоследовательно; необходим разбор ошибки и повторная тренировка измерения и вычисления.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о смежных и вертикальных углах? | Выявление осознания определений и свойств. |
Как вы определяете, какое свойство использовать в задаче? | Проверка сформированности алгоритма выбора способа решения. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в измерении, чтении чертежа или вычислении. |
Какое применение этих свойств вы можете представить вне урока? | Связь геометрического знания с инженерией, строительством и техническим проектированием. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы установили, что смежные углы в сумме дают $180^\circ$, а вертикальные углы равны. Мы научились не угадывать ответ по рисунку, а обосновывать его свойством и проверять измерением. Типичная ошибка — выбрать не ту шкалу транспортира или назвать углы вертикальными только потому, что они находятся напротив; всегда проверяйте общую вершину и стороны. На следующем уроке мы продолжим решать задачи по чертежам и будем строить более сложные геометрические рассуждения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: определить пары смежных и вертикальных углов по чертежам; найти неизвестные углы, если один угол известен; вычислить неизвестную часть отрезка по длине целого и известной части. В каждом решении записать используемое свойство. | Закрепляет распознавание связей и базовые вычисления; при проверке смотреть на правильность свойства, вычислений и единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых смежные углы заданы выражениями или относятся как части; дополнительно построить две пересекающиеся прямые и отметить пары вертикальных углов. | Развивает умение составлять уравнение и переводить чертёж в математическую запись; при проверке смотреть на проверку суммы углов $180^\circ$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о пересекающихся прямых и отрезках в практическом контексте: чертёж, условие, решение, проверка измерением или вычислением. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке смотреть на корректность чертежа, полноту обоснования и соответствие ответа условию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как распознать смежные углы? Какое свойство имеют вертикальные углы? Что нужно сделать первым при вычислении неизвестного угла по чертежу? Как найти неизвестную часть отрезка, если известны целый отрезок и другая часть?»
