Умножение и деление алгебраических дробей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться умножать и делить алгебраические дроби, используя разложение многочленов на множители и сокращение дробей, и самостоятельно решить не менее 4 из 5 предложенных заданий с учётом ограничений на переменные.
- Образовательная задача: вывести и осознанно применять алгоритмы умножения и деления алгебраических дробей, включая предварительное разложение выражений на множители.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру выражения, выбирать рациональный способ решения, находить и исправлять ошибки.
- Коммуникативная задача: формировать навык объяснения решения в паре с использованием математических терминов и аргументации последовательности действий.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за запись ограничений допустимых значений переменных, аккуратность вычислений и готовность проверять результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт значение математической точности и проверки результата в задачах, связанных с расчётами и моделированием.
- Ученик проявляет познавательный интерес к преобразованию выражений и видит связь алгебры с физикой, информатикой и будущей профессиональной деятельностью.
- Ученик принимает право одноклассника на иной способ решения и корректно обсуждает математические ошибки.
- Ученик оценивает собственную готовность применять алгоритм и определяет, какая помощь ему необходима.
Метапредметные
- Ученик планирует решение выражения по этапам: определить ОДЗ, разложить на множители, выполнить умножение или заменить деление умножением на обратную дробь, сократить и проверить результат.
- Ученик извлекает существенную информацию из записи алгебраической дроби, выделяет общий множитель и устанавливает ограничения на переменные.
- Ученик сравнивает два решения, выявляет ошибочный переход и аргументированно предлагает исправление.
- Ученик сотрудничает в паре, распределяет действия, формулирует устное объяснение и осуществляет взаимопроверку по критериям.
Предметные
- Знать правило умножения алгебраических дробей и правило деления алгебраических дробей.
- Уметь раскладывать числители и знаменатели на множители с помощью вынесения общего множителя и формул сокращённого умножения.
- Уметь сокращать алгебраические дроби только после разложения числителя и знаменателя на множители.
- Уметь находить ОДЗ выражения и учитывать ограничения при записи ответа.
- Уметь решать выражения разного уровня сложности на умножение и деление алгебраических дробей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться преобразовывать дробные выражения без потери условий существования.
- Осознают связь аккуратной математической записи с надёжностью результата в практических расчётах.
- Проявляют готовность принимать затруднение как основание для поиска нового способа действия.
- Осуществляют самооценку уверенности в применении алгоритма и выбирают посильный уровень задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после анализа проблемного примера.
- Планируют последовательность преобразований алгебраической дроби.
- Сверяют решение с эталоном и критериями, находят место ошибки.
- Корректируют решение после взаимопроверки и оценивают достижение цели урока.
Познавательные УУД
- Выделяют множители в числителе и знаменателе, классифицируют способы разложения многочлена.
- Моделируют деление дробей как умножение на обратную дробь.
- Устанавливают причинно-следственную связь между ОДЗ и допустимостью сокращения.
- Анализируют готовые решения, находят неверное сокращение слагаемых и объясняют ошибку.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по ролям «решающий» и «проверяющий», затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий и условиях применимости преобразований.
- Аргументируют выбор способа решения, используя термины «множитель», «ОДЗ», «обратная дробь», «сокращение».
- Корректно формулируют замечание к решению партнёра и предлагают конкретный способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемным примером, алгоритмом, заданиями трёх уровней и эталонами для самопроверки.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: зелёные — базовые, синие — повышенные, фиолетовые — исследовательские; подготовить по одной карточке на каждого ученика и 3 запасных комплекта.
- Распечатать лист взаимопроверки по одному на каждого ученика с критериями: ОДЗ, разложение на множители, верное правило действия, сокращение, ответ.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для парной работы — по одной карточке на пару и 2 запасных.
- Разместить на доске или слайде памятку: «ОДЗ → разложить на множители → выполнить действие → сократить → проверить».
- Подготовить цветные маркеры или фломастеры для выделения множителей и стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Подготовить калькулятор или таблицу значений для межпредметного контекста: расчёт скорости, времени и расхода материала через дробные выражения.
- Организовать рабочие места для парной работы; заранее определить пары с учётом возможности взаимопомощи и предложить сильным ученикам дополнительный уровень.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для коротких практических заданий и лист с контрольными вопросами для выхода с урока.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, ручки и ваша готовность рассуждать, а не просто переписывать формулы. На доске записано выражение, которое встречается в расчётах скорости и времени: дробные величины нужно перемножить и упростить. Посмотрите на запись и попробуйте понять, какой шаг здесь будет самым ответственным." | Открывают тетради, записывают дату, готовят ручки, рассматривают выражение на доске и называют возможные затруднения: «нужно разложить многочлены», «нельзя сокращать слагаемые», «надо учитывать значения переменной». |
2 мин | Учитель показывает выражение \(\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\cdot\frac{x-3}{x+3}\) и говорит: "Не решайте пока подробно. Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите с соседом. Как можно сделать запись короче? Где здесь скрыты одинаковые множители? Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись». Я выслушаю не только ответ, но и объяснение, почему этот шаг допустим." | Сначала самостоятельно отмечают знакомые формулы, затем 1 минуту обсуждают в парах, формулируют предположение: «x²−9 можно разложить как (x−3)(x+3), а x²−6x+9 — как (x−3)²». Две пары сообщают ход рассуждения классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что основная трудность связана не с самим умножением, а с умением увидеть множители и не нарушить условия допустимости. Сейчас выясним, каких знаний нам уже достаточно, а какого шага пока не хватает."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить необходимые способы разложения многочленов, сокращения дробей и определения ОДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует устную разминку: "Запишите в строку без подробного решения три преобразования: вынесите общий множитель из 6a²−9a; разложите x²−25; представьте x²−10x+25 в виде квадрата двучлена. Поднимите карточку зелёного цвета, если уверены, жёлтую — если нужен пример." | Решают: \(6a^2-9a=3a(2a-3)\), \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), \(x^2-10x+25=(x-5)^2\). Показывают цвет карточки и отмечают формулу, требующую повторения. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Можно ли сократить дробь \(\frac{x+4}{x+4}\), если в числителе и знаменателе записано одно и то же выражение? А можно ли сократить \(\frac{x+4}{x+4}+1\) по отдельным слагаемым? Объясните разницу." | Отвечают: «первую дробь можно сократить при x≠−4», «во второй записи нельзя сокращать слагаемые, потому что сокращаются только множители». Формулируют условие: знаменатель не равен нулю. |
2 мин | Учитель выводит на доску выражение \(\frac{x+2}{x-3}\div\frac{x+2}{x+5}\) и спрашивает: "Что изменится, если вместо деления мы запишем умножение? Какие значения x будут запрещены? Запишите свои версии, затем сравните в паре." | В парах преобразуют деление в умножение на обратную дробь, называют ограничения: \(x e3\), \(x e-5\), а также учитывают, что делитель не должен быть равен нулю, поэтому \(x e-2\). Объясняют: «при делении на дробь она должна быть ненулевой». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Сокращать можно только множители числителя и знаменателя. Перед преобразованиями необходимо определить ОДЗ: все знаменатели не равны нулю; при делении делитель не равен нулю».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разложение на множители, формулы сокращённого умножения и смысл ОДЗ. Затруднение стало очевидным: нужно объединить эти действия в единый алгоритм умножения и деления алгебраических дробей. Давайте сформулируем, чему должны научиться."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и критерии успешного выполнения практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемный диалог: "Представьте, что вы проверяете расчёт в инженерной программе. Программа получила выражение \(\frac{a^2-b^2}{a-b}\) и должна упростить его. Что произойдёт, если программа сократит a−b, но не проверит, когда этот множитель равен нулю? Почему одного правильного результата недостаточно?" Учитель фиксирует ответы в двух колонках: «действие» и «условие». | Обсуждают вопрос, отвечают: «получится a+b, но это верно только при a≠b», «нужно сохранить ограничения исходного выражения». Формулируют, что точность включает и преобразование, и ОДЗ. |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. На доске появится маршрут: ОДЗ, разложение, правило действия, сокращение, проверка. В конце каждый выберет уровень задания и оценит себя по пяти шагам. Сегодня будет больше практики, поэтому теорию мы запишем в виде короткой памятки." | Формулируют цель: «научиться умножать и делить алгебраические дроби и не терять ограничения». Записывают маршрут урока, задают уточняющие вопросы, выбирают цвет карточки для первой практики. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: получить не только ответ, но и обоснованное решение с ОДЗ. Теперь построим алгоритм на конкретных выражениях и сразу проверим его практикой."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести и первично применить правила умножения и деления алгебраических дробей через парное исследование примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку А и говорит: "Решите вместе выражение \(\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\cdot\frac{x-3}{x+3}\). Первый ученик выполняет преобразования, второй вслух проверяет, не сокращаются ли слагаемые и записано ли ОДЗ. Через две минуты поменяйтесь ролями. Выделяйте множители цветным карандашом." | В парах записывают ОДЗ: \(x e3\), \(x e-3\). Разлагают: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Получают \(\frac{x+3}{x-3}\cdot\frac{x-3}{x+3}=1\), при указанных ограничениях. Объясняют партнёру, почему сокращение выполнено между множителями. |
3 мин | Учитель разбирает решение с классом: "Сравним шаги. Сначала фиксируем ограничения исходных знаменателей. Затем разлагаем выражения. Только после этого видим взаимно сокращающиеся множители. Запомните: запись результата 1 не отменяет ограничений исходной дроби. Запишите правило умножения: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\), где знаменатели не равны нулю." | Сверяют решение с доской, исправляют запись ОДЗ, формулируют правило словами: «при умножении дробей перемножают числители и знаменатели, затем сокращают». Записывают формулу и условие применимости. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку Б: \(\frac{x+2}{x-3}\div\frac{x+2}{x+5}\). Реплика: "Теперь исследуем деление. Что является делителем? Как заменить деление умножением? Не забудьте: дробь, на которую делим, не может быть нулём. После решения объясните партнёру происхождение каждого ограничения." | Выписывают ограничения \(x e3\), \(x e-5\), \(x e-2\). Заменяют деление: \(\frac{x+2}{x-3}\cdot\frac{x+5}{x+2}\), сокращают и получают \(\frac{x+5}{x-3}\). Объясняют, что x≠−2 появляется из условия ненулевого делителя. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают памятку: «Умножение: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\). Деление: \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\). Алгоритм: 1) найти ОДЗ; 2) разложить числители и знаменатели на множители; 3) при делении перевернуть вторую дробь; 4) сократить множители; 5) записать ответ с ограничениями и проверить его.»
Эталон решения
Для выражения \(\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\cdot\frac{x-3}{x+3}\): \(x^2-6x+9
e0\Rightarrow x
e3\), \(x+3
e0\Rightarrow x
e-3\). Далее \(\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}\cdot\frac{x-3}{x+3}=1\), при \(x
e3\), \(x
e-3\). Для выражения \(\frac{x+2}{x-3}:\frac{x+2}{x+5}\): \(x
e3\), \(x
e-5\), а делитель не равен нулю при \(x
e-2\). Тогда \(\frac{x+2}{x-3}\cdot\frac{x+5}{x+2}=\frac{x+5}{x-3}\).
e0\Rightarrow x
e3\), \(x+3
e0\Rightarrow x
e-3\). Далее \(\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}\cdot\frac{x-3}{x+3}=1\), при \(x
e3\), \(x
e-3\). Для выражения \(\frac{x+2}{x-3}:\frac{x+2}{x+5}\): \(x
e3\), \(x
e-5\), а делитель не равен нулю при \(x
e-2\). Тогда \(\frac{x+2}{x-3}\cdot\frac{x+5}{x+2}=\frac{x+5}{x-3}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм открыт самими действиями: сначала условия, затем множители, потом правило и сокращение. Важное ограничение мы сохраняем даже после сокращения. Теперь проверим, насколько уверенно каждый применяет этот маршрут на коротких заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление и дифференцированная практика (8 мин)
Цель этапа: отработать умножение и деление алгебраических дробей на заданиях трёх уровней с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите зелёную карточку, если алгоритм ещё требует опоры; синюю — если готовы к стандартным выражениям; фиолетовую — если хотите проверить себя на составном примере. Выполните два задания, обязательно записывая ОДЗ. Не скорость определяет успех, а отсутствие пропущенного шага." | Выбирают уровень. Зелёный уровень: \(\frac{3a}{a-2}\cdot\frac{a-2}{6}\); \(\frac{x^2-4}{x+2}\). Синий уровень: \(\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}\cdot\frac{x-4}{x+4}\); \(\frac{y^2-25}{y-5}:\frac{y+5}{y-5}\). Фиолетовый уровень: \(\frac{a^2-9}{a^2-6a+9}:\frac{a+3}{a-3}\). |
3 мин | Учитель перемещается между парами и задаёт вопросы вместо готового объяснения: "Что является множителем? Где вы указали ОДЗ? Почему вы имеете право сократить именно эту пару скобок? Если вторую дробь переворачиваем, какой множитель оказывается в знаменателе?" Учитель отмечает типичные ошибки на отдельной части доски без фамилий. | Решают индивидуально первые 2 минуты, затем сравнивают записи в парах. Проверяющий ставит отметки в листе: ОДЗ, разложение, правило, сокращение. Исправляют найденные ошибки и объясняют их. |
3 мин | Учитель проводит быструю проверку: "Поднимите карточку с номером шага, на котором возникло затруднение. Я разберу общий вопрос. Напоминаю: выражение x²−16 нельзя сокращать с x−4 до разложения; сначала получаем (x−4)(x+4)." Учитель показывает два коротких решения, одно из которых содержит запрещённое сокращение слагаемых, и просит выбрать верное. | Показывают номер затруднившего шага, отмечают ошибочное решение, формулируют: «нельзя сокращать x² и x», «сокращаются только общие множители». Один ученик объясняет решение фиолетового задания у доски, класс проверяет ОДЗ. |
Эталон решения
Для \(\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}\cdot\frac{x-4}{x+4}\): ОДЗ: \(x
e4\), \(x
e-4\). \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)^2}\cdot\frac{x-4}{x+4}=1\). Для \(\frac{y^2-25}{y-5}:\frac{y+5}{y-5}\): ОДЗ: \(y
e5\), \(y
e-5\); \(\frac{(y-5)(y+5)}{y-5}\cdot\frac{y-5}{y+5}=y-5\).
e4\), \(x
e-4\). \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)^2}\cdot\frac{x-4}{x+4}=1\). Для \(\frac{y^2-25}{y-5}:\frac{y+5}{y-5}\): ОДЗ: \(y
e5\), \(y
e-5\); \(\frac{(y-5)(y+5)}{y-5}\cdot\frac{y-5}{y+5}=y-5\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили один алгоритм к выражениям разной сложности и увидели, что уровень задания можно выбирать осознанно. Сейчас будет индивидуальная работа без подсказки партнёра, чтобы каждый проверил собственную готовность."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и межпредметным контекстом (10 мин)
Цель этапа: индивидуально применить алгоритм к математическим и практико-ориентированным заданиям, затем выполнить самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель говорит: "Теперь работаем самостоятельно. Выберите два обязательных задания и одно дополнительное по желанию. В инженерных и физических расчётах дробные выражения описывают скорость, расход материала и отношение величин, поэтому ошибка в знаменателе меняет смысл результата. Задание 1: упростите \(\frac{m^2-4}{m-2}\cdot\frac{m+3}{m+2}\). Задание 2: выполните \(\frac{p^2-9}{p+3}:\frac{p-3}{p+3}\). Задание 3: для расчёта плотности используется выражение \(\frac{M}{V}\), а после изменения объёма в \(\frac{V+2}{V}\) раза получаем \(\frac{M}{V}:\frac{V+2}{V}\). Упростите выражение и укажите ограничения." | Индивидуально решают выбранные задания. Для задания 1 получают \(\frac{(m-2)(m+2)}{m-2}\cdot\frac{m+3}{m+2}=m+3\), ОДЗ: \(m e2\), \(m e-2\). Для задания 2 получают \(p+3\), ОДЗ: \(p e-3\), \(p e3\). Для задания 3 получают \(\frac{M}{V+2}\), учитывая ограничения \(V e0\), \(V e-2\), а также ненулевое значение исходного делителя. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверяйте не только конечное выражение. Поставьте плюс за каждый верный компонент: ОДЗ, разложение, замена деления, сокращение, ответ. Если есть ошибка, не стирайте всё решение: обведите место, где нарушился алгоритм, и исправьте именно этот переход." | Сверяют решение с эталоном, подсчитывают баллы по пяти критериям, исправляют ошибки другим цветом. Отмечают, какой шаг оказался самым сложным. |
2 мин | Учитель предлагает мини-обсуждение: "Почему в практическом выражении нельзя сразу отбросить V? Какой смысл имеет ограничение V≠0? Как изменится результат, если V+2=0? Обсудите с соседом 30 секунд и дайте краткий ответ." | В парах объясняют: «V не может быть нулём, потому что на ноль делить нельзя; V+2 не может быть нулём, потому что на эту величину делят после преобразования». Формулируют связь алгебраического ограничения с физическим смыслом объёма. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм применяется не только к учебным дробям, но и к формулам, описывающим реальные величины. Осталось обобщить, что получилось, и определить следующий шаг для каждого из вас."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и говорит: "Заполните мини-лист «Светофор». Зелёный — я могу сам умножать и делить дроби и указывать ОДЗ; жёлтый — алгоритм понимаю, но ошибаюсь в одном шаге; красный — мне нужна совместная отработка. На обратной стороне допишите: «Теперь я знаю…», «Мне нужно потренировать…»." | Выбирают цвет стикера, дописывают два предложения, прикрепляют стикеры в соответствующую колонку на доске. Формулируют личную точку затруднения. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) Как превратить деление алгебраических дробей в умножение? 2) Почему после сокращения нужно сохранять ограничения ОДЗ? Затем запишите домашнее задание выбранного уровня." Учитель собирает билеты у выхода. | Письменно отвечают: «умножить на обратную дробь», «ограничения относятся к исходному выражению и не исчезают после сокращения». Записывают домашнее задание, сдают билет на выходе. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и выбранное дополнительное задание либо не менее 4 заданий из 5; в каждом решении корректно указано ОДЗ, выполнено разложение на множители, применено правило умножения или деления, сокращение выполнено только по множителям.
- «4» — верно выполнены 3–4 задания; допущена одна содержательная неточность в ОДЗ или промежуточной записи, но правило действия и способ сокращения поняты.
- «3» — верно выполнены 2 задания базового уровня; имеются ошибки в разложении или сокращении, однако ученик правильно узнаёт вид действия и исправляет ошибку после подсказки.
- Ниже базового уровня — ученик не завершил два задания и не может объяснить последовательность действий; требуется повторная работа по памятке и индивидуальная консультация.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма умножения и деления алгебраических дробей вы выполняете уверенно? | Выявление осознанно освоенного действия и опорного элемента алгоритма. |
На каком шаге сегодня возникло затруднение: ОДЗ, разложение, переворачивание дроби или сокращение? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей дифференциации. |
Почему нельзя сокращать слагаемые и почему нельзя забывать ограничения после сокращения? | Проверка понимания математического смысла преобразований, а не только воспроизведения правила. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Формирование самооценки, учебной автономии и ответственности за выбор сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы научились умножать и делить алгебраические дроби не механически, а по алгоритму: ОДЗ, разложение на множители, действие, сокращение и проверка. Самая частая ошибка — сокращение слагаемых или потеря ограничений после преобразования, поэтому именно эти места всегда проверяйте отдельно. Вы выбирали уровень заданий и смогли увидеть, какой шаг уже получается уверенно, а какой требует тренировки. На следующем уроке мы продолжим преобразование рациональных выражений и применим этот алгоритм к более сложным цепочкам действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на умножение и деление алгебраических дробей, в каждом указать ОДЗ, разложить многочлены на множители и выполнить сокращение. Включить два выражения с формулами разности квадратов и два выражения с общим множителем. | Закрепляет базовый алгоритм и контроль обязательных шагов; при проверке смотреть на ОДЗ и запрет сокращения слагаемых. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 составных выражений, содержащих две операции с алгебраическими дробями, включая деление на дробь и последующее умножение. Составить краткое объяснение одного решения для одноклассника. | Развивает планирование порядка действий и умение аргументировать преобразования; при проверке смотреть на сохранение ОДЗ исходного выражения. |
Продвинутый (дополнительный) | Разобрать два готовых ошибочных решения: в одном выполнено сокращение слагаемых, в другом потеряно ограничение после сокращения. Исправить их и составить собственное практико-ориентированное выражение на отношение двух величин, указав его ОДЗ и решение. | Формирует анализ, оценку и создание математической модели; при проверке смотреть на точность объяснения ошибки и связь ограничения с содержанием задачи. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выполнить деление алгебраических дробей? Что обязательно сделать до сокращения? Какие выражения можно сокращать? Почему ограничения исходной дроби сохраняются в ответе?»
