Периметр многоугольника. Решение задач на клетчатой бумаге
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить периметр многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, двумя способами — сложением длин сторон и подсчётом единичных отрезков, — и верно решать не менее 3 из 4 практических заданий.
- Познакомить учащихся с алгоритмом вычисления периметра многоугольника по его изображению на клетчатой бумаге и закрепить единицу измерения длины.
- Развивать умение анализировать чертёж, выделять стороны многоугольника, составлять план решения и проверять результат другим способом.
- Формировать навыки сотрудничества при обсуждении различных способов решения и аргументированного представления собственного ответа.
- Воспитывать аккуратность построений, ответственность за результат и понимание практической значимости измерений в архитектуре, дизайне и инженерии.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вычисления периметра при планировании ограждений, рамок, дорожек и других объектов.
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов решения одной геометрической задачи.
- Развивают ответственное отношение к точности измерений и оформлению чертежа.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу, принимают обоснованные решения.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при решении задачи по чертежу и соотносят результат с условием.
- Извлекают информацию из клетчатого рисунка, представляют её в виде таблицы длин сторон и математического выражения.
- Сравнивают способы нахождения периметра, выявляют ошибки и аргументируют выбор более удобного способа.
- Используют математическую речь для описания чертежа, формулировки вывода и взаимопроверки.
Предметные
- Знать определение периметра многоугольника и правило его вычисления.
- Уметь определять длину стороны многоугольника по числу клеток и масштабу клетчатой бумаги.
- Уметь вычислять периметр многоугольника сложением длин всех его сторон.
- Уметь решать задачи на клетчатой бумаге и проверять ответ подсчётом единичных отрезков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы: научиться уверенно находить периметр по чертежу.
- Осознают значение точности, последовательности и самопроверки в математической деятельности.
- Проявляют готовность выслушивать иной способ решения без обесценивания мнения одноклассника.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному преодолению затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную задачу на основе анализа проблемного чертежа.
- Планируют действия: определить единицу длины, измерить стороны, сложить длины, записать ответ.
- Контролируют соответствие вычислений рисунку и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют, какой способ проверки оказался полезным.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки периметра и отличают его от площади.
- Моделируют многоугольник как замкнутую ломаную и переводят рисунок в числовую запись.
- Сравнивают два способа вычисления периметра и устанавливают связь между ними.
- Анализируют ошибочное решение, находят место нарушения алгоритма и объясняют исправление.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по чертежу и уточняют непонятные шаги решения.
- Распределяют роли в паре или группе: измеритель, вычислитель, докладчик, проверяющий.
- Аргументированно представляют способ решения и сравнивают его с решением другой пары.
- Договариваются о едином ответе, корректно указывают на неточности и принимают рекомендации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение с определением периметра, единичным отрезком и двумя многоугольниками на клетчатой бумаге.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые — по 1 на каждого ученика, повышающие — по 1 на пару, дополнительные — по 1 на группу.
- Подготовить карточку с ошибочным решением: ученик сложил не все стороны многоугольника и получил неверный периметр.
- Раздать каждому ученику линейку, карандаш, ластик и лист клетчатой бумаги; проверить, что сторона клетки обозначена как 1 см.
- Вывести на доску памятку: «1. Определи единицу длины. 2. Найди длину каждой стороны. 3. Сложи длины всех сторон. 4. Запиши единицу измерения. 5. Проверь ответ».
- Подготовить лист самооценки со строками «Я могу определить длину стороны», «Я могу вычислить периметр», «Я могу проверить ответ».
- Организовать на доске место для проблемного вопроса: «Можно ли найти периметр, не измеряя каждую сторону линейкой?»
- Подготовить таймер на 3–5 минут для самостоятельной работы и цветные карточки для приёма «Светофор».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость вычисления периметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карандаша. Сегодня нам понадобится особенно аккуратная работа с чертежом. Вы сможете выбрать удобный способ решения и объяснить его классу». | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят тетрадь и линейку. |
3 мин | Учитель показывает на экране план клумбы в форме многоугольника, изображённый на клетчатой бумаге: «Представьте, что эту клумбу нужно оградить бордюром. Что необходимо узнать, чтобы определить длину бордюра? Как вы назовёте длину замкнутой границы фигуры? Сформулируйте ответ сначала самостоятельно, затем обсудите его с соседом». | В течение 30 секунд формулируют ответ, 1 минуты обсуждают его в парах и сообщают: «Нужно найти длину всей границы фигуры — её периметр». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что периметр связан с длиной границы фигуры. Сейчас проверим, как найти эту длину, если фигура изображена на клетчатой бумаге».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия многоугольника, стороны, единичного отрезка и периметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на доску. На рисунке изображены треугольник, прямоугольник и незамкнутая ломаная. Какие из них являются многоугольниками? Объясните, какое условие обязательно». Учитель выделяет вершины и стороны цветом. | Называют треугольник и прямоугольник, объясняют: «Многоугольник — замкнутая ломаная, состоящая из отрезков». Указывают вершины и стороны на рисунке. |
2 мин | «Вспомним правило: как вычислить периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 6 см? Почему результат записывается в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах?» | Записывают: \(P=4+5+6=15\) см. Объясняют, что периметр — длина, поэтому используется единица длины. |
2 мин | Учитель показывает клетчатый отрезок длиной в 5 клеток: «Если сторона одной клетки равна 1 см, чему равна длина этого отрезка? А если сторона клетки равна 2 см?» | Считают клетки и отвечают: «5 см» и «10 см». Формулируют правило: число клеток умножается на длину стороны клетки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что периметр равен сумме длин всех сторон, а длину стороны на клетчатой бумаге можно определить по числу клеток. Теперь найдём, где именно возникает затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при вычислении периметра сложного многоугольника и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает многоугольник на клетчатой бумаге с горизонтальными и вертикальными сторонами и предлагает найти его периметр без готовых подписей. «Попробуйте решить за минуту. Можно ли просто пересчитать клетки внутри фигуры? Можно ли сложить только видимые горизонтальные стороны?» | Пробуют составить вычисление, замечают, что нужно учитывать все стороны границы. Высказывают предположения: «Нужно пройти по контуру», «Нельзя считать только площадь внутри». |
2 мин | «Сформулируйте проблему урока. Что нам нужно научиться делать, чтобы уверенно решать такие задачи? Предложите план действий». Учитель фиксирует ответы на доске и уточняет формулировку цели. | Формулируют: «Нужно научиться находить длину каждой стороны по клеткам и складывать все стороны». Записывают цель и принимают алгоритм как план работы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема состоит не в самом сложении, а в том, чтобы внимательно прочитать чертёж и не пропустить ни одного отрезка. Сейчас мы вместе откроем надёжный алгоритм».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм вычисления периметра многоугольника на клетчатой бумаге и установить возможность проверки подсчётом единичных отрезков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует многоугольник ABCDE на клетчатой бумаге: длины его сторон по числу клеток равны 4, 2, 3, 2 и 3 клетки, сторона клетки — 1 см. «Поставьте карандаш в вершину A и мысленно обойдите границу фигуры по часовой стрелке. Что нужно измерить? Почему нельзя остановиться после первой стороны?» | Обводят контур пальцем или карандашом, называют стороны AB, BC, CD, DE, EA, отвечают: «Нужно измерить все стороны замкнутой границы». |
3 мин | «Запишем данные в таблицу: AB=4 см, BC=2 см, CD=3 см, DE=2 см, EA=3 см. Теперь составим формулу периметра. Обратите внимание: мы складываем длины, а не площади». Учитель записывает на доске вычисление. | Переписывают данные, составляют: \(P=AB+BC+CD+DE+EA=4+2+3+2+3=14\) см. Формулируют вывод: «Периметр равен 14 см». |
3 мин | Учитель показывает, как пройти по контуру и отметить 14 единичных отрезков: «Это второй способ проверки. Каждый шаг по стороне равен одной клетке. Сколько единичных отрезков получилось? Совпал ли результат?» | Считают единичные отрезки по границе, получают 14, сравнивают с суммой длин и формулируют: «Оба способа дают один и тот же периметр». |
Запись в тетрадях
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Алгоритм: 1) определить длину стороны клетки; 2) обойти многоугольник по контуру; 3) найти длину каждой стороны; 4) сложить длины всех сторон; 5) записать ответ с единицей длины и выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили алгоритм: обойти контур, определить длины всех сторон и сложить их. Теперь потренируемся выполнять каждый шаг вслух, чтобы алгоритм стал рабочим инструментом».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления периметра через совместный разбор чертежа и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Работаем в парах по приёму „Подумай — обсуди в паре — поделись“. Раздаю карточку: на клетчатой бумаге изображён прямоугольный ступенчатый многоугольник, сторона клетки равна 1 см. Его стороны при обходе по контуру имеют длины 5, 2, 2, 3, 3, 5, 2 и 5 клеток. Сначала каждый составьте выражение самостоятельно». | Читают условие карточки и индивидуально записывают сумму длин сторон. |
3 мин | «Теперь сравните записи. Проверьте, что у каждого учтены все восемь сторон и единица измерения. Если ответы различаются, не стирайте сразу решение: найдите, на каком шаге возникло расхождение». | Сверяют выражения в парах, обводят на рисунке каждую учтённую сторону, исправляют пропуски и получают: \(P=5+2+2+3+3+5+2+5=27\) см. |
3 мин | «Какая пара готова объяснить решение у доски? Почему подсчёт внутренних клеток не заменяет вычисление периметра? Назовите критерии хорошего решения». Учитель фиксирует: все стороны, вычисления, единица, проверка. | Один представитель пары показывает обход контура и вычисление. Класс дополняет: «Нужно учитывать границу, а не площадь; ответ должен содержать сантиметры». |
Эталон решения
Дано: длины сторон многоугольника равны 5 см, 2 см, 2 см, 3 см, 3 см, 5 см, 2 см и 5 см. Тогда \(P=5+2+2+3+3+5+2+5=27\) см. Проверка: подсчёт единичных отрезков по замкнутому контуру даёт 27 отрезков по 1 см, значит, \(P=27\) см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы убедились, что надёжнее всего сначала отметить все стороны по контуру, а затем выполнять вычисления. Теперь каждый проверит, насколько уверенно умеет применять алгоритм самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение находить периметр многоугольника на клетчатой бумаге и выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Выберите один из двух вариантов: базовый или повышенный. Базовый вариант содержит многоугольник с горизонтальными и вертикальными сторонами, повышенный — многоугольник с более сложным контуром и необходимостью объяснить способ проверки. Работайте самостоятельно, время — 6 минут». | Выбирают уровень, подписывают карточку и читают условие. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки и напоминает: «В решении должны быть рисунок или обозначения сторон, вычисление и ответ. Не забывайте: сторона клетки равна 1 см. После выполнения проверьте результат подсчётом единичных отрезков». | Решают индивидуально. Базовый вариант: находят периметр пятиугольника со сторонами 4, 3, 2, 3 и 4 клетки. Повышенный вариант: находят периметр многоугольника с шестью сторонами 3, 2, 4, 3, 2 и 4 клетки и записывают два способа проверки. |
3 мин | «Покажите светофор: зелёный — решение готово и проверено, жёлтый — есть сомнение, красный — нужна помощь. На экране появляется эталон. Сверяйте не только число, но и каждый шаг». | Поднимают цветную карточку, сравнивают решение с эталоном, подчёркивают место возможной ошибки и исправляют её другим цветом. |
Эталон решения
Базовый вариант: \(P=4+3+2+3+4=16\) см. Повышенный вариант: \(P=3+2+4+3+2+4=18\) см. Проверка выполняется подсчётом единичных отрезков по замкнутому контуру. Если сторона клетки не равна 1 см, число клеток необходимо умножить на длину стороны клетки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять алгоритм. Осталось связать новый способ с уже известным правилом о периметре и обсудить, как находить и исправлять типичные ошибки».
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученный алгоритм, оценить достижение цели урока и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Заполните лист самооценки. Отметьте, можете ли вы определить длину стороны по клеткам, вычислить сумму длин всех сторон и проверить результат. Затем ответьте на вопрос: какой шаг алгоритма оказался самым важным именно для вас?» | Заполняют лист самооценки, формулируют ответы: «Мне важно не пропустить сторону», «Мне помогает обход контура», «Мне нужно ещё потренироваться в проверке». |
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение: \(P=4+3+2+3=12\) см для пятиугольника со сторонами 4, 3, 2, 3 и 4 клетки. «Найдите ошибку и объясните её по формуле периметра. Как исправить решение?» | Находят пропущенную сторону, исправляют: \(P=4+3+2+3+4=16\) см, объясняют: «У многоугольника нужно сложить длины всех сторон». |
1 мин | «Запишите домашнее задание. Перед выходом ответьте устно на контрольные вопросы: что такое периметр; что означает сторона клетки; почему ответ записывают в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах?» | Записывают задание, отвечают: «Периметр — сумма длин всех сторон; сторона клетки задаёт единицу измерения; сантиметры — единицы длины». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены задания выбранного уровня, учтены все стороны многоугольника, вычисления оформлены последовательно, единица измерения указана, проверка выполнена или убедительно объяснена.
- «4» — найден правильный способ и почти верный периметр, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — ученик понимает, что периметр является суммой длин сторон, но пропустил одну сторону или допустил несколько ошибок в определении длины по клеткам; после подсказки исправляет решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое периметр многоугольника и чем он отличается от площади? | Проверка осознания основного понятия и предупреждение смешения единиц измерения. |
Какой порядок действий помогает найти периметр по клетчатому рисунку? | Выявление понимания алгоритма решения. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: чтение чертежа, измерение или вычисление. |
Каким способом вы проверяли свой ответ и почему доверяете этой проверке? | Формирование навыка самоконтроля и осознанного выбора способа проверки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить периметр многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Главное — внимательно пройти по замкнутому контуру, учесть каждую сторону и записать единицу длины. Типичная ошибка — считать только часть границы или путать периметр с количеством клеток внутри фигуры. Если вы сомневаетесь, используйте подсчёт единичных отрезков как проверку. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к более сложным фигурам и задачам с неизвестными длинами сторон».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление периметра многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге, при стороне клетки 1 см; в каждом решении обозначить или перечислить длины всех сторон. | Закрепляет алгоритм обхода контура и сложения длин; при проверке обратить внимание на полноту учёта сторон и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых длина стороны клетки задана как 2 см или 5 мм; для каждой фигуры выполнить вычисление периметра и одну проверку подсчётом единичных отрезков. | Формирует умение учитывать масштаб клетчатой бумаги и переводить число клеток в реальные единицы длины. |
Продвинутый (дополнительный) | Построить на клетчатой бумаге два разных многоугольника с одинаковым периметром 24 см, но разной формой, и доказать вычислением, что периметры равны. | Развивает исследовательское и творческое мышление, понимание того, что одинаковый периметр не означает одинаковую форму фигуры. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить длину стороны многоугольника по клеткам? Почему при вычислении периметра нельзя пропускать даже короткую сторону? В каких единицах измеряется периметр? Как проверить полученный результат?»
