Неполные квадратные и простейшие дробно-рациональные уравнения. Формула корней и текстовые задачи
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся смогут распознавать вид квадратного уравнения, выбирать соответствующий способ решения, решать не менее четырёх из пяти предложенных уравнений и составлять математическую модель текстовой задачи с помощью квадратного уравнения.
- Образовательная задача: систематизировать способы решения неполных квадратных уравнений и простейших дробно-рациональных уравнений, вывести и применить формулу корней квадратного уравнения.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения, проверять корни и обнаруживать посторонние значения.
- Метапредметная задача: формировать навыки парного обсуждения, аргументации выбора способа решения и самопроверки по заданному алгоритму.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственное отношение к вычислениям, уважение к решению одноклассника и понимание связи алгебры с практическими задачами измерения и планирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают ценность точного расчёта при решении практических задач.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат.
- Развивают положительное отношение к преодолению затруднений при работе с уравнениями.
- Соблюдают уважительный стиль обсуждения разных способов решения.
Метапредметные
- Умеют извлекать математическую информацию из текста и переводить её на язык уравнения.
- Планируют решение по алгоритму, контролируют промежуточные вычисления и корректируют ошибку.
- Сравнивают несколько способов решения и аргументируют выбор наиболее рационального.
- Работают в паре, формулируют вопросы и используют математическую речь для объяснения решения.
Предметные
- Знать виды неполных квадратных уравнений и способы их решения.
- Уметь решать уравнения вида $ax^2=0$, $ax^2+c=0$, $ax^2+bx=0$.
- Уметь решать простейшие дробно-рациональные уравнения с учётом ОДЗ.
- Знать формулу корней квадратного уравнения $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ и уметь применять её.
- Уметь составлять квадратное уравнение по условию текстовой задачи, интерпретировать и проверять полученные корни.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выбирать способ решения уравнения.
- Осознают связь точности вычислений с достоверностью практического результата.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения себя с другими учениками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения в выборе способа решения.
- Планируют последовательность: определить вид уравнения, выбрать способ, решить, проверить.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место вычислительной ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Классифицируют уравнения по наличию коэффициентов $a$, $b$, $c$.
- Выделяют существенные условия в текстовой задаче и строят математическую модель.
- Применяют формулы, преобразуют выражения и устанавливают область допустимых значений.
- Сравнивают алгоритмы решения и делают вывод о рациональности выбранного способа.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбран конкретный способ решения.
- Задают уточняющие вопросы о дискриминанте, ОДЗ и проверке корней.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Корректно принимают замечание и формулируют исправленный вариант решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами дискриминанта $D=b^2-4ac$ и корней квадратного уравнения.
- Распечатать по одной карточке на парту с четырьмя уравнениями разного типа и по одному текстовому условию.
- Подготовить отдельные карточки трёх уровней: минимального, базового и повышенного — по числу учащихся.
- Разместить на доске таблицу-напоминание: вид уравнения — способ решения — обязательная проверка.
- Подготовить лист самопроверки с эталонами ответов для самостоятельной работы.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Подготовить таймер, маркеры, проектор или интерактивную доску.
- Вывести на экран схему межпредметной связи: площадь прямоугольника, скорость, время и расстояние — как источники квадратных уравнений.
- Организовать посадку парами, чтобы учащиеся могли менять роли решающего и проверяющего.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл выбора способа решения уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня вы будете не только решать уравнения, но и объяснять, почему выбрали именно такой способ. Работать будем в парах, причём роли решающего и проверяющего в течение урока поменяются." | Проверяют готовность к уроку, садятся парами, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: "Нужно подобрать размеры прямоугольной площадки площадью 48 квадратных метров, если её длина на 2 метра больше ширины. Какой математический инструмент поможет найти размеры? Подумайте 30 секунд, обсудите с партнёром и поделитесь ответом." Учитель называет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в паре и отвечают: "Нужно составить квадратное уравнение, потому что произведение длины и ширины содержит неизвестную и её квадрат". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что квадратное уравнение возникает из обычной практической ситуации. Сейчас проверим, какие виды таких уравнений вы уже умеете узнавать и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания о квадратном уравнении, ОДЗ и разложении на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске уравнения: $x^2-9=0$, $3x^2+6x=0$, $2x^2-5x+2=0$, $\frac{4}{x}=2$. "Распределите уравнения по группам. Назовите, какие коэффициенты равны нулю, и предложите первый шаг решения. Не решайте всё сразу — сначала определите вид." | В парах классифицируют уравнения и формулируют: первое — неполное без линейного члена, второе — неполное без свободного члена, третье — полное квадратное, четвёртое — дробно-рациональное. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает условие $a\ne0$? Что нужно сделать перед решением дробно-рационального уравнения? Как проверить корень?" При необходимости фиксирует на доске слова «ОДЗ», «проверка», «разложение на множители». | Отвечают: "$a$ не может быть равно нулю, иначе уравнение не будет квадратным"; "сначала записать ОДЗ"; "подставить найденное значение в исходное уравнение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные действия названы: распознать вид, учесть ОДЗ, выбрать способ и выполнить проверку. Но пока не для каждого уравнения мы можем быстро объяснить алгоритм, поэтому сформулируем учебную задачу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в выборе алгоритма и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два решения на доске: $x^2-5x=0$ и $x^2-5x+6=0$. "Можно ли применить к ним один и тот же шаг? Почему в первом случае удобно вынести общий множитель, а во втором — искать корни через дискриминант?" | Обсуждают в парах, формулируют: "Уравнения имеют разный вид; в первом нет свободного члена, а во втором все коэффициенты ненулевые". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какую цель поставим на урок? Включите в неё не только формулу, но и практическую задачу, где нужно выбрать допустимый корень." Учитель фиксирует итоговую цель на доске. | Формулируют цель: "Научиться распознавать виды уравнений, выбирать способ решения, применять формулу корней и использовать квадратное уравнение в текстовой задаче". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Дальше мы сами восстановим алгоритм для неполных уравнений, а затем свяжем его с формулой корней и практической моделью."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: систематизировать способы решения неполных и полных квадратных уравнений, а также закрепить обязательность ОДЗ для дробно-рациональных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: "$ax^2=0$; $ax^2+c=0$; $ax^2+bx=0$". "Заполните пропуски в алгоритме. В первом случае делим на $a$; во втором выражаем $x^2$ и проверяем, не получилось ли отрицательное число; в третьем выносим $x$ за скобки и применяем правило произведения, равного нулю. Решите по одному примеру: $5x^2=0$, $2x^2-18=0$, $3x^2-12x=0$." | В парах заполняют таблицу и решают примеры: $x=0$; $x=\pm3$; $x=0$ или $x=4$. Проверяющий отмечает наличие обоих корней. |
3 мин | Учитель записывает полное уравнение $2x^2-7x+3=0$. "Если общий множитель вынести нельзя, используем дискриминант. Сначала называем $a$, $b$, $c$, затем вычисляем $D=b^2-4ac$, после этого корни. Почему знак дискриминанта важен?" | Называют $a=2$, $b=-7$, $c=3$, вычисляют $D=25$ и получают $x_1=3$, $x_2=\frac12$. Формулируют: "$D>0$ означает два различных действительных корня". |
3 мин | Учитель показывает уравнение $\frac{x+1}{x-2}=3$. "Перед умножением на знаменатель назовите ОДЗ. Затем умножьте обе части на $x-2$, решите линейное уравнение и проверьте результат в исходной записи." | Записывают ОДЗ: $x\ne2$, получают $x+1=3x-6$, $x=\frac72$, выполняют проверку и делают вывод, что корень допустим. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают алгоритмы: 1) определить вид уравнения; 2) выбрать способ; 3) решить; 4) проверить корни. Для полного квадратного уравнения записывают $D=b^2-4ac$ и $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть карта способов: разложение на множители для неполных уравнений, дискриминант для полного уравнения и ОДЗ для дробно-рационального. Проверим, сможете ли вы объяснить этот выбор партнёру и применить его без моей подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор способа решения и математическое объяснение последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: $4x^2-36=0$; $x^2-8x=0$; $3x^2-2x-1=0$; $\frac{5}{x}=1$. "Решающий выполняет запись, проверяющий не подсказывает ответ, а задаёт вопросы: какой вид уравнения, почему этот способ, где нужна проверка. Через две минуты поменяйтесь ролями." | Решают задания в парах, проговаривают алгоритм. Получают ответы: $x=\pm3$; $x=0$ или $x=8$; $x=1$ или $x=-\frac13$; $x=5$. Проверяющие отмечают вид уравнения и наличие ОДЗ. |
3 мин | Учитель предлагает двум парам представить разные решения уравнения $x^2-8x=0$. "Сравните решение через вынесение множителя и возможную попытку применить формулу корней. Какой способ здесь рациональнее и почему?" | Одна пара показывает $x(x-8)=0$, другая объясняет, что формула тоже возможна, но разложение на множители короче. Формулируют: "Рациональный способ зависит от структуры уравнения". |
Эталон решения
Для уравнения $3x^2-2x-1=0$: $a=3$, $b=-2$, $c=-1$; $D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$; $x_{1,2}=\frac{2\pm4}{6}$; $x_1=1$, $x_2=-\frac13$. Проверка подстановкой подтверждает оба корня.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы не просто получили ответы, а объяснили выбор алгоритма. Теперь применим знания к ситуации, где алгебраическая модель даст два корня, но смысл задачи позволит выбрать только один."
Этап 6. Решение текстовой задачи и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: научить составлять квадратное уравнение по условию задачи и интерпретировать корни в контексте геометрии и практического планирования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: "Прямоугольная площадка имеет площадь 48 квадратных метров. Её длина на 2 метра больше ширины. Найдите длину и ширину площадки." Учитель спрашивает: "Что обозначим за $x$? Как выразим вторую сторону? Какое ограничение имеет неизвестная?" | Обсуждают в парах, выбирают ширину $x$ метров, длину $x+2$ метров, записывают $x>0$. |
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Составьте уравнение по формуле площади. Приведите его к стандартному виду. Назовите коэффициенты и решите уравнение удобным способом. Не забудьте проверить оба корня с точки зрения условия." | Записывают $x(x+2)=48$, затем $x^2+2x-48=0$. Разлагают: $(x-6)(x+8)=0$, получают $x=6$ и $x=-8$, отрицательный корень отвергают. |
2 мин | Учитель связывает задачу с геометрией и профессиональными ситуациями: "Такие расчёты нужны при планировании участка, проектировании помещения и оценке расхода материалов. Сформулируйте ответ с единицами измерения и выполните проверку площади." | Записывают: ширина 6 м, длина 8 м; проверяют $6\cdot8=48$ квадратных метров; объясняют, почему $-8$ не имеет практического смысла. |
Эталон решения
Пусть ширина площадки равна $x$ м, тогда длина равна $x+2$ м. По условию $x(x+2)=48$, поэтому $x^2+2x-48=0$. Разложение на множители: $(x-6)(x+8)=0$. Корни: $x=6$ и $x=-8$. Так как длина и ширина положительны, $x=-8$ отбрасываем. Ответ: ширина 6 м, длина 8 м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Математическое уравнение может дать несколько корней, но окончательный ответ определяется условием задачи. Сейчас каждый проверит себя индивидуально и выберет подходящий уровень сложности."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмами и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку, которая позволит честно проверить ваш сегодняшний результат. Минимальный уровень содержит одно неполное уравнение и одно дробно-рациональное; базовый — полное квадратное и текстовую модель; повышенный — задачу с параметром выбора корней." | Выбирают уровень, записывают номер карточки и критерии проверки. |
3 мин | Учитель напоминает: "Работаем индивидуально. В каждой записи должны быть вид уравнения, алгоритм, вычисления и ответ. Для дроби обязательно укажите ОДЗ, а в текстовой задаче — проверку смысла корней." | Индивидуально решают выбранные задания, оформляют решение по алгоритму. |
1 мин | Учитель открывает на экране краткий эталон ответов и просит отметить ошибки цветом: "Не переписывайте решение целиком. Поставьте знак рядом с первым неверным шагом и запишите, какое правило нужно повторить." | Сверяют ответы, отмечают первый ошибочный шаг, формулируют причину: ошибка в знаке дискриминанта, пропущенная ОДЗ или неверный выбор корня. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка нужна не для того, чтобы просто узнать оценку, а чтобы увидеть конкретное место затруднения. Осталось подвести общий итог и зафиксировать, какой способ вы будете применять уверенно."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат, назвать затруднение и определить дальнейший шаг в работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете самостоятельно выбрать способ решения; жёлтый — если решаете, но иногда путаете алгоритм; красный — если нужна совместная отработка. Объясните выбор одним предложением." | Поднимают стикер, формулируют: "Мне нужно повторить формулу корней" или "Я уверенно решаю неполные уравнения". |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите два предложения: какое правило сегодня стало понятнее и какой вопрос остался. Второй пункт поможет мне подобрать начало следующего урока." | Заполняют билет на выход: называют освоенный способ и оставшийся вопрос. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и напоминает: "Выберите уровень осознанно. В каждом решении показывайте ОДЗ или проверку корней там, где это требуется." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, правильно определён вид каждого уравнения, записаны ОДЗ и проверки, в текстовой задаче составлена модель и обоснован выбор корня.
- «4» — допущена одна несущественная вычислительная ошибка при верном алгоритме либо пропущена отдельная проверка, но способ решения и математическая модель выбраны правильно.
- «3» — решены не менее половины заданий, распознаны основные виды уравнений, но имеются ошибки в применении формулы, разложении на множители или интерпретации корней.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, что квадратное уравнение является неполным? | Проверка понимания классификации уравнений. |
Какой порядок действий нужно выполнить перед решением дробно-рационального уравнения? | Выявление понимания роли ОДЗ и проверки допустимости корня. |
Какое место в решении текстовой задачи оказалось самым сложным: обозначение неизвестного, составление уравнения или выбор корня? | Выявление конкретной точки затруднения в математическом моделировании. |
Какой способ решения вы сегодня готовы объяснить однокласснику? | Осознание личного результата и уровня самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что одно название «квадратное уравнение» не означает один обязательный способ решения. Сначала нужно определить вид уравнения, затем выбрать рациональный алгоритм, выполнить вычисления и проверить результат. Особенно внимательно следите за знаками в дискриминанте и за ОДЗ в дробно-рациональных уравнениях. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где квадратная модель приводит к нескольким вариантам ответа, и научимся анализировать их с помощью теоремы Виета."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 уравнения: два неполных квадратных, одно полное по формуле корней и одно простейшее дробно-рациональное. Для дробного уравнения записать ОДЗ, для квадратных выполнить проверку корней. | Закрепляет распознавание вида уравнения и базовые алгоритмы; при проверке смотреть на последовательность действий и знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 2 текстовые задачи: одну на площадь прямоугольника, другую на движение или производительность, в каждой составить квадратное уравнение и объяснить отбрасывание неподходящего корня. | Формирует математическое моделирование и связь алгебры с реальными ситуациями; при проверке смотреть на обозначение неизвестного, единицы измерения и смысл корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу, решаемую квадратным уравнением, записать модель, решить её двумя способами или обосновать выбор одного способа и подготовить кратное объяснение для класса. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос способа в новую ситуацию; при проверке смотреть на корректность условия и единство ответа с моделью. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой первый шаг выполняется при решении дробно-рационального уравнения?», «В каком случае удобно вынести общий множитель за скобки?», «Что означает отрицательный корень в задаче о длине и ширине?», «Как записывается формула корней квадратного уравнения?»
