Сравнение и упорядочивание рациональных и иррациональных чисел, записанных с помощью квадратных корней
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться сравнивать и упорядочивать числа вида $a\sqrt{b}$ и $sqrt{c}$ с использованием свойств квадратного корня, возведения в квадрат и оценки по соседним целым числам, успешно выполнив не менее 4 из 5 заданий.
- Сформировать умение выбирать рациональный способ сравнения рациональных и иррациональных чисел, записанных с помощью квадратных корней.
- Развивать умение анализировать выражения, находить существенные признаки и обосновывать выбранный порядок чисел.
- Формировать навыки сотрудничества, аргументированной математической речи и самопроверки результата.
- Показать связь сравнения чисел с практическими задачами измерения, геометрии и вычислительной техники.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного математического рассуждения при сравнении величин и принятии решений.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за обоснованность результата.
- Понимают практическую значимость оценки иррациональных величин в геометрии, физике и инженерных расчётах.
- Сохраняют уважительное отношение к различным стратегиям решения и аргументам одноклассников.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют структуру выражений, преобразуют их и выбирают способ сравнения.
- Регулятивные: формулируют цель, планируют последовательность действий, проверяют знак и логичность ответа.
- Коммуникативные: объясняют решение в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор способа.
- Работают с таблицей, математической записью и цифровым калькулятором как средством проверки, а не замены рассуждения.
Предметные
- Знать свойства квадратного корня и условия, при которых можно сравнивать неотрицательные числа по их квадратам.
- Уметь сравнивать числа вида $a\sqrt{b}$, $sqrt{c}$ и рациональные числа.
- Уметь оценивать значение квадратного корня по соседним квадратам целых чисел.
- Уметь упорядочивать набор рациональных и иррациональных чисел и записывать обоснование результата.
- Владеть алгоритмом выбора способа сравнения чисел с квадратными корнями.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность объяснить решение.
- Связывают математическую точность с ответственностью при работе с измерениями и данными.
- Проявляют познавательный интерес к способам сравнения величин без приближённых вычислений.
Регулятивные УУД
- Ставят цель: установить порядок данных чисел и выбрать краткое доказательство.
- Планируют действия: преобразовать, оценить или возвести в квадрат.
- Осуществляют самопроверку знаков, равенств и направления неравенств.
- Корректируют решение после сопоставления с эталоном и объясняют причину ошибки.
Познавательные УУД
- Сравнивают выражения по структуре и классифицируют их по удобному способу решения.
- Строят цепочку рассуждений от свойства квадратного корня к выводу о порядке чисел.
- Моделируют расположение чисел на координатной прямой.
- Находят и исправляют ошибку в готовом математическом рассуждении.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, объясняющий и проверяющий.
- Формулируют вопросы: «Почему можно возвести числа в квадрат?» и «Какой способ короче?».
- Используют математические термины «рациональное число», «иррациональное число», «оценка», «неравенство».
- Сопоставляют разные решения без конфликтного оценивания личности одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с координатной прямой, квадратами чисел от 1 до 12 и алгоритмом сравнения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной работы с выражениями $sqrt{18}$, $3\sqrt{2}$, $sqrt{20}$, $2\sqrt{5}$ и $sqrt{7}$ — по одной на пару.
- Распечатать лист самопроверки с эталонами ответов — по одному на ученика.
- Вывести на экран проблемную задачу о сравнении диагоналей прямоугольников со сторонами 1 и 2, 2 и 2.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Оставить на доске место для записи свойств: если $0\leq a<b$, то $\sqrt{a}<\sqrt{b}$; если $x,y\geq0$ и $x^2<y^2$, то $x<y$.
- Подготовить калькулятор или цифровой инструмент для краткой проверки приближённых значений, подчеркнув, что основной ответ должен быть обоснован без него.
- Подготовить линейку или изображение координатной прямой для межпредметной связи с геометрией и измерениями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового способа сравнения чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня вы сможете выбрать способ решения и доказать, почему он работает. Нам важно не только получить порядок чисел, но и объяснить его." | Проверяют принадлежности, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа $sqrt{18}$ и $3\sqrt{2}$ и спрашивает: "Какое из них больше? Можно ли уверенно ответить, не вычисляя длинные десятичные дроби? Запишите индивидуально свою гипотезу, затем обсудите её с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Записывают гипотезу, обсуждают её в парах и предлагают варианты: "Числа равны, потому что $sqrt{18}=3\sqrt{2}$" или "Нужно сравнить квадраты". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что приближённый счёт не всегда нужен и может скрыть точное равенство. Сейчас выясним, какие свойства помогут сравнивать такие числа строго и быстро."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства квадратного корня, сравнение неотрицательных чисел и связь числа с его квадратом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске выражения $sqrt{9}$, $sqrt{16}$, $sqrt{25}$ и спрашивает: "Что называется арифметическим квадратным корнем? Чему равны эти выражения? Какие числа можно сравнивать по квадратам без изменения направления неравенства?" Учитель фиксирует ответы в опорной схеме. | Отвечают: "Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению"; называют 3, 4 и 5; формулируют условие неотрицательности. |
3 мин | Учитель предлагает мини-задание на карточке: "Сравните $sqrt{7}$ и 3; $sqrt{12}$ и 4; $sqrt{50}$ и $7$. Объясните ответ через квадраты соседних целых чисел." После выполнения просит поднять зелёную карточку, если способ понятен, и жёлтую, если требуется уточнение. | Сравнивают: $sqrt{7}<3$, потому что $7<9$; $sqrt{12}<4$, потому что $12<16$; $sqrt{50}>7$, потому что $50>49$. Отмечают уровень понимания карточкой. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: если $0\leq a<b$, то $sqrt{a}<sqrt{b}$; для неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо: $x<y$ тогда и только тогда, когда $x^2<y^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как сравнивать квадратные корни и неотрицательные числа по квадратам. Но пока не ответили, как действовать, если перед корнями стоят множители или если нужно расположить сразу несколько чисел. Перейдём к постановке задачи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм предстоящей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает набор $sqrt{18}$, $3\sqrt{2}$, $sqrt{20}$, $2\sqrt{5}$ и спрашивает: "Попробуйте расположить числа по возрастанию. Какие пары вы сравните сразу? Где возникло затруднение?" Учитель не сообщает алгоритм, а записывает на доске ответы и вопросы класса. | Распознают равенства $sqrt{18}=3\sqrt{2}$ и $sqrt{20}=2\sqrt{5}$, замечают, что часть чисел имеет разные формы записи. Формулируют затруднение: "Нужно привести числа к сопоставимому виду или сравнить их квадраты". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как составить такой порядок, чтобы каждое сравнение можно было доказать точно? Выберите цель урока из двух формулировок: только получить ответ или получить ответ и обосновать способ." Учитель принимает формулировку класса. | Выбирают вторую цель и формулируют: "Научиться сравнивать и упорядочивать числа с корнями, выбирая удобный способ и доказывая результат". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не угадывать порядок, а строить доказательство. Сначала откроем несколько способов на конкретных примерах, затем проверим их самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить способы сравнения чисел, содержащих квадратные корни.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки и говорит: "Рассмотрите пару $sqrt{18}$ и $3\sqrt{2}$. Первый путь — преобразовать $sqrt{18}$: вынести полный квадрат из-под знака корня. Второй путь — возвести оба неотрицательных числа в квадрат. Выполните оба способа и сравните результат. Обязательно проговорите, почему направление сравнения сохраняется." | Пары преобразуют $sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}$ и делают вывод о равенстве. Вторым способом получают $(\sqrt{18})^2=18$, $(3\sqrt{2})^2=18$. Объясняют: "Оба числа неотрицательны, поэтому равенство квадратов даёт равенство чисел". |
3 мин | Учитель предлагает сравнить $sqrt{20}$ и $2\sqrt{5}$: "Выберите наиболее короткое доказательство. Если вы преобразуете корень, покажите вынесение множителя. Если возводите в квадрат, запишите оба квадрата." Учитель просит одну пару представить решение, а другую — проверить его по критериям. | Выбирают преобразование: $sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$, делают вывод о равенстве. Проверяющая пара подтверждает корректность и указывает, что оба числа неотрицательны. |
3 мин | Учитель записывает на доске смешанный пример: сравнить $\sqrt{7}$ и $2\sqrt{2}$. Спрашивает: "Какой способ здесь удобнее? Что произойдёт после возведения в квадрат?" Затем формулирует общий алгоритм и выделяет три случая: упрощение корня, сравнение квадратов, оценка между соседними числами. | Возводят в квадрат: $(\sqrt{7})^2=7$, $(2\sqrt{2})^2=8$, поэтому $sqrt{7}<2\sqrt{2}$. Записывают алгоритм и задают уточняющие вопросы о неотрицательности чисел. |
Запись в тетрадях
Алгоритм сравнения: 1) привести выражения к удобному виду; 2) проверить неотрицательность; 3) при необходимости возвести сравниваемые числа в квадрат; 4) сравнить полученные числа; 5) записать вывод и краткое обоснование. Для оценки используют соседние квадраты: если $n^2<a<(n+1)^2$, то $n<\sqrt{a}<n+1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не один шаблон, а выбор стратегии. Если корень легко упростить — упрощаем; если формы неудобны — сравниваем квадраты; если требуется приблизительное положение на прямой — используем соседние квадраты. Теперь проверим алгоритм на заданиях с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм при сравнении и связать математическую модель с геометрическими длинами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает работу в парах: "Сравните и обоснуйте: а) $4\sqrt{3}$ и $sqrt{48}$; б) $sqrt{27}$ и $5$; в) $\sqrt{11}$ и $\sqrt{13}$. Для каждого пункта подпишите выбранный способ: упрощение, квадраты или сравнение подкоренных выражений." Учитель подходит к парам и задаёт вопросы: "Почему ваши числа можно возводить в квадрат?" | Решают: $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$; $sqrt{27}<5$, так как $27<25$ неверно, поэтому $sqrt{27}>5$, так как $27>25$; $sqrt{11}<\sqrt{13}$, так как $11<13$. Записывают способ и обоснование. |
4 мин | Учитель показывает прямоугольники со сторонами 1 и 2, 2 и 2 и говорит: "Диагональ прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора. Сравните диагонали: $d_1=\sqrt{1^2+2^2}$ и $d_2=\sqrt{2^2+2^2}$. Какое утверждение применимо в инженерном расчёте: какая диагональ длиннее и почему?" | Вычисляют $d_1=\sqrt{5}$ и $d_2=\sqrt{8}$, сравнивают подкоренные выражения и формулируют: "$\sqrt{5}<\sqrt{8}$, поэтому диагональ квадрата со стороной 2 длиннее". Объясняют связь с геометрией и измерением длины. |
Эталон решения
Для сравнения $sqrt{27}$ и $5$: оба числа неотрицательны. Так как $(\sqrt{27})^2=27$, а $5^2=25$ и $27>25$, то $sqrt{27}>5$. Для диагоналей: $d_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, $d_2=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$. Поскольку $5<8$, получаем $sqrt{5}<sqrt{8}$, следовательно, $d_1<d_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили алгоритм к чисто алгебраическим выражениям и к длинам геометрических отрезков. Теперь каждый выполнит задания самостоятельно, а затем проверит не только ответ, но и способ рассуждения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый вариант обязателен для всех, средний можно выбрать при уверенной работе, продвинутый — для тех, кто хочет проверить себя на нестандартном сравнении. Записывайте не только знак, но и два-три шага обоснования." Учитель напоминает: базовый — сравнить $sqrt{15}$ и 4, $2\sqrt{3}$ и $sqrt{12}$; средний — упорядочить $sqrt{2}$, $1,5$, $sqrt{3}$; продвинутый — сравнить $sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$, затем объяснить, почему приближённый калькулятор не нужен. | Индивидуально решают выбранный вариант. В базовом получают $sqrt{15}<4$ и $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$; в среднем используют $1,5^2=2,25$, поэтому $sqrt{2}<1,5<\sqrt{3}$; в продвинутом доказывают $sqrt{45}=3\sqrt{5}$. |
3 мин | Учитель открывает лист самопроверки и предлагает приём «Сверка с эталоном»: "Проверьте три пункта: выбран ли корректный способ, не потерян ли знак неравенства, есть ли итоговая запись. Ошибку не зачёркивайте молча — рядом укажите её причину: неверно возведено в квадрат, перепутаны соседние квадраты или пропущено преобразование." | Сверяют решения, отмечают верные шаги, исправляют ошибки другим цветом и заполняют мини-лист: «Я умею сравнивать корни», «Мне нужно повторить оценку корня», «Я могу объяснить выбор способа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что важен не только знак между числами, но и основание для него. Осталось обобщить алгоритм и определить, что каждый из вас забирает с урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить достигнутый результат, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному примеру и говорит: "В начале урока мы сравнивали $sqrt{18}$ и $3\sqrt{2}$. Сформулируйте сейчас полное доказательство и назовите ещё один способ проверки. Затем поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку по уровню уверенности." | Формулируют: "$sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}$, поэтому числа равны. Можно также возвести оба неотрицательных числа в квадрат и получить 18". Показывают цвет уверенности. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На отдельной строке ответьте: 1) какой способ сравнения вы выбираете первым; 2) почему нельзя сравнивать отрицательные числа только по квадратам; 3) сравните $sqrt{10}$ и $3$. Ответы сдайте при выходе." | Записывают: упрощение или сравнение квадратов; объясняют, что квадраты отрицательных чисел могут совпадать при разных числах; делают вывод $sqrt{10}>3$, так как $10>9$. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один повышающий или дополнительный пункт. Важно оформить обоснование каждого сравнения, а не только поставить знак." | Записывают выбранный уровень и уточняют непонятные условия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились упорядочивать числа с квадратными корнями не на глаз, а с помощью точного рассуждения. Выбирайте способ осознанно: упрощайте, сравнивайте квадраты или оценивайте корень по соседним квадратам. На следующем уроке применим эти приёмы к преобразованию выражений и решению задач с переменными."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного базового и среднего уровня либо базовый и продвинутый вариант; каждое сравнение сопровождается корректным обоснованием, знаки и преобразования записаны без ошибок.
- «4» — верно выполнены не менее 80% заданий; допущена одна неточность в преобразовании или оформлении, но общий алгоритм выбран правильно и исправлен при самопроверке.
- «3» — верно выполнены базовые задания, но допущены две ошибки в обосновании или упорядочивании; ученик после подсказки может объяснить применение соседних квадратов или сравнение квадратов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой способ сравнения чисел с квадратными корнями вы выбрали бы первым и почему? | Выявление осознанности выбора стратегии и понимания алгоритма. |
Что оказалось сложнее: упростить корень, сравнить квадраты или оценить корень по соседним квадратам? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекционной работы. |
Как вы докажете, что $sqrt{10}>3$, не используя калькулятор? | Проверка понимания связи квадратов и порядка неотрицательных чисел. |
Где сегодня пригодилась геометрическая интерпретация квадратного корня? | Осознание межпредметной связи и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа, записанные с помощью квадратных корней. Главное — не заменять доказательство случайным приближённым вычислением: сначала ищите преобразование, сравнивайте квадраты или используйте соседние квадраты. Частая ошибка — возводить числа в квадрат, не проверив их неотрицательность, поэтому этот шаг всегда проговаривайте. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения с корнями и будем применять сегодняшний алгоритм в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 заданий на сравнение пар $sqrt{a}$ и целых чисел, а также пар квадратных корней; в каждом задании записать обоснование через соседние квадраты или сравнение подкоренных выражений. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность знака и наличие доказательства. |
Средний (повышающий) | Упорядочить 3 набора по 4–5 чисел, включающих рациональные числа, выражения вида $a\sqrt{b}$ и квадратные корни; для каждой соседней пары указать выбранный способ сравнения. | Формирует умение выбирать стратегию и строить цепочку неравенств; проверить согласованность всего порядка. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу из геометрии или физики, в которой нужно сравнить две величины, выраженные через квадратные корни; привести точное доказательство и краткую проверку приближёнными значениями. | Развивает создание математической модели и функциональную грамотность; проверить корректность условия, единицы измерения и обоснование. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как сравнить $sqrt{a}$ и $sqrt{b}$ при $a,b\geq0$?», «В каком случае удобно возвести сравниваемые числа в квадрат?», «Как доказать, что $4<\sqrt{20}<5$?», «Почему ответ должен содержать не только знак, но и обоснование?»
