Действительные числа и квадратные корни: сравнение, преобразование выражений и уравнение $x^{2}=a$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться сравнивать действительные числа, выполнять преобразования числовых выражений с квадратными корнями и решать уравнения вида $x^{2}=a$, объясняя каждый шаг решения.
- Закрепить представление о действительных числах как об объединении рациональных и иррациональных чисел, включая правила сравнения иррациональных чисел по десятичным приближениям.
- Научиться применять свойства арифметического квадратного корня при упрощении выражений и проверять допустимость преобразований.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, обнаруживать ошибки и аргументировать математический вывод в паре и при фронтальном обсуждении.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание практической роли приближённых значений в измерениях, инженерии и естественных науках.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию числовых закономерностей и осознают ценность точности при вычислениях.
- Принимают возможность разных способов рассуждения и уважительно оценивают математические аргументы одноклассников.
- Осознают связь алгебры с измерениями, геометрией, физикой и инженерными расчётами.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня и способа выполнения практического задания.
Метапредметные
- Сравнивают, классифицируют и упорядочивают действительные числа, используя числовую прямую и десятичные приближения.
- Извлекают информацию из условия, таблицы и записи на доске, преобразуют её в математическую модель.
- Планируют последовательность преобразований, выполняют самопроверку и корректируют ошибочные действия.
- Формулируют выводы, объясняют выбор способа решения и взаимодействуют в паре при обсуждении математической задачи.
Предметные
- Знать различие между рациональными и иррациональными числами и понимать, что множество действительных чисел включает оба вида чисел.
- Уметь сравнивать действительные числа по расположению на числовой прямой и по десятичным приближениям.
- Уметь применять свойства $sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}$ и $sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}$ при неотрицательных подкоренных выражениях, а также свойство $(sqrt{a})^{2}=a$.
- Уметь упрощать числовые выражения с квадратными корнями и решать уравнения вида $x^{2}=a$ с учётом значения $a$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы через самооценку и формулируют конкретное затруднение.
- Осознают смысл точного и приближённого ответа в учебных и практических задачах.
- Проявляют готовность доводить преобразование до проверяемого результата.
- Связывают изучаемый материал с будущими задачами в технических и естественно-научных областях.
Регулятивные УУД
- Ставят цель: научиться сравнивать и преобразовывать выражения с корнями.
- Планируют алгоритм решения уравнения $x^{2}=a$ и последовательность преобразований выражения.
- Проверяют знак, область допустимости и результат подстановкой или обратным действием.
- Оценивают собственную работу по критериям и исправляют найденные ошибки.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа на рациональные и иррациональные, находят основания классификации.
- Строят числовую прямую и используют её как модель сравнения действительных чисел.
- Выделяют существенные шаги в преобразовании выражений с квадратными корнями.
- Анализируют ошибочные решения и объясняют, почему неверное преобразование нарушает свойства корня.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют математическое объяснение полным предложением, используя термины «рациональное», «иррациональное», «квадратный корень».
- Задают уточняющие вопросы к решению партнёра и корректно указывают на ошибку.
- Согласуют общий ответ пары и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовой прямой, определениями рационального и иррационального числа и краткой памяткой свойств квадратного корня.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной работы с выражениями $sqrt{12}$, $sqrt{18}$, $sqrt{50}$, $sqrt{72}$ и их десятичными приближениями.
- Распечатать мини-лист самопроверки с пунктами: знак числа, допустимость корня, применённое свойство, проверка результата.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листы для «Билета на выход».
- Вывести на экран практический контекст: длина диагонали прямоугольника со сторонами 3 м и 4 м.
- Подготовить калькуляторы по одному на пару либо разрешить использование встроенного калькулятора для проверки десятичных приближений.
- На доске заранее оставить место для алгоритмов сравнения чисел, упрощения корней и решения уравнения $x^{2}=a$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую задачу и показать необходимость точного сравнения и преобразования чисел с корнями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске прямоугольник со сторонами 3 м и 4 м: "Сегодня начнём с задачи, которая встречается в строительстве и проектировании. Нужно узнать длину диагонали прямоугольной площадки. Как получить её, если измерения заданы точно? Запишите условие и предположите способ." | Записывают данные, вспоминают теорему Пифагора, предполагают: "Диагональ равна $sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ м". |
2 мин | Учитель продолжает: "А теперь представьте, что стороны равны 2 м и 3 м. Получится $sqrt{13}$ м. Можно ли точно сравнить это число с 3,5? Как получить удобное приближение? Сегодня мы соберём инструменты для таких ситуаций." | Сравнивают $sqrt{13}$ и 3,5, предлагают вычислить приближение и формулируют вопрос урока: "Как сравнивать и преобразовывать выражения с иррациональными числами?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что квадратный корень может дать как точный, так и приближённый результат. Теперь вспомним, какие числа входят в множество действительных чисел и как их размещать на числовой прямой."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия рационального и иррационального числа, свойства корня и зафиксировать затруднение при сравнении чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске числа $-2$, $0,75$, $sqrt{2}$, $sqrt{9}$, $pi$ и говорит: "Приём «Сортировка»: распределите числа на рациональные и иррациональные. Объясните не только ответ, но и признак, по которому вы распределяли числа." | В парах записывают два столбца. Объясняют: "$-2$, $0,75$ и $sqrt{9}=3$ рациональны; $sqrt{2}$ и $pi$ иррациональны, потому что не представляются конечной или периодической десятичной дробью". |
3 мин | Учитель предлагает выражения: $sqrt{25}$, $sqrt{4\cdot9}$, $sqrt{18}$ и спрашивает: "Какие выражения упрощаются сразу? Какое свойство можно применить к $sqrt{18}$? Почему нельзя написать $sqrt{18}=9$?" | Записывают $sqrt{25}=5$, $sqrt{4\cdot9}=6$, $sqrt{18}=3sqrt{2}$. Объясняют: "Корень из произведения равен произведению корней при неотрицательных множителях; $sqrt{18}$ не равно 9, потому что $9^{2}=81$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем распознавать виды чисел и упрощать некоторые корни, но пока не всегда быстро сравниваем иррациональные числа и выбираем полный алгоритм преобразования. Сформулируем цель и план работы."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритмы, которые понадобятся для практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары $sqrt{7}$ и 2,7; $sqrt{10}$ и 3,2. "Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите в паре: как сравнить числа, если один из корней не извлекается нацело? Какие данные нужно получить?" | Сначала рассуждают индивидуально, затем в парах предлагают: "Нужно найти десятичное приближение с одинаковой точностью и сравнить первые различающиеся цифры". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "Первое — классифицируем и сравниваем числа. Второе — применяем свойства корня. Третье — решаем уравнение $x^{2}=a$. В конце проверим себя практической карточкой и билетом на выход." | Записывают тему и план урока, выбирают базовый или повышенный уровень карточки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён: от сравнения и приближения — к преобразованию и уравнению. Переходим к открытию и проверке правил на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритмы сравнения действительных чисел, преобразования корней и решения уравнения $x^{2}=a$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки с парами чисел и говорит: "Используем приём «Исследовательская пара». Сравните $sqrt{5}$ и 2,3; $sqrt{11}$ и 3,4; $-\u0000sqrt{3}$ и $-1,7$. Для каждого ответа укажите приближение до десятых или сотых и разместите числа на числовой прямой." | Выполняют сравнение: $sqrt{5}\approx2,24<2,3$; $sqrt{11}\approx3,32<3,4$; $-\u0000sqrt{3}\approx-1,73<-1,7$. Обсуждают, почему при отрицательных числах порядок учитывает расположение слева направо. |
3 мин | Учитель записывает: $sqrt{12}$, $sqrt{45}$, $sqrt{8\cdot18}$ и объясняет: "Ищем полный квадрат под знаком корня. Представляем число в виде произведения, применяем $sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}$ и выносим корень из полного квадрата. Сравните два способа записи результата и выберите более простой." | Преобразуют: $sqrt{12}=2sqrt{3}$; $sqrt{45}=3sqrt{5}$; $sqrt{8\cdot18}=sqrt{144}=12$. Формулируют: "Сначала выделяем полный квадрат, затем выносим его корень". |
3 мин | Учитель задаёт вопрос: "Решим $x^{2}=16$. Какие числа при возведении в квадрат дают 16? А что изменится в уравнениях $x^{2}=0$ и $x^{2}=-4$? Запишите правило на доске вместе со мной." | Отвечают: "$x=4$ или $x=-4$"; для $x^{2}=0$ получают $x=0$; для $x^{2}=-4$ действительных решений нет. Записывают: если $a>0$, то $x=pmsqrt{a}$; если $a=0$, то $x=0$; если $a<0$, решений нет. |
Запись в тетрадях
- Действительные числа — рациональные и иррациональные числа вместе.
- Для сравнения иррациональных чисел используют числовую прямую или десятичные приближения с одинаковой точностью.
- При $a\ge0$: $sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}$; при $a\ge0$, $b>0$: $sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}$.
- Если $a>0$, уравнение $x^{2}=a$ имеет два корня $x=pmsqrt{a}$; если $a=0$, один корень $x=0$; если $a<0$, действительных корней нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритмы открыты и проверены на примерах. Теперь важно научиться применять их без подсказки и замечать типичные ошибки: потерю знака, неверное извлечение корня и отсутствие проверки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы в коротких заданиях с объяснением каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку «Три шага»: 1) сравнить $sqrt{6}$ и 2,45; 2) упростить $sqrt{75}-sqrt{12}$; 3) решить $x^{2}=49$. "Работайте в парах: один ученик выполняет, второй контролирует шаги по памятке, затем поменяйтесь ролями." | Решают и проговаривают: $sqrt{6}\approx2,45$, сравнение зависит от точности; $sqrt{75}-sqrt{12}=5sqrt{3}-2sqrt{3}=3sqrt{3}$; $x=7$ или $x=-7$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Поставьте две звезды за корректные действия и одно пожелание, если найден недочёт. Не пишите «неверно» без объяснения." | Проверяют записи партнёров, отмечают правильный алгоритм и формулируют пожелание, например: "Укажи оба корня уравнения". |
2 мин | Учитель разбирает ошибку на доске: $sqrt{9+16}=sqrt{9}+sqrt{16}=7$. "Найдите ошибку и предложите верную запись. Почему свойство произведения нельзя переносить на сумму?" | Исправляют: $sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$, объясняют: "Корень суммы не равен сумме корней". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили три разных действия и увидели, что каждая ошибка связана с нарушением конкретного правила. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами сравнения, преобразования и решения уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательный базовый блок. Если он получается уверенно, переходите к повышенному. Работайте самостоятельно, калькулятор используйте только для проверки приближения." | Выбирают карточку, записывают решения с промежуточными шагами. |
6 мин | Учитель предлагает базовый блок: "1. Сравните $sqrt{15}$ и 3,9. 2. Упростите $sqrt{48}+sqrt{27}$. 3. Решите $x^{2}=25$. Повышенный блок: сравните $sqrt{20}$ и $2sqrt{5}$; упростите $sqrt{18}\cdotsqrt{8}$; решите $x^{2}=2$." | Решают индивидуально: $sqrt{15}\approx3,87<3,9$; $sqrt{48}+sqrt{27}=4sqrt{3}+3sqrt{3}=7sqrt{3}$; $x=pm5$. В повышенном блоке используют равенство $sqrt{20}=2sqrt{5}$, получают 12 и $x=pmsqrt{2}$. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске и просит выполнить самопроверку: "Проверьте не только ответы, но и оформление. Обведите место, где возникло затруднение, и поставьте рядом знак вопроса." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, отмечают затруднение в листе самоконтроля. |
Эталон решения
$sqrt{15}\approx3,873$, поэтому $sqrt{15}<3,9$. Далее $sqrt{48}=sqrt{16\cdot3}=4sqrt{3}$, $sqrt{27}=sqrt{9\cdot3}=3sqrt{3}$, значит $sqrt{48}+sqrt{27}=7sqrt{3}$. В уравнении $x^{2}=25$ число 25 положительно, поэтому $x=pmsqrt{25}=pm5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой алгоритм уже стал устойчивым, а какой требует тренировки. Осталось связать все действия в единую систему и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить знания в геометрическом и практическом контексте, осознать результат и зафиксировать дальнейший шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к задаче: "В инженерном чертеже прямоугольная панель имеет стороны 2 м и 3 м. Диагональ равна $sqrt{13}$ м. Оцените её до сотых и объясните, почему ответ 3,61 м является приближённым, а не точным." | Вычисляют $sqrt{13}\approx3,61$ м, формулируют: "Число $sqrt{13}$ иррационально, поэтому конечная десятичная запись невозможна; 3,61 м — приближение с точностью до сотых". |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёный — могу сравнить и преобразовать сам; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в вычислениях; красный — нужна помощь. На стикере допишите одно действие, которое вы теперь умеете выполнять." | Поднимают карточку или прикрепляют стикер, записывают: "умею решать $x^{2}=a$", "умею выносить множитель из-под корня". |
1 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: чем рациональное число отличается от иррационального; сколько корней имеет уравнение $x^{2}=a$ при $a>0$?" | Пишут краткие ответы и сдают билет при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили свойства корней, а выбрали способ действия в разных ситуациях: сравнивали, упрощали, решали уравнение и оценивали точность. Запишите домашнее задание и проверьте, что поняли критерии его выполнения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания обязательного блока и не менее двух заданий повышенного блока; преобразования записаны последовательно, оба корня уравнения указаны при $a>0$, сравнение обосновано.
- «4» — верно выполнены все задания обязательного блока, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма.
- «3» — верно выполнены не менее двух заданий обязательного блока, но требуется исправить одну существенную ошибку в сравнении, преобразовании корня или количестве корней уравнения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как отличить рациональное число от иррационального? | Проверка осознания ключевого понятия темы. |
Как сравнить $sqrt{13}$ и 3,6? | Выявление понимания алгоритма десятичных приближений. |
Какое свойство корня ты применял чаще всего и почему? | Определение осознанности выбора способа преобразования. |
На каком шаге решения уравнения $x^{2}=a$ нужна особая внимательность? | Выявление риска потери второго корня или неверного учёта знака $a$. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы объединили действительные числа, приближённые вычисления, свойства квадратных корней и уравнение $x^{2}=a$ в одну систему. Особенно внимательно следите за двумя моментами: корень из суммы нельзя раскладывать как сумму корней, а у положительного числа в уравнении квадрат имеет два противоположных корня. Вы уже умеете выбирать способ сравнения и преобразования, а не действовать механически. На следующем уроке мы продолжим работу с квадратными корнями и усложним выражения и уравнения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: классифицировать действительные числа, сравнить две пары чисел с корнями по десятичным приближениям, упростить два выражения с выделением полного квадрата, решить три уравнения вида $x^{2}=a$ для положительного, нулевого и отрицательного $a$. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на точность приближений, знак числа и количество корней. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 смешанных заданий на преобразование выражений типа $sqrt{48}-sqrt{12}$, $sqrt{5}\cdotsqrt{20}$ и сравнение выражений с корнями, обязательно записывая обоснование каждого преобразования. | Развивает применение свойств корня в цепочке действий; проверять выделение полного квадрата и отсутствие неверного правила для суммы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о диагонали прямоугольника или расстоянии по теореме Пифагора, где ответ содержит иррациональное число, и дать его приближение до сотых. | Формирует математическую и естественно-научную грамотность; проверять корректность модели, единицы измерения, точный и приближённый ответы. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие числа называют действительными? Как сравнить иррациональное число с десятичной дробью? Как выделить полный квадрат из-под знака корня? Сколько решений имеет $x^{2}=a$ при $a>0$, $a=0$ и $a<0$?»
