Биссектриса, медиана и высота треугольника. Практическая работа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать биссектрису, медиану и высоту треугольника, строить их с помощью линейки и транспортира, а также объяснять свой выбор по заданным чертежам.
- Закрепить определения биссектрисы, медианы и высоты треугольника и различать эти отрезки по их признакам.
- Сформировать умение выполнять практическую работу по алгоритму, аккуратно строить чертежи и проверять результат измерением.
- Развивать пространственное и логическое мышление, навыки парного обсуждения, аргументации и самопроверки.
- Воспитывать ответственность за точность измерений, уважение к мнению партнёра и готовность корректировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к геометрии как языку описания форм и конструкций.
- Осознают значение точности построений для будущей учебной и практической деятельности, включая архитектуру, инженерное дело и дизайн.
- Принимают необходимость проверять собственный результат и спокойно относятся к исправлению ошибки.
- Проявляют уважение к мнению партнёра при совместном выполнении практической работы.
Метапредметные
- Извлекают признаки геометрических объектов из определения и используют их при анализе чертежа.
- Планируют последовательность построения, распределяют действия в паре и контролируют соблюдение алгоритма.
- Сравнивают результаты измерений, формулируют вывод и аргументируют его геометрическими признаками.
- Используют линейку и транспортир как инструменты получения и проверки информации.
Предметные
- Знать определения биссектрисы, медианы и высоты треугольника.
- Уметь находить биссектрису как отрезок, делящий угол пополам, и медиану как отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
- Уметь строить высоту как перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Уметь распознавать три вида отрезков на готовом чертеже и объяснять ответ.
- Владеть навыком аккуратного выполнения практической работы и оформления вывода.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в выполнение парной практической работы.
- Связывают точность геометрического построения с качеством результата в реальной деятельности.
- Формулируют личную учебную цель на урок и оценивают степень её достижения.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель практической работы.
- Планируют построение по предложенному алгоритму.
- Сверяют чертёж с критериями и выполняют самокоррекцию.
- Оценивают точность работы по результатам измерений и листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки трёх линий треугольника.
- Сравнивают биссектрису, медиану и высоту по основанию построения и способу проверки.
- Моделируют построение с помощью чертёжных инструментов.
- Анализируют ошибочные чертежи и устанавливают причину ошибки.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: исполнитель и контролёр, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы по алгоритму и дают партнёру точную обратную связь.
- Аргументируют выбор названия отрезка, ссылаясь на определение.
- Договариваются о едином варианте вывода и корректно разрешают расхождения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на каждую парту линейку, транспортир, карандаш, ластик и угольник; проверить исправность инструментов.
- Распечатать карточки практической работы трёх уровней: по одной карточке на пару и два запасных экземпляра.
- Распечатать лист самооценки по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточки с изображениями треугольников и ошибочных построений — по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Вывести на доску или слайд определения биссектрисы, медианы и высоты, а также условные обозначения $AD$, $BE$, $CF$.
- Записать на доске критерии: точность чертежа, наличие обозначений, правильность вывода, аккуратность.
- Подготовить три больших чертежа треугольников: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного.
- Подготовить таймер на 4 минуты для каждого построения и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Организовать парную рассадку и заранее определить место для демонстрации работ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать необходимость различать три важных отрезка треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь, линейка, транспортир, карандаш и ластик. Сегодня мы будем не только вспоминать определения, но и доказывать их правильность построением и измерением." Учитель показывает три одинаковых треугольника с разными внутренними отрезками. | Проверяют оборудование, рассматривают три чертежа и формулируют предположение: "Отрезки проведены из вершин, но построены по разным правилам". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему инженер или архитектор не может назвать любой отрезок внутри треугольника высотой? Как по чертежу доказать, что перед нами именно медиана, биссектриса или высота? Запишите один вопрос, на который хотите получить ответ." | Записывают индивидуальный вопрос, затем обсуждают его с соседом 30 секунд и называют варианты: "Нужно проверить прямой угол", "Нужно измерить стороны", "Нужно сравнить углы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам понадобится не угадывать название отрезка, а проверять его по определению. Сначала восстановим признаки, затем построим каждый отрезок и проверим результат измерением."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения угла, перпендикулярности, середины отрезка и биссектрисы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с четырьмя утверждениями: "Стороны угла; середина отрезка; перпендикулярные прямые; луч, делящий угол на два равных угла". Учитель говорит: "Приём «Подумай — обсуди в паре». Сначала каждый молча соединяет понятие с определением, затем сравните ответы." | Сначала самостоятельно соединяют понятия и определения, затем в парах обсуждают совпадения и расхождения. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Как доказать, что точка является серединой отрезка? Как проверить, что два угла равны? Что означает запись $AB \perp CD$?" При необходимости показывает на доске образцы измерений. | Отвечают: "Нужно сравнить длины двух частей отрезка"; "Нужно измерить углы транспортиром"; "$AB$ перпендикулярна $CD$, если угол между ними равен $90^\circ$". |
2 мин | Учитель предлагает парам выбрать одно из двух заданий: найти ошибку в готовом чертеже или составить устный алгоритм проверки одного признака. После обсуждения просит две пары представить ответы. | Выбирают задание, находят ошибку или формулируют алгоритм: "Измерить две части отрезка", "проверить равенство углов", "проверить угол $90^\circ$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили три инструмента проверки: сравнение длин, измерение углов и проверку перпендикулярности. Теперь выясним, как эти действия превращаются в точные определения линий треугольника."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель практической работы и критерии успешного выполнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает чертёж треугольника $ABC$ с отрезком $AD$ и спрашивает: "Точка $D$ лежит на стороне $BC$, но достаточно ли этого, чтобы назвать $AD$ медианой? Отрезок проходит из вершины, но достаточно ли этого для высоты? Какие дополнительные признаки нужно проверить?" | Обсуждают в парах и отвечают: "Для медианы точка должна быть серединой стороны"; "Для высоты нужен прямой угол"; "Для биссектрисы нужны равные углы". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске цель: "Построить биссектрису, медиану и высоту треугольника и доказать соответствие каждого отрезка определению". Затем сообщает критерии: "Чертёж должен быть обозначен, построение — выполнено по алгоритму, вывод — подтверждён измерением." | Записывают тему и цель урока, формулируют план: "Вспомнить определение — построить — измерить — сделать вывод". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена, критерии известны. Переходим к открытию нового знания через последовательное построение трёх отрезков; в каждой паре один ученик строит, второй контролирует по определению."
Этап 4. Открытие нового знания и инструктаж (8 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать определения биссектрисы, медианы и высоты треугольника через практические действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель строит на доске треугольник $ABC$ и проводит из вершины $A$ луч $AD$. Реплика: "Если $\angle BAD = \angle DAC$, то луч $AD$ называется биссектрисой угла $A$. В треугольнике биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до противоположной стороны. Посмотрите, что именно будем проверять: равенство двух углов." | Записывают определение биссектрисы, измеряют транспортиром углы $BAD$ и $DAC$ на образце, формулируют вывод: "Биссектриса делит угол вершины на два равных угла". |
3 мин | Учитель продолжает: "Отметим на стороне $BC$ точку $D$ так, чтобы $BD=DC$. Соединим $A$ и $D$. Отрезок $AD$ — медиана, потому что соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Теперь строим перпендикуляр из вершины к противоположной стороне или её продолжению. Этот отрезок называется высотой." | Выполняют в тетради три мини-построения, подписывают точки $D$, $E$, $F$, проговаривают признаки: "Для медианы равны части стороны", "для высоты угол равен $90^\circ$". |
2 мин | Учитель предлагает сравнить признаки в таблице на доске: "Биссектриса — равные углы; медиана — равные отрезки; высота — прямой угол. Не путайте направление построения с признаком: все три отрезка могут выходить из одной вершины, но проверяются по-разному." | Заполняют в тетради сравнительную схему из трёх строк, задают вопросы и исправляют неточные формулировки. |
Запись в тетрадях
- Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с противоположной стороной.
- Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не только названия, но и проверяемые признаки. В практической работе вы примените их самостоятельно и увидите, что высота тупоугольного треугольника может попадать на продолжение стороны."
Этап 5. Практическая работа в парах (12 мин)
Цель этапа: научить строить три линии треугольника и подтверждать их свойства измерением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки и инструктирует: "Начните с треугольника $ABC$. Из вершины $A$ постройте биссектрису $AD$, медиану $BE$ и высоту $CF$. Работайте в паре: исполнитель строит, контролёр сверяет каждый шаг с определением. Через две минуты поменяйтесь ролями." Учитель напоминает: "Подписывайте точки и не стирайте вспомогательные измерения до проверки." | Выполняют построение биссектрисы $AD$: проводят линию из $A$, добиваются равенства углов, измеряют $\angle BAD$ и $\angle DAC$, записывают результаты. |
4 мин | Учитель говорит: "Теперь отметьте на стороне $AC$ точку $E$, для которой $AE=EC$, и соедините её с вершиной $B$. Проверьте медиану линейкой. Если измерения отличаются на 1 мм из-за толщины линии, повторите построение аккуратнее и укажите это в выводе." | Строят медиану $BE$, измеряют $AE$ и $EC$, записывают: "$AE=EC$, значит, $BE$ — медиана". Меняются ролями в паре. |
4 мин | Учитель демонстрирует на доске построение высоты: "Проведите через $C$ перпендикуляр к прямой $AB$. Обратите внимание: если треугольник тупоугольный, основание высоты может оказаться на продолжении стороны. Проверьте транспортиром угол $CFB=90^\circ$ и оформите общий вывод." | Строят высоту $CF$ с помощью угольника или транспортира, проверяют прямой угол, подписывают основание и формулируют вывод. Контролёр отмечает выполнение критериев на карточке. |
Эталон решения
Для биссектрисы: построить луч из вершины $A$ внутрь угла, измерить углы по обе стороны луча; если $\angle BAD=\angle DAC$, то $AD$ — биссектриса. Для медианы: измерить отрезки $AE$ и $EC$; если $AE=EC$, то $E$ — середина $AC$, а $BE$ — медиана. Для высоты: проверить угол между $CF$ и прямой $AB$; если $\angle CFB=90^\circ$, то $CF\perp AB$ и $CF$ — высота.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы построили все три отрезка и проверили их разными способами. Теперь проверим, сможете ли вы распознать линию без подсказки и объяснить решение только по её признаку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание признаков и умение применять их к готовому чертежу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает выбрать базовый или повышенный вариант. Базовый: "На чертеже треугольника $ABC$ отрезок $AD$ делит угол $A$ пополам, а $BE$ соединяет вершину $B$ с серединой $AC$. Назовите эти отрезки." Повышенный: "Объясните, почему отрезок из вершины тупого угла к противоположной стороне не всегда является высотой, если он не перпендикулярен этой стороне." | Индивидуально выполняют выбранный вариант и записывают обоснование: "$AD$ — биссектриса, $BE$ — медиана" или "Высота определяется перпендикулярностью, а не только выходом из вершины". |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и доказательство. В нём обязательно должно быть слово «равные углы», «середина» или «перпендикуляр». Отметьте зелёным правильный шаг, жёлтым — шаг, который нужно исправить." | Сверяют решение с эталоном, выделяют место затруднения, исправляют формулировку и ставят знак самопроверки. |
2 мин | Учитель проводит быстрый приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — различаю все три отрезка, жёлтый — путаю один признак, красный — нужна помощь. Поднимите карточку и запишите, что именно повторите." | Показывают карточку, фиксируют личное затруднение: "Нужно ещё раз проверить построение высоты" или "Путаю биссектрису и медиану". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что ответ становится геометрическим доказательством только тогда, когда вы называете признак. Осталось обобщить результат и оценить собственную работу."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат практической работы, выявить затруднения и определить дальнейший шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Заполните три строки: «Я умею строить», «Я умею проверять», «Мне нужно повторить». Будьте точны: вместо «всё хорошо» напишите конкретный признак или действие." | Заполняют лист самооценки, отмечают уровень выполнения каждого построения и записывают одно затруднение. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как отличить медиану от биссектрисы? Какой признак высоты нельзя заменить измерением длины? Что следует проверить первым, если чертёж вызывает сомнение?" | Отвечают: "Медиана делит сторону пополам, биссектриса делит угол пополам"; "Высота определяется прямым углом"; "Сначала нужно обратиться к определению". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает: "Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Сфотографируйте или аккуратно сохраните практический чертёж для следующего урока." | Записывают домашнее задание, формулируют личный результат урока одним предложением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились не просто узнавать названия линий треугольника, а строить и проверять их по определениям. Это и есть важный геометрический навык: утверждение должно подтверждаться точным признаком."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно построены биссектриса, медиана и высота; все точки и линии обозначены; выполнены необходимые измерения; выводы соответствуют определениям; работа аккуратно оформлена.
- «4» — правильно выполнены два из трёх построений и третье содержит несущественную неточность, либо все построения верны, но один вывод сформулирован неполно.
- «3» — выполнены хотя бы два построения с помощью алгоритма, но допущены ошибки в обозначениях, измерениях или объяснении одного из признаков.
- Ниже базового уровня — построен только один отрезок или отсутствует связь результата с определением; работу необходимо доработать по листу коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня научились строить и проверять? | Выявление осознания предметного результата урока. |
Как отличить медиану от биссектрисы, если обе проведены из вершины? | Проверка понимания различия между равенством отрезков и равенством углов. |
На каком шаге практической работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме построения. |
Что вы измените в своей работе при следующем построении? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что биссектриса, медиана и высота могут выходить из одной вершины, но определяются разными признаками. Биссектрису проверяем равенством углов, медиану — равенством частей противоположной стороны, высоту — прямым углом. Самая частая ошибка — называть высотой любой отрезок из вершины; теперь вы знаете, что необходима перпендикулярность. На следующем уроке мы рассмотрим свойства этих линий и научимся применять их при решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем | |
|---|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание биссектрисы, медианы и высоты по готовым чертежам; в каждом ответе указать проверяемый признак. | Закрепить определения; при проверке обратить внимание на точность терминов «равные углы», «середина», «перпендикуляр». | |
Средний (повышающий) | Построить в тетради биссектрису, медиану и высоту в одном остроугольном и одном тупоугольном треугольнике; выполнить измерения и записать выводы. | Отработать алгоритм построения и понять, почему высота может лежать на продолжении стороны; проверить наличие обозначений и измерений. | |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный чертёж с тремя отрезками внутри треугольника и подготовить для одноклассника три вопроса, позволяющих определить их вид без подписей. | Развить анализ и умение создавать геометрическую задачу; проверить, что каждый вопрос опирается на один существенный признак. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой отрезок соединяет вершину с серединой противоположной стороны? Какой отрезок делит угол пополам? Как проверить, что отрезок является высотой? Назовите один признак, который вы сегодня научились применять на практике».
