Умножение дробей. Возведение дроби в степень
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться умножать обыкновенные дроби и возводить дробь в натуральную степень, выполняя не менее 4 из 5 заданий базового и повышенного уровней без существенных ошибок.
- Сформировать умение применять правило умножения дробей: находить произведение числителей и знаменателей, предварительно сокращая дробь при необходимости.
- Сформировать умение возводить дробь в натуральную степень и объяснять смысл показателя степени.
- Развивать навыки анализа решения, самопроверки, выбора рационального способа вычисления и аргументации ответа.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственность за результат совместной работы и готовность самостоятельно выбирать уровень задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию числовых выражений и видят практическую ценность точных вычислений.
- Осознают необходимость аккуратной записи промежуточных действий при работе с дробями.
- Развивают самостоятельность через выбор уровня задания и оценку собственного результата.
- Понимают значение математической грамотности для дальнейшего обучения и профессий, связанных с расчётами.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают правило из примеров, сравнивают способы решения и находят ошибку в готовом рассуждении.
- Работают с текстом учебника, выделяя условие, правило, образец и алгоритм действий.
- Участвуют в математическом диалоге, аргументируют выбор способа вычисления и осуществляют самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать правило умножения обыкновенных дробей и связь возведения дроби в степень с повторным умножением.
- Уметь умножать положительные и отрицательные дроби, смешанные числа и целые числа, представленные в виде дроби.
- Уметь возводить дробь в натуральную степень и применять предварительное сокращение множителей.
- Уметь проверять корректность результата, определять знак произведения и записывать ответ в сокращённом виде.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения выполнять точные вычисления.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение при освоении нового алгоритма.
- Осуществляют осознанный выбор уровня сложности задания.
- Адекватно оценивают собственный вклад и результат учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют действия по алгоритму умножения дробей.
- Контролируют знак, числитель, знаменатель и степень сокращения результата.
- Сравнивают решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки действия умножения дробей.
- Моделируют возведение дроби в степень как повторное умножение.
- Сравнивают выражения и классифицируют задания по способу решения.
- Преобразуют информацию из текста учебника в пошаговый алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по условию и правилу.
- Обсуждают решение в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Аргументируют необходимость сокращения дроби.
- Корректно указывают на ошибку партнёра и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}\), \(\frac{6}{25}\cdot\frac{15}{18}\), \(\left(-\frac{3}{4}
ight)^2\). - Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для парной проверки — по одной на парту, 15 экземпляров.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею умножать дроби», «Я умею возводить дробь в степень», «Я умею сокращать результат».
- Вывести на доску или экран памятку: знак произведения, сокращение, умножение числителей и знаменателей, запись степени.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер.
- Предусмотреть опору на текст учебника: заранее выбрать фрагмент с правилом и двумя образцами без указания страниц.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к открытию нового способа действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня вам предстоит не просто запомнить правило, а вывести его и проверить на разных заданиях. Работайте внимательно и выбирайте уровень, на котором сможете показать лучший результат." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{7}\) и говорит: "Представьте, что вы рассчитываете долю материала, необходимого для изготовления детали. Как выполнить такое умножение быстро и без потери точности? Запишите свой вариант и обсудите его с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально записывают предположение, обсуждают его в паре 1 минуту, предлагают варианты: "Нужно перемножить числители и знаменатели". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для умножения дробей уже есть предположение. Теперь проверим, достаточно ли его для разных случаев и какие действия помогут избежать ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о дроби, сокращении, знаках произведения и степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске задания: сократить \(\frac{12}{18}\), представить \(2\frac{1}{3}\) неправильной дробью, определить знак \((-5)\cdot(-7)\) и раскрыть запись \(a^3\). Учитель говорит: "Решайте по одному примеру каждого типа. После сигнала сравните ответы в паре и объясните, какое правило использовали." | Решают: \(\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\), \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\), произведение отрицательных чисел положительно, \(a^3=a\cdot a\cdot a\). Объясняют ход решения партнёру. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает числитель и знаменатель дроби? Когда дробь можно сократить? Что показывает натуральный показатель степени?" Затем предлагает вычислить \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\) устно и обращает внимание на возможное сокращение. | Отвечают: "Числитель показывает взятые части, знаменатель — число равных частей"; "сокращаем на общий делитель"; "показатель показывает число одинаковых множителей". Находят результат \(\frac{2}{5}\). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили сокращение, правила знаков и смысл степени. Но нам нужно установить общий алгоритм умножения дробей и понять, как он связан с возведением дроби в степень."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}\) и ошибочное решение: \(\frac{4+3}{9+8}=\frac{7}{17}\). Учитель спрашивает: "Похоже ли это действие на сложение дробей? Почему такой ответ вызывает сомнение? Найдите место ошибки и предложите проверку." | Анализируют решение, отвечают: "При умножении нельзя складывать числители и знаменатели"; проверяют, что правильный результат должен быть меньше каждого положительного множителя. |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие вопросы нам нужно решить, чтобы уверенно выполнять такие выражения?" Фиксирует формулировки на доске и уточняет: "Сегодня мы установим правило умножения дробей, научимся сокращать множители и свяжем это действие с возведением дроби в степень." | Формулируют цель: "Научиться умножать дроби и возводить дробь в степень". Предлагают план: вывести правило, решить примеры, проверить себя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло из-за переноса правила сложения на другое действие. Теперь исследуем примеры и сами сформулируем правильный алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило умножения дробей и правило возведения дроби в натуральную степень.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к тексту учебника: "Найдите правило умножения дробей и изучите приведённый образец. Не переписывайте его сразу: сначала выделите, что происходит с числителями, знаменателями и сокращением." Учитель записывает на доске \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\), где \(b e0\), \(d e0\). | Читают фрагмент учебника, выделяют ключевые слова, формулируют: "Числители перемножаются, знаменатели перемножаются, результат сокращается". |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Рассмотрим \(\frac{6}{25}\cdot\frac{15}{18}\). Сначала ищем общие делители по диагонали: 6 и 18 делятся на 6, 15 и 25 — на 5. Получаем \(\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{3}=\frac{1}{5}\). Почему сокращение до умножения удобно?" | Записывают сокращение крест-накрест, отвечают: "Числа становятся меньше, вычисления проще, вероятность ошибки ниже". |
3 мин | Учитель записывает: \(\left(\frac{a}{b} ight)^n=\frac{a^n}{b^n}\), и говорит: "Степень дроби означает, что вся дробь является множителем столько раз, сколько показывает показатель. Раскроем \(\left(-\frac{2}{3} ight)^3\): знак будет отрицательным, числитель и знаменатель возводятся в третью степень." | Раскрывают запись \(\left(-\frac{2}{3} ight)^3=\left(-\frac{2}{3} ight)\cdot\left(-\frac{2}{3} ight)\cdot\left(-\frac{2}{3} ight)=-\frac{8}{27}\). Формулируют правило своими словами. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают правила: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\); перед умножением желательно сократить общие множители; \(\left(\frac{a}{b}
ight)^n=\frac{a^n}{b^n}\). Алгоритм: определить знак; сократить множители; перемножить числители и знаменатели; сократить результат; выполнить проверку.
ight)^n=\frac{a^n}{b^n}\). Алгоритм: определить знак; сократить множители; перемножить числители и знаменатели; сократить результат; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило теперь сформулировано и записано. Следующий шаг — проверить его в совместной работе, проговаривая каждое действие и замечая типичные ошибки."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм умножения дробей и возведения дроби в степень через решение с проговариванием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает решить у доски и в тетрадях: \(\frac{7}{12}\cdot\frac{18}{35}\). Говорит: "Проговаривайте алгоритм вслух: сначала знак, затем сокращение, затем умножение. Проверяющий следит, не пропущено ли сокращение." | Решают: \(\frac{7}{12}\cdot\frac{18}{35}=\frac{1}{12}\cdot\frac{18}{5}=\frac{3}{10}\). Объясняют сокращение 7 и 35, 18 и 12. |
2 мин | Учитель предлагает задание на степень: "Вычислите \(\left(-\frac{3}{5} ight)^2\) и сравните с \(-\frac{9}{25}\). Какой ответ верен и почему?" | Получают \(\frac{9}{25}\), объясняют: "Чётная степень положительного результата, потому что отрицательный множитель взят два раза". |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя решениями: 1) \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\); 2) \(\left(\frac{1}{4} ight)^3=\frac{1}{12}\). Просит применить приём «Найди ошибку». | Сверяют решения, подтверждают первое, исправляют второе: \(\left(\frac{1}{4} ight)^3=\frac{1}{64}\), формулируют причину ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили оба правила и увидели, что главные ошибки связаны с сокращением и неверным пониманием степени. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала и организовать дифференцированную практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите карточку по готовности: базовую, повышающую или дополнительную. Базовый уровень выполняют все, а затем можно перейти выше. Записывайте действия полностью и оставляйте место для исправлений." | Выбирают уровень, подписывают карточку, уточняют условие при необходимости. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: \(\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{15}\), \(\left(\frac{2}{5} ight)^2\). Повышающий: \(-\frac{8}{21}\cdot\frac{7}{12}\), \(\left(-\frac{3}{4} ight)^3\). Дополнительный: сравнить \(A=\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}\) и \(B=\left(\frac{3}{4} ight)^2\), обосновав ответ. | Индивидуально решают выбранные задания, сокращают до умножения, указывают знак и записывают краткий вывод в дополнительном задании. |
3 мин | Учитель открывает эталон: \(\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{15}=\frac{2}{5}\); \(\left(\frac{2}{5} ight)^2=\frac{4}{25}\); \(-\frac{8}{21}\cdot\frac{7}{12}=-\frac{2}{9}\); \(\left(-\frac{3}{4} ight)^3=-\frac{27}{64}\). Просит провести самопроверку и отметить ошибки цветным знаком. | Сверяют каждый шаг, исправляют ошибки, ставят рядом с работой отметку: «выполнено самостоятельно», «исправил по эталону» или «нужна помощь». |
Эталон решения
Для задания \( -\frac{8}{21}\cdot\frac{7}{12}\): 1) произведение отрицательное; 2) сокращаем 8 и 12 на 4: \(\frac{2}{3}\), 7 и 21 на 7: \(\frac{1}{3}\); 3) получаем \(-\frac{2\cdot1}{3\cdot3}=-\frac{2}{9}\). Для \(\left(-\frac{3}{4}
ight)^3\): \(\left(-\frac{3}{4}
ight)^3=\frac{(-3)^3}{4^3}=-\frac{27}{64}\).
ight)^3\): \(\left(-\frac{3}{4}
ight)^3=\frac{(-3)^3}{4^3}=-\frac{27}{64}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что алгоритм можно применять к дробям разных знаков и уровней сложности. Осталось осмыслить, что уже получилось, а какой шаг требует дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат обучения, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить лист самооценки: "Отметьте зелёным пункт, который выполняете уверенно, жёлтым — требующий тренировки, красным — пока непонятный. Допишите одно правило, которое сегодня стало для вас главным." | Отмечают уровень понимания, записывают: "При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели" или "При возведении дроби в степень в степень возводятся числитель и знаменатель". |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: почему \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\) не равно \(\frac{a+c}{b+d}\)? Какой первый шаг вы выполняете перед умножением?" | Пишут ответы: "Это разные действия, для умножения перемножают числители и знаменатели"; "определяю знак и ищу возможность сократить множители". |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте следующий. Важно не только получить ответ, но и показать сокращение, знак и проверку." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, оценивают готовность выполнить работу самостоятельно. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели правило умножения дробей, научились сокращать множители и увидели, что степень дроби означает повторное умножение всей дроби. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения и будем применять эти правила в более сложных вычислениях."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно определён знак, сокращение показано или обосновано, ответ записан в сокращённом виде; для дополнительного задания дано аргументированное сравнение.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в сокращении, но алгоритм в целом применён правильно.
- «3» — верно выполнено не менее 50% заданий базового уровня, правило умножения или возведения в степень воспроизведено, однако допущены ошибки в знаке, сокращении или вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать правило умножения дробей одним предложением? | Проверка осознания основного алгоритма. |
На каком шаге решения вы чаще всего сомневались: знак, сокращение или вычисление? | Выявление конкретных точек затруднения. |
Какое задание вы выбрали и почему считаете этот уровень подходящим? | Формирование навыка осознанного выбора и самооценки. |
Что поможет вам без ошибок решить похожий пример дома? | Перевод рефлексии в план коррекции собственной деятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что при умножении дробей перемножаются числители и знаменатели, а предварительное сокращение делает вычисления короче и надёжнее. Мы также увидели, что при возведении дроби в степень в одну и ту же степень возводятся числитель и знаменатель. Обращайте особое внимание на знак и не путайте степень дроби с умножением только числителя или только знаменателя. Дома выберите посильный уровень, а на следующем уроке мы применим новые правила в преобразовании рациональных выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 примера на умножение положительных и отрицательных дробей и 2 примера на возведение дроби в квадрат или куб; в каждом решении показать сокращение и итоговую проверку знака. | Закрепить базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знак, сокращение и сокращённый ответ. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 смешанных заданий: умножение дробей и смешанных чисел, представленных в виде неправильных дробей, а также возведение отрицательной дроби в чётную и нечётную степени. | Научиться выбирать порядок действий и переносить правило на разные формы записи; проверить правильность преобразования смешанных чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задания с буквенными дробями и 1 задачу с реальным контекстом, где требуется найти долю от величины через произведение дробей; составить краткое объяснение рационального способа решения. | Развивать анализ, обобщение и функциональную математическую грамотность; проверить обоснование каждого преобразования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как умножить две дроби?», «Зачем сокращать множители до умножения?», «Как возвести дробь в натуральную степень?», «От чего зависит знак результата при возведении отрицательной дроби в степень?»
