Периметр и площадь фигур, составленных из прямоугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по чертежу разбивать составную фигуру на прямоугольники, вычислять её площадь и периметр, объясняя выбор способа и проверяя результат.
- Научиться выделять в составной фигуре прямоугольники и определять недостающие длины по данным чертежа.
- Закрепить применение формул площади прямоугольника $S=ab$ и периметра прямоугольника $P=2(a+b)$ при решении практических задач.
- Развивать умение сравнивать разные способы разбиения фигуры, находить ошибки и аргументировать наиболее рациональное решение.
- Воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, ответственность за результат совместной работы и готовность принимать обоснованное мнение одноклассника.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению геометрии при планировке помещений, изготовлении деталей и расчёте количества материалов.
- Осознают значение точности измерений и вычислений в практической деятельности.
- Принимают возможность выбора способа решения и уважительно относятся к обоснованным решениям одноклассников.
- Оценивают собственный вклад в парную или групповую работу.
- Формируют установку на проверку результата и исправление ошибок.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, выделяют известные и неизвестные величины.
- Планируют последовательность решения практической геометрической задачи.
- Сравнивают способы разбиения фигуры на прямоугольники и выбирают рациональный.
- Формулируют выводы, аргументируют ответ и участвуют в обсуждении.
- Используют самооценку и взаимопроверку по заданным критериям.
Предметные
- Знать формулы площади и периметра прямоугольника.
- Уметь разбивать составную фигуру на прямоугольники и находить длины её сторон.
- Уметь вычислять площадь составной фигуры как сумму площадей частей.
- Уметь находить периметр составной фигуры по длинам её внешних сторон.
- Уметь проверять правдоподобие ответа и объяснять ход решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться применять известные формулы к новой конфигурации.
- Осознают практическую ценность вычисления площадей и периметров.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа разбиения фигуры.
- Оценивают, какие действия помогли получить верный результат.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Составляют план решения: дополнить чертёж, разбить фигуру, вычислить, проверить.
- Контролируют соответствие единиц измерения и промежуточных вычислений.
- Сверяют решение с эталоном и корректируют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Читают чертёж и устанавливают связи между длинами параллельных сторон.
- Классифицируют составные фигуры по способу разбиения на прямоугольники.
- Моделируют решение с помощью вспомогательных линий и схем.
- Анализируют ошибочное решение, находят нарушенный шаг.
- Применяют формулы в изменённой и практической ситуации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе и согласуют последовательность действий.
- Задают уточняющие вопросы по чертежу и способу решения.
- Объясняют, почему внутренняя линия разбиения не входит в периметр.
- Аргументируют выбор способа решения с опорой на вычисления.
- Корректно дают однокласснику обратную связь по приёму «Две звезды и пожелание».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трёх составных фигур из прямоугольников с указанными размерами и одну фигуру для проблемного вопроса.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить листы с эталонами решений для самопроверки — по одному на парту.
- Распечатать лист самооценки и «билет на выход» — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные карандаши или маркеры для выделения прямоугольников — по комплекту на парту.
- Вывести на доску или экран формулы $S=ab$ и $P=2(a+b)$, а также памятку: «Площадь — внутреннее, периметр — внешняя граница».
- Подготовить линейку, магнитные карточки с названиями этапов решения и таймер на 3–5 минут.
- Организовать посадку парами; для групповой работы предусмотреть четыре набора карточек с одной и той же фигурой, но разными способами разбиения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к практической задаче о расчёте материалов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране план помещения Г-образной формы: «Представьте, что вы помогаете дизайнеру рассчитать напольное покрытие для комнаты. Фигура состоит из прямоугольных участков, но не является одним прямоугольником. Сегодня нам понадобится не только формула, но и умение видеть фигуру целиком». | Готовят тетради и линейки, рассматривают чертёж, формулируют предположение: «Фигуру нужно разделить на части». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как найти площадь и периметр такой фигуры, если формулы для прямоугольника нам уже известны? Можно ли решить задачу несколькими способами? Запишите тему урока и отметьте, что хотите научиться делать». | Записывают тему, индивидуально формулируют учебную цель, затем обсуждают её в парах и предлагают варианты: «Разбить фигуру на прямоугольники», «Найти недостающие стороны», «Не посчитать внутренние линии в периметре». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что знакомые формулы сами по себе не решают новую задачу. Нужно научиться читать составной чертёж и выбирать удобную модель. Сначала проверим, какие знания нам уже понадобятся».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и свойства прямоугольника, необходимые для решения составной фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает прямоугольник со сторонами 8 см и 3 см: «Назовите формулу площади и вычислите её. Теперь назовите формулу периметра. Почему в периметр входят все четыре стороны?» | Записывают $S=ab$, вычисляют $S=8\cdot3=24$ см²; записывают $P=2(a+b)$ и находят $P=22$ см. Объясняют: «Периметр — длина всей границы фигуры». |
2 мин | Учитель показывает прямоугольник с неизвестной стороной и общей длиной двух частей: «Если верхняя сторона разбита на отрезки 5 см и 7 см, как найти её длину? Если две вертикальные стороны лежат на одной прямой, что можно сказать об их сумме?» | Отвечают: «Складываем отрезки: $5+7=12$ см». Находят недостающие длины по сложению и вычитанию, проговаривают свойство: «Длины противоположных сторон прямоугольника равны». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если уверенно применяете формулы, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если нужно повторить. Ошибка сейчас помогает понять, что повторить». | Показывают карточки, отмечают в листе самооценки, какое действие вызывает затруднение: формула, чтение чертежа или нахождение недостающей стороны. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулы площади и периметра у нас есть, а стороны можно находить по свойствам прямоугольника. Теперь выясним, как соединить эти знания в одном алгоритме».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при вычислении площади и периметра составной фигуры и составить план выхода из него.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует Г-образную фигуру: горизонтальные отрезки имеют длины 10 см и 4 см, вертикальные — 7 см и 3 см. «Попробуйте назвать площадь фигуры одним действием. Почему это не получается? Где проходит граница фигуры, если мы проведём внутри вспомогательный отрезок?» | Рассматривают чертёж и отвечают: «Одной формулой нельзя, потому что фигура не прямоугольник». Показывают возможную линию разбиения, различают внутреннюю линию и внешнюю границу. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите порядок действий. Затем сравните его с соседом, объедините варианты и сформулируйте общий план. На доске оставим только шаги, которые принимают все». | Индивидуально составляют план, обсуждают в парах, предлагают общий алгоритм: «1) найти недостающие длины; 2) разделить фигуру на прямоугольники; 3) найти площади частей и сложить; 4) найти периметр по внешней границе; 5) проверить единицы и ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили главное различие: площадь можно складывать по внутренним частям, а периметр считаем только по внешней границе. Проверим этот алгоритм на конкретном чертеже и обоснуем каждый шаг».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм вычисления площади и периметра составной фигуры из прямоугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает Г-образную фигуру: нижняя сторона 10 см, левая сторона 7 см, верхняя горизонтальная часть 6 см, правый вертикальный выступ 3 см. «Проведём линию так, чтобы получить два прямоугольника. Какие размеры первого и второго прямоугольника можно определить сразу? Какие длины нужно найти дополнительно?» | Цветом выделяют два прямоугольника, подписывают размеры. Находят недостающую горизонталь $10-6=4$ см и недостающую вертикаль $7-3=4$ см. Объясняют, почему эти разности соответствуют сторонам частей. |
3 мин | Учитель записывает на доске: «Площадь составной фигуры равна сумме площадей частей». «Вычислим: площадь нижнего прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см, площадь верхнего прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см. Почему площади можно сложить?» | Записывают $S_1=10\cdot4=40$ см², $S_2=6\cdot3=18$ см², $S=40+18=58$ см². Объясняют: «Прямоугольники не перекрываются и вместе составляют всю фигуру». |
3 мин | Учитель обводит внешнюю границу и говорит: «Теперь найдём периметр. Внутренний отрезок, которым мы разделили фигуру, не является границей фигуры. Назовите последовательно внешние стороны и сложите их». Учитель предлагает сравнить с ошибочным способом, где к периметру добавлена внутренняя линия. | Записывают $P=10+7+6+3+4+4=34$ см. Объясняют: «Внутренняя линия нужна для площади, но не входит в периметр». Находят ошибку в решении, где внутренняя линия прибавлена дважды. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) внимательно прочитать чертёж; 2) найти недостающие длины; 3) разделить фигуру на прямоугольники; 4) найти площадь каждой части и сложить; 5) найти периметр по внешней границе; 6) проверить единицы измерения и разумность ответа.
Эталон решения
Для указанной Г-образной фигуры: $10-6=4$ см, $7-3=4$ см. Площади частей: $S_1=10\cdot4=40$ см², $S_2=6\cdot3=18$ см². Общая площадь: $S=40+18=58$ см². Периметр по внешней границе: $P=10+7+6+3+4+4=34$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли способ решения: составную фигуру превращаем в сумму простых фигур, но периметр считаем не по линиям разбиения, а по контуру. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на новой фигуре и научиться объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с прямоугольной фигурой, из которой вырезан угол: общий прямоугольник имеет размеры 12 см и 8 см, вырезанный угол — прямоугольник 4 см на 3 см. «Выберите один из двух способов: рассмотреть фигуру как сумму двух прямоугольников или как большой прямоугольник без вырезанного участка. Сначала обозначьте на чертеже части». | В парах выбирают способ, проводят вспомогательную линию или выделяют вырез, подписывают размеры и распределяют роли: один вычисляет, второй проверяет. |
3 мин | Учитель напоминает: «При способе вычитания площадь выреза нужно убрать, но периметр не равен периметру большого прямоугольника. Объясните, какие стороны появились на внутреннем углублении». Обходит пары и задаёт вопросы: «Какие стороны входят во внешний контур? Почему?» | Вычисляют площадь: $12\cdot8-4\cdot3=84$ см². Находят периметр по контуру, подписывая все шесть сторон фигуры; сравнивают ответы с партнёром. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: «Запишите партнёру два удачных действия и один совет. Проверяйте не только число, но и способ, единицы и объяснение». | Сверяют решение с парой рядом, записывают две сильные стороны и одно конкретное пожелание, исправляют обнаруженную ошибку. |
Эталон решения
Площадь: $S=12\cdot8-4\cdot3=96-12=84$ см². Для периметра нужно сложить стороны внешнего контура. Если вырез расположен в углу, две стороны большого прямоугольника заменяются двумя сторонами выреза; поэтому периметр равен $P=2(12+8)=40$ см. Если вырез расположен внутри стороны и образует углубление, необходимо сложить все стороны контура, включая две стороны углубления.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Площадь можно находить сложением или вычитанием, если части не перекрываются. С периметром нужно быть особенно внимательными: проверяем именно границу данной фигуры. Сейчас каждый покажет, насколько уверенно умеет действовать без помощи партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом на заданиях трёх уровней сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выбор: «Все выполняют обязательное задание. Затем выберите базовый или повышенный уровень по самочувствию. Важно не количество, а полная запись: чертёж, недостающие стороны, формулы, ответ с единицами». Раздаёт карточки. | Записывают выбранный уровень в верхней части карточки, читают условие, выделяют известные данные. |
6 мин | Учитель наблюдает, не подсказывая ответ, но задаёт направляющие вопросы: «Что является внешней границей? Можно ли провести линию разбиения? Какая длина находится вычитанием? Проверьте, не прибавили ли вы внутренний отрезок к периметру». | Самостоятельно решают задания. Для обязательного уровня находят площадь и периметр Г-образной фигуры по готовым размерам двух прямоугольников. Для повышенного уровня выбирают способ решения фигуры с вырезанным углом и обосновывают его. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон с поэтапной схемой, но не только с ответами: «Сверяем сначала чертёж и недостающие длины, затем площадь, затем периметр. Ошибку не стираем сразу: обозначьте место и исправьте одной строкой». | Сверяют каждую строку с эталоном, отмечают плюсами верные шаги, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают результат по критериям. Сильные ученики выполняют дополнительное задание: доказывают, что два способа дают одинаковую площадь. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают решение выбранной задачи полностью: чертёж с вспомогательными линиями, вычисление недостающих длин, формулы площади и периметра, ответ с единицами измерения и краткую проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает только при внимательном чтении чертежа. Отметьте, на каком шаге возникла ошибка или задержка. В конце урока мы вернёмся к этому шагу и сформулируем личный способ его контролировать».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ решения, соотнести его с практической задачей и оценить достижение цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к первоначальному изображению помещения: «Представьте, что размеры указаны в метрах и нужно заказать покрытие. Какие данные вы сначала проверите? Какой запас материала понадобится в реальной ситуации и почему?» | Формулируют последовательность: «Проверим масштаб и единицы, найдём площадь, затем добавим запас на подрезку». Объясняют, что периметр может понадобиться для расчёта плинтуса. |
2 мин | Учитель раздаёт «билет на выход»: «Ответьте на три вопроса: что такое площадь составной фигуры; почему внутренняя линия не входит в периметр; какой шаг алгоритма для вас самый важный?» | Письменно отвечают на вопросы, приводят короткий пример, сдают билет при выходе. |
1 мин | Учитель проводит итоговый «Светофор»: «Зелёный — могу решить и объяснить, жёлтый — решу с памяткой, красный — нужна дополнительная тренировка. Выберите цвет честно: это не отметка, а план следующей работы». | Показывают карточку, отмечают в листе самооценки достигнутый результат и необходимую помощь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть за сложной фигурой набор простых прямоугольников, выбирать способ вычисления и отличать площадь от периметра. Ваш билет на выход поможет определить, какие шаги мы ещё потренируем».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено обязательное задание и выбранное задание повышенного уровня; правильно проведены линии разбиения, найдены недостающие длины, вычислены площадь и периметр, записаны единицы измерения и объяснено, почему внутренние линии не входят в периметр.
- «4» — алгоритм выбран верно, площадь и периметр найдены правильно или допущена одна вычислительная ошибка, не повлиявшая на понимание способа; чертёж и основные формулы записаны.
- «3» — выполнена основная часть обязательного задания, но допущены ошибки в одной недостающей длине, единицах или подсчёте периметра; после самопроверки ученик может указать и исправить ошибку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«Какой первый шаг вы выполняете, увидев составную фигуру?» | Проверка осознания общего алгоритма решения. |
«Почему внутренняя линия разбиения не прибавляется к периметру?» | Выявление понимания различия между площадью и внешней границей. |
«На каком этапе решения вы сегодня испытывали затруднение?» | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
«Какой способ — сложение площадей или вычитание — вы выбрали бы для новой фигуры и почему?» | Оценка умения выбирать и аргументировать рациональный способ. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились решать задачи, в которых фигура выглядит сложной, но состоит из знакомых прямоугольников. Главное — внимательно прочитать чертёж, найти недостающие длины и не перепутать внутреннюю линию разбиения с внешней границей. Помните: площадь можно складывать или вычитать по частям, а периметр всегда идёт по контуру данной фигуры. На следующем уроке мы продолжим применять этот алгоритм в задачах с неизвестными длинами и практическим контекстом. Если сейчас вы выбрали жёлтый или красный сигнал, начните дома с памятки и проверьте каждый шаг по отдельности».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на вычисление площади и периметра фигур, составленных из двух прямоугольников, с указанными длинами всех основных сторон. В каждой задаче выполнить чертёж, выделить части и записать единицы измерения. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на недостающие длины, правильное сложение площадей и подсчёт внешнего контура. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи: в первой найти площадь фигуры с вырезанным прямоугольным углом вычитанием, во второй найти периметр фигуры с углублением по всем сторонам контура. К каждому решению добавить одно предложение с объяснением выбранного способа. | Формирует умение различать вычисление площади и периметра; при проверке смотреть, не включены ли в периметр внутренние линии разбиения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный план комнаты или участка Г-образной формы с целыми размерами, вычислить его площадь и периметр двумя способами для площади, а затем проверить результаты обратным рассуждением. | Развивает создание математической модели, выбор рационального способа и аргументацию; при проверке оценить корректность чертежа, согласованность размеров и полноту проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти площадь составной фигуры? Какие длины нужно определить до вычислений? Что входит в периметр? В каких единицах измеряются площадь и периметр?»
