Биссектриса угла. Построение угла, равного данному
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик сможет циркулем и линейкой построить биссектрису заданного угла и угол, равный данному, а также объяснить последовательность построения и проверить результат сравнением соответствующих элементов.
- Образовательная задача: раскрыть смысл биссектрисы как луча, исходящего из вершины угла и делящего угол на два равных угла.
- Образовательная задача: освоить и записать алгоритмы построения биссектрисы угла и угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки.
- Развивающая задача: учить выдвигать гипотезы, обосновывать шаги построения и находить возможную ошибку в геометрическом чертеже.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность, самостоятельность и уважительное отношение к аргументам одноклассников при совместной проверке построений.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик понимает ценность точного геометрического построения для чертежей, проектирования и технических профессий.
- Проявляет готовность самостоятельно выбирать порядок выполнения построения и отвечать за точность своей работы.
- С уважением воспринимает альтернативное объяснение одноклассника и корректно предлагает улучшение.
- Оценивает собственную уверенность в выполнении двух построений и формулирует, какая поддержка ему необходима.
Метапредметные
- Ученик извлекает информацию из чертежа, обозначений и словесного алгоритма построения.
- Составляет последовательность действий и соотносит каждый шаг с его геометрическим основанием.
- Сравнивает собственное построение с критериями и обнаруживает неточности в обозначениях или проведённых линиях.
- Аргументирует, почему выбранная точка лежит на биссектрисе или почему построенный угол равен исходному.
Предметные
- Ученик знает определение биссектрисы угла и распознаёт её на чертеже.
- Умеет выполнить циркулем и линейкой построение биссектрисы угла по стандартному алгоритму.
- Умеет перенести данный угол в заданную полуплоскость с помощью циркуля и линейки.
- Обосновывает равенство полученных углов через равенство радиусов окружностей и равенство сторон соответствующих треугольников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносит личную цель на урок с практическим результатом: построенным чертежом.
- Осознаёт, что точность и аккуратность являются частью математического доказательства.
- Проявляет самостоятельность при выборе способа проверки построения.
- Сохраняет доброжелательность при взаимной проверке и обсуждении расхождений.
Регулятивные УУД
- Формулирует цель урока из проблемного вопроса о точном делении и переносе угла.
- Планирует построение, соблюдая порядок действий циркулем и линейкой.
- Проверяет полноту алгоритма по памятке и исправляет обнаруженную ошибку.
- Оценивает результат по критериям: точность дуг, правильность пересечения, наличие нужного луча и обоснование.
Познавательные УУД
- Выделяет существенные элементы угла: вершину, стороны, внутреннюю область и точки пересечения дуг со сторонами.
- Строит геометрическую модель по словесному условию и использует циркуль для переноса расстояния.
- Сравнивает треугольники, возникающие при построении биссектрисы, и формулирует вывод об их равенстве.
- Проверяет логическую связь между равенством отрезков и равенством полученных углов.
Коммуникативные УУД
- В паре объясняет последовательность построения, используя точные геометрические термины.
- Задаёт уточняющие вопросы о назначении дуги или переносимого расстояния.
- Аргументирует согласие или несогласие с предложенным доказательством.
- Даёт партнёру конкретную обратную связь по критериям, не подменяя проверку оценкой личности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске крупный чертёж угла и отдельный чертёж с ошибкой: дуги построены из точек на сторонах разными радиусами.
- Распечатать по одной карточке на ученика с двумя пустыми чертёжными полями: для биссектрисы заданного угла и для переноса угла.
- Подготовить по одному циркулю, линейке, карандашу и ластику на каждого ученика; проверить исправность циркулей до урока.
- Распечатать краткую памятку с двумя алгоритмами — по одной на парту; оставить на памятке поля для пометок учеников.
- Подготовить карточки взаимопроверки — по одной на пару — с критериями точности дуг, обозначений и завершённости луча.
- На доске оставить место для записи определения биссектрисы и четырёх ключевых шагов каждого построения.
- Подготовить слайд с изображением угла в новом положении и проблемным вопросом: «Как перенести угол, не измеряя его транспортиром?»
- Подготовить демонстрационный циркуль и крупную линейку либо использовать документ-камеру, чтобы показывать последовательность работы инструментами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать работу класса и вызвать интерес к точному построению углов без измерения транспортиром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность инструментов: «Здравствуйте, ребята. Положите перед собой циркуль, линейку, карандаш и карточку. Сегодня нам понадобятся не только аккуратные чертежи, но и умение объяснить, почему построение работает. Представьте, что вам нужно перенести угол на чертёж детали, а транспортир недоступен. Как можно сохранить его величину?» | Ученики готовят инструменты и карточку; высказывают предположения: «Измерить стороны циркулем», «Перенести угол дугами», «Сравнить треугольники». |
2 мин | Учитель показывает на экране схему двух углов в разных местах листа: «Посмотрите на экран: первый угол задан, второй нужно построить рядом с точкой. Сегодня не будем угадывать величину на глаз и не будем пользоваться транспортиром. В конце урока каждый сможет построить перенос угла и объяснить, на чём основана точность. Выберите, что для вас сегодня важнее: научиться делить угол пополам или переносить его без измерения; к концу урока попробуем освоить оба действия». | Ученики рассматривают схему, выбирают личный приоритет и формулируют ожидание: «Хочу понять, как найти середину угла», «Хочу научиться переносить угол циркулем». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас есть практическая задача — точно работать с углами без измерения. Чтобы решить её, сначала вспомним, какие элементы угла и какие построения нам уже известны».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия угла, луча, окружности и равных отрезков, необходимые для новых построений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель рисует на доске угол с вершиной O и точками A и B на его сторонах: «Назовите вершину и стороны угла. Где находится внутренняя область? Если провести из точки O новый луч внутри угла, на какие части он его разделит? Пока не называйте специальное свойство такого луча — попробуйте описать, что должно быть верно, если мы хотим разделить угол пополам». | Ученики называют: «Вершина — O, стороны — лучи OA и OB». Предлагают: «Новый луч должен лежать внутри угла», «По обе стороны должны получиться равные углы». |
3 мин | Учитель просит пары выполнить короткое воспроизведение: «За одну минуту вспомните, как циркулем строят окружность с выбранным центром и одинаковым радиусом, а также как переносят длину отрезка. Затем один человек в паре объясняет, а второй проверяет, что шаги названы точно. Что сохраняет циркуль при переносе расстояния?» | Ученики в парах проговаривают: «Циркуль сохраняет расстояние между ножками», «Дуга окружности состоит из точек, равноудалённых от центра». Две пары озвучивают формулировки классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что циркуль переносит расстояние, а луч внутри угла может разделить его на части. Теперь выясним, как задать такое деление точными построениями и как проверить, что оно действительно получилось».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обозначить затруднение и совместно сформулировать цель и план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает чертёж, где угол разделён лучом приблизительно пополам: «Посмотрите на рисунок. На глаз кажется, что части равны, но можно ли доказать это по чертежу? Что не позволяет нам быть уверенными? Как получить точное построение, используя только циркуль и линейку? Подумайте самостоятельно тридцать секунд, затем обсудите идею с соседом». | Ученики индивидуально обдумывают вопрос, затем обсуждают в парах. Ожидаемые ответы: «Глазомер может ошибаться», «Нужно получить равные отрезки или равные треугольники», «Нужны одинаковые радиусы циркуля». |
2 мин | Учитель фиксирует предложения на доске и спрашивает: «Как назовём луч, который делит угол на два равных угла? Какой результат должен быть в конце урока? Давайте составим план: что построить сначала, что затем и чем проверить каждый результат». Учитель записывает сформулированную классом цель. | Ученики формулируют: «Биссектриса делит угол на два равных угла». Предлагают цель: «Научиться построить биссектрису и перенести угол», план: «Сделать дуги циркулем, отметить точки, провести луч, проверить равенство». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы договорились о результате и увидели, что одного внешнего сходства недостаточно. Теперь построим биссектрису так, чтобы равенство частей следовало из самого чертежа».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести и освоить алгоритм построения биссектрисы и переноса угла циркулем и линейкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель демонстрирует построение на крупном чертеже: «Обозначим угол AOB. Поставьте иглу циркуля в вершину O и проведите дугу так, чтобы она пересекла обе стороны угла в точках C и D. Не меняя раствора циркуля, поставьте иглу сначала в C, затем в D и проведите две дуги внутри угла. Пусть они пересекутся в точке E. Проведите луч OE. Какие отрезки равны по построению? Какие ещё равенства можно установить? Запишите предположение о получившихся углах». Учитель подчёркивает, что радиус второй пары дуг должен быть одинаковым. | Ученики выполняют построение на первом поле карточки, отмечают точки C, D, E и проводят луч OE. Записывают равенства OC = OD, CE = DE, а также общий отрезок OE. Предполагают: «Углы COE и EOD равны». |
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: «Рассмотрим треугольники OCE и ODE. Что у них равны? Стороны OC и OD равны, потому что они радиусы одной дуги; CE и DE равны, потому что мы построили дуги одинаковым раствором; OE — общая сторона. По какому признаку равны треугольники? Какие углы при вершине O соответствуют друг другу?» | Ученики отвечают: «Равны три стороны», «Треугольники равны по трём сторонам», «Углы COE и EOD равны как соответствующие элементы равных треугольников». Делают вывод: луч OE — биссектриса угла AOB. |
3 мин | Учитель показывает вторую схему — данный угол PQR и новую вершину S с заданным начальным лучом SX: «Теперь перенесём угол. Из вершины Q проведите дугу, пересекающую стороны угла в точках M и N. Тем же радиусом проведите дугу из точки S, чтобы она пересекла луч SX в точке X; вторую точку дуги обозначим Y, выбрав нужную полуплоскость. Циркулем измерьте хорду MN и перенесите это расстояние от X на новую дугу, обозначив точку Z. Проведите луч SZ. Какое равенство углов ожидаем?» | Ученики рассматривают демонстрацию и намечают построение на второй половине карточки: отмечают M, N, X, Y и переносят длину MN на дугу с центром S, получая Z. Отвечают: «Угол XSZ должен быть равен углу PQN». |
Запись в тетрадях
- Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
- Построение биссектрисы: дуга с центром в вершине отмечает на сторонах точки C и D; равными радиусами из C и D проводят дуги до пересечения в E; проводят луч из вершины через E.
- Построение равного угла: дугой отмечают на сторонах исходного угла точки M и N; такую же дугу проводят из новой вершины; расстояние MN переносят на новую дугу; проводят новый луч через отмеченную точку.
Эталон решения
Для биссектрисы: OC = OD как радиусы одной дуги, CE = DE как радиусы одинаковых дуг, OE — общая сторона. Следовательно, треугольники OCE и ODE равны по трём сторонам, поэтому ∠COE = ∠EOD; луч OE является биссектрисой ∠AOB. Для переноса: QM = QN и SX = SY как радиусы равных дуг; MN = XZ по переносу расстояния циркулем; следовательно, треугольники QMN и SXZ равны по трём сторонам, и соответствующие углы при вершинах Q и S равны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили два алгоритма и обосновали их через равенство треугольников. Теперь потренируемся проговаривать каждый шаг и проверять, не пропущено ли важное условие».
Этап 5. Первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: закрепить порядок построений и научиться выявлять ошибку в геометрическом алгоритме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку взаимопроверки: «Один участник объясняет построение биссектрисы, не пропуская названия точек; второй сверяет каждый шаг с чертежом. Затем поменяйтесь ролями и объясните перенос угла. Я не оцениваю скорость: важно, чтобы вы могли ответить, зачем нужна каждая дуга. Если партнёр пропустил шаг, задайте вопрос, который поможет его восстановить». | В парах ученики по очереди проговаривают два алгоритма. Проверяющий отмечает на карточке наличие первой дуги, одинакового раствора циркуля, точки пересечения дуг и итогового луча. |
3 мин | Учитель показывает чертёж с ошибкой: «На рисунке дуги из точек C и D проведены разными растворами. Можно ли утверждать, что полученный луч делит угол пополам? Найдите конкретное нарушенное условие и предложите исправление. Затем оцените построение переноса угла по критериям: одинаковы ли исходная и новая дуги, перенесена ли именно хорда MN?» | Ученики находят ошибку и объясняют: «CE и DE не гарантированно равны, поэтому треугольники не равны по трём сторонам». Предлагают исправление: установить одинаковый раствор циркуля. Проверяют на схеме переноса, что расстояние между точками исходной дуги перенесено на новую дугу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что точность зависит от сохранения радиуса и переноса именно нужного расстояния. Теперь каждый выполнит построения самостоятельно и проверит их по критериям».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами и умение обосновать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор порядка заданий: «На карточке два задания. Сначала выполните то, которое выбрали своей личной целью в начале урока; затем, если останется время, переходите ко второму. Первое задание: постройте биссектрису заданного угла циркулем и линейкой. Второе: постройте из отмеченной точки угол, равный данному, в указанной полуплоскости. Подпишите точки и оставьте дуги видимыми: по ним можно проверить ход работы. После построения запишите одно предложение с обоснованием». | Каждый ученик самостоятельно выполняет выбранное построение, затем приступает ко второму. Подписывает точки пересечения дуг и фиксирует обоснование: «Треугольники равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы равны». |
3 мин | Учитель открывает на доске памятку-эталон: «Проверьте себя по шагам. Для биссектрисы ищите пересечение дуг из точек на сторонах; для переноса — одинаковые начальные радиусы и перенесённую хорду. Отметьте зелёным, если построение завершено и обосновано, жёлтым, если нужна небольшая коррекция, красным, если пока не получается. Исправление — это часть работы математика, не повод скрывать затруднение». | Ученики сверяют чертежи с эталоном, отмечают цветной отметкой уровень уверенности и при необходимости исправляют построение. Ожидаемые замечания: «Забыл обозначить точку пересечения», «Нужно было сохранить раствор циркуля», «Не провёл луч через новую точку». |
Эталон решения
Построение биссектрисы считается завершённым, если дуга из вершины пересекает обе стороны угла, две дуги из полученных точек проведены одинаковым раствором и их точка пересечения соединена с вершиной. Обоснование: два образовавшихся треугольника равны по трём сторонам, поэтому углы при вершине равны. При переносе угла необходимо построить дугу исходного радиуса из новой вершины, перенести на неё расстояние между точками пересечения дуги исходного угла со сторонами и соединить новую вершину с отмеченной точкой; соответствующие треугольники равны по трём сторонам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили не только внешний вид чертежа, но и обоснование. Осталось осмыслить, какой алгоритм уже стал уверенным и где ещё нужна тренировка».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: «На небольшом листке закончите две фразы: “Чтобы построить биссектрису, нужно…” и “Чтобы перенести угол, важно…” Затем ответьте на вопрос: почему нельзя произвольно менять раствор циркуля в ключевых шагах? Напишите также одно действие, которое у вас получилось уверенно, и один вопрос, который остался». | Ученики индивидуально записывают ответы и сдают листки. Ожидаемые формулировки: «Дуги из точек на сторонах надо строить одинаковым раствором», «Хорду исходной дуги нужно перенести на новую дугу», «Равенство углов обосновывается равенством треугольников». |
4 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания и разъясняет выбор: «Обязательный уровень выполняют все; следующий уровень выбирайте, если базовый алгоритм уже получается. Дополнительное задание — для тех, кто хочет проверить, можно ли придумать задачу на точное построение для чертёжника или дизайнера. Перед выходом ответьте устно: чем биссектриса отличается от произвольного луча внутри угла и что именно переносится при построении равного угла?» | Ученики записывают выбранное домашнее задание и отвечают: «Биссектриса делит угол на две равные части», «При переносе циркулем откладывают расстояние между точками пересечения дуги со сторонами». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба построения, все ключевые точки обозначены, дуги проведены с нужным раствором, а равенство углов обосновано через равенство треугольников.
- «4» — построения в основном верны, но допущена одна небольшая неточность в обозначении или объяснении, не нарушающая основной алгоритм; ученик исправляет её после самопроверки.
- «3» — выполнено одно построение или оба построения завершены с помощью памятки; ученик распознаёт основные шаги, но пока нуждается в поддержке при обосновании.
- При формирующей проверке учитель отдельно отмечает аккуратность, самостоятельность и качество аргументации; ошибка в чертеже используется как ориентир для коррекции, а не как повод для публичного сравнения учеников.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг построения биссектрисы оказался для вас ключевым и почему? | Проверка понимания роли равных радиусов и точки пересечения дуг. |
Что именно нужно перенести циркулем, чтобы построить угол, равный данному? | Выявление понимания переноса хорды между точками исходной дуги. |
Как вы доказали, что полученные углы равны? | Проверка связи построения с равенством треугольников и соответствующих углов. |
Какое действие вы теперь можете выполнить самостоятельно, а в каком нужна тренировка? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы освоили два точных построения: научились делить угол пополам и переносить его циркулем и линейкой. Мы убедились, что аккуратный чертёж становится убедительным, когда каждый шаг можно обосновать. Особенно важно не менять раствор циркуля там, где требуется равенство отрезков, и переносить именно расстояние между точками исходной дуги. Если какое-то действие пока вызывает сомнение, вернитесь к памятке и проверьте построение по шагам. На следующем уроке мы продолжим использовать геометрические построения и учиться доказывать их свойства».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить в тетради циркулем и линейкой два построения: провести биссектрису заданного угла и построить из отмеченной точки угол, равный данному; подписать точки и записать краткое обоснование каждого построения. | Закрепляет последовательность действий; при проверке обратить внимание на одинаковый раствор циркуля и наличие объяснения. |
Средний (повышающий) | Построить биссектрисы двух углов разной величины и перенести один из этих углов в новое место чертежа; сравнить построения и письменно объяснить, какие отрезки равны в каждом случае. | Развивает навык применения алгоритма к разным чертежам; проверить корректность обозначений и связь равенств отрезков с равенством углов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить для одноклассника задачу на построение биссектрисы или перенос угла, изобразить чертёж с одной намеренной ошибкой и приложить правильный алгоритм с объяснением, почему ошибка нарушает доказательство. | Развивает анализ и создание математического задания; при проверке оценить содержательность ошибки, точность исправления и обоснованность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить биссектрису угла? Какие точки должны получиться при построении её дугами? Какое расстояние переносится при построении угла, равного данному? На каком основании мы заключаем, что соответствующие углы равны?»
