Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять тождественные преобразования выражений с арифметическими квадратными корнями, вынося множители из-под знака корня, внося множители под знак корня и приводя подобные слагаемые, с правильным обоснованием каждого шага.
- Уточнить свойства арифметического квадратного корня и условия их применения.
- Научиться упрощать выражения вида $a\sqrt{b}$ и приводить подобные слагаемые, содержащие корни.
- Развивать умение выбирать рациональный способ преобразования, проверять результат и находить ошибку в решении.
- Формировать ответственное отношение к математическим рассуждениям и готовность аргументировать собственный выбор способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного и последовательного математического рассуждения.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая уровень задания и способ преобразования.
- Понимают связь алгебраических преобразований с задачами технических и экономических профессий.
- Оценивают собственный прогресс и спокойно относятся к необходимости исправлять ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность преобразований.
- Извлекают информацию из формул, сравнивают способы решения и выявляют неверный шаг.
- Аргументируют решение в паре, задают уточняющие вопросы и принимают обоснованную позицию одноклассника.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют найденные ошибки.
Предметные
- Знать свойства арифметического квадратного корня: $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ при $a\geq0$, $b\geq0$ и $\sqrt{a^2}=|a|$.
- Уметь выносить множитель из-под знака корня и вносить положительный множитель под знак корня.
- Уметь приводить подобные слагаемые, содержащие одинаковые квадратные корни.
- Уметь выполнять цепочку тождественных преобразований и объяснять допустимость каждого действия.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться упрощать выражения без потери равносильности.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Осознают необходимость соблюдения условий применяемых свойств.
Регулятивные УУД
- Планируют порядок преобразований выражения.
- Сверяют промежуточные результаты с условиями задачи.
- Находят и исправляют ошибочный знак или пропущенное условие.
- Оценивают результат по критериям точности и полноты обоснования.
Познавательные УУД
- Выделяют квадратный множитель под знаком корня.
- Сравнивают выражения до и после преобразования.
- Классифицируют слагаемые как подобные или неподобные.
- Моделируют решение в виде последовательности равенств.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру смысл выполненного преобразования.
- Формулируют вопросы о знаках и условиях применимости свойств.
- Сравнивают решения без перехода к оценке личности автора.
- Аргументированно защищают выбранный способ решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$, $\sqrt{a^2}=|a|$ и алгоритмом преобразований.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «выношу множитель», «вношу множитель», «привожу подобные», «нахожу ошибку».
- Разместить на доске проблемное выражение $2\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt3$.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 3–5 минут.
- Предусмотреть на доске место для эталона решения и критериев оценивания.
- Оборудование: ноутбук, проектор или интерактивная доска, раздаточные карточки, тетради и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность компактной записи выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки самооценки. Сегодня вы сможете выбрать базовое или повышенное задание, но в каждом решении важны не только ответ, но и объяснение шагов." | Готовят рабочее место, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $2\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt3$ и говорит: "Представьте, что это формула в инженерном расчёте. Её нужно сделать короче, не изменив значения. Как можно это выполнить? Запишите первое предположение и обсудите его с соседом." | Индивидуально предлагают способ, затем обсуждают в паре; формулируют: "Нужно разложить подкоренные числа на множители и вынести квадраты". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что выражение можно записать компактнее, но пока нужно уточнить правила. Сейчас восстановим необходимые свойства корня и найдём место возможной ошибки."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства корня и действия с одночленами, необходимые для новых преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Быстрый математический диктант": "Вычислите или упростите: $\sqrt{25}$, $\sqrt{36}$, $\sqrt{9\cdot5}$, $3x+5x$, $7a-2a$. После каждого пункта покажите ответ на стикере." | Записывают ответы: $5$, $6$, $3\sqrt5$, $8x$, $5a$; поднимают стикеры. |
3 мин | Учитель спрашивает: "Почему $\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5$? В каком случае можно применить свойство произведения? Что означает выражение $\sqrt{x^2}$?" Учитель фиксирует формулы на доске. | Отвечают: "Потому что $9$ — полный квадрат"; "подкоренные множители должны быть неотрицательными"; "результат равен $|x|$, а не всегда $x$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства корня и приведение подобных слагаемых. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний для выражения на доске и где именно возникает затруднение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм предстоящей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает два варианта: "Сравните решения. Первое: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3$. Второе: $\sqrt{12}=\sqrt4\cdot3=6$. Какое решение верно и почему?" | В парах находят ошибку во втором решении: множитель $3$ ошибочно вынесен из-под корня. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какие действия нам потребуются? Как понять, какие слагаемые можно объединить? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Научиться преобразовывать выражения с корнями и приводить подобные слагаемые, обосновывая каждый шаг". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нужно видеть квадратный множитель и не нарушать свойства корня. Составим алгоритм и проверим его на конкретных выражениях."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм тождественного преобразования выражений с квадратными корнями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на доске: "Разложим $12=4\cdot3$. Тогда $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\sqrt3=2\sqrt3$. Аналогично $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$. Что изменилось, а что осталось прежним?" | Записывают цепочку равенств, отвечают: "Значение не изменилось, но оба корня стали кратными $\sqrt3$". |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь преобразуем исходное выражение: $2\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt3=2\cdot2\sqrt3+3\sqrt3-\sqrt3=6\sqrt3$. Сначала упрощаем каждый корень, затем работаем с коэффициентами." | Повторяют решение в тетради, называют шаги: "разложить, вынести квадратный множитель, привести подобные". |
3 мин | Учитель показывает обратное действие: "Положительный множитель можно внести под корень: $3\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}$. Почему важно указать, что $3>0$?" | Отвечают: "Потому что арифметический корень неотрицателен"; записывают правило и приводят собственный пример. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) разложить подкоренное число на множители, выделив полный квадрат; 2) вынести квадратный множитель; 3) привести подобные слагаемые; 4) проверить знаки и условия применимости. При $a\geq0$, $b\geq0$: $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$; $\sqrt{a^2}=|a|$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили рабочий алгоритм и увидели, что одинаковые корни можно рассматривать как подобные слагаемые. Теперь применим правило сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм преобразований с проговариванием каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с выражениями $\sqrt{18}$ и $4\sqrt{20}-\sqrt{45}$: "Выполните преобразования. Один ученик объясняет шаги, второй записывает; затем поменяйтесь ролями." | В парах решают: $\sqrt{18}=3\sqrt2$; $4\sqrt{20}-\sqrt{45}=8\sqrt5-3\sqrt5=5\sqrt5$. |
3 мин | Учитель предлагает карточку с ошибкой: "$2\sqrt8=2\sqrt4\cdot2=4\sqrt2$. Найдите неточность в записи и исправьте её." | Находят ошибочную расстановку действий и записывают: $2\sqrt8=2\sqrt{4\cdot2}=2\cdot2\sqrt2=4\sqrt2$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: выделен полный квадрат, сохранён знак, подобные слагаемые объединены. Просит две пары объяснить решение. | Сверяют записи, ставят партнёру две отметки «верно» и один совет, формулируют объяснение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проговорили все шаги и исправили типичную ошибку. Теперь каждый проверит, насколько уверенно умеет применять алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбор: "Базовый уровень: упростите $\sqrt{50}$, $3\sqrt{12}+\sqrt{27}$. Повышенный уровень: упростите $2\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt5$ и внесите множитель в выражение $4\sqrt3$. Записывайте промежуточные равенства." | Индивидуально решают выбранный вариант, отмечают затруднившийся шаг в листе самооценки. |
4 мин | Учитель открывает эталон: "$\sqrt{50}=5\sqrt2$; $3\sqrt{12}+\sqrt{27}=6\sqrt3+3\sqrt3=9\sqrt3$; $2\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt5=6\sqrt5-2\sqrt5+\sqrt5=5\sqrt5$; $4\sqrt3=\sqrt{48}$. Проверьте не только ответ, но и ход решения." | Сверяют решение, подчёркивают место ошибки, исправляют запись другим цветом и отмечают уровень освоения. |
Эталон решения
Для выражения $2\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt5$: $45=9\cdot5$, $20=4\cdot5$; $2\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt5=2\cdot3\sqrt5-2\sqrt5+\sqrt5=6\sqrt5-2\sqrt5+\sqrt5=5\sqrt5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главное затруднение связано не с вычислением, а с последовательностью действий. Осталось связать новый алгоритм с исходными знаниями и сформулировать личный вывод."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и зафиксировать дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Поднимите зелёный стикер, если можете самостоятельно вынести множитель из-под корня; жёлтый — если нужна ещё одна тренировка; красный — если пока не понимаете шаг." | Показывают цвет, называют конкретный затруднивший шаг. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите одно правило, один пример и одну типичную ошибку, которую теперь сможете избежать." | Пишут: правило $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$, пример преобразования и предупреждение не выносить произвольный множитель. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите уровень осознанно: обязательный минимум должен выполнить каждый, а повышенный уровень предназначен для тех, кто хочет проверить себя." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать сложные записи с корнями в более компактные, сохраняя их значение. На следующем уроке продолжим преобразования и применим их при решении уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все предложенные задания выбранного уровня, каждый существенный шаг записан, свойства корня применены с соблюдением условий, исправлений по эталону не требуется.
- «4» — правильно выполнено не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий базового уровня, но требуется помощь при выделении полного квадрата или приведении подобных слагаемых.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма преобразования выражения с корнем вы теперь можете объяснить самостоятельно? | Выявление осознанности способа действия. |
Как определить, какие слагаемые являются подобными? | Проверка понимания структуры преобразованного выражения. |
Где сегодня возникло затруднение и как вы его исправили? | Выявление точек затруднения и сформированности самоконтроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились выполнять тождественные преобразования выражений с арифметическими квадратными корнями. Важно помнить: сначала выделяем полный квадрат под знаком корня, затем приводим подобные слагаемые. Типичная ошибка — вынести из-под корня множитель, который не является квадратным, или забыть про знак. На следующем уроке мы применим этот алгоритм в более сложных выражениях и при решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 упражнений на вынесение множителя из-под знака корня и приведение подобных слагаемых, используя числа, разлагаемые на полный квадрат и множитель. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на промежуточные равенства и правильность знаков. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3–4 выражения, содержащих сложение и вычитание нескольких корней, а также 1 задание на внесение положительного множителя под знак корня. | Формирует умение выбирать порядок действий и распознавать подобные радикальные слагаемые. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два разных выражения, которые после преобразования имеют вид $7\sqrt2$, и объяснить, почему преобразования являются тождественными; дополнительно разобрать одно ошибочное решение. | Развивает создание математической модели, аргументацию и поиск ошибок. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выделить полный квадрат под знаком корня?», «Какие слагаемые можно привести после преобразования?», «Почему $\sqrt{x^2}=|x|$?», «Как проверить, что преобразование не изменило значение выражения?»
