Рациональные числа. Иррациональные числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать рациональные и иррациональные числа, объяснять признак рациональности, представлять рациональные числа в виде обыкновенной дроби и классифицировать не менее 8 из 10 предложенных чисел с точностью не менее 80%.
- Образовательная задача: сформулировать определения рационального и иррационального числа и установить различие между конечной, периодической и бесконечной непериодической десятичной записью.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись числа, сравнивать способы представления информации и аргументировать вывод в парной работе.
- Практическая задача: применять алгоритм классификации чисел в заданиях базового, повышенного и сложного уровней.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений и уважение к мнению партнёра при совместном обсуждении.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной математической записи для инженерии, программирования, архитектуры и естественных наук.
- Проявляют познавательный интерес к числам, которые нельзя точно записать обыкновенной дробью.
- Принимают необходимость проверки собственного ответа и спокойно относятся к исправлению ошибки.
- Осознают личную ответственность за результат индивидуальной и парной работы.
Метапредметные
- Извлекают информацию из определения, примеров и таблицы, представленной на экране.
- Сравнивают объекты по заданным признакам и классифицируют числа по группам.
- Планируют действия по алгоритму и осуществляют самопроверку по эталону.
- Формулируют математическое утверждение, приводят контрпример и аргументируют вывод в паре.
Предметные
- Знают, что рациональным называется число, представимое в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.
- Знают, что иррациональное число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.
- Умеют распознавать рациональные числа среди целых, обыкновенных дробей, конечных и периодических десятичных дробей.
- Умеют объяснять, почему числа с бесконечной непериодической десятичной записью являются иррациональными.
- Владеют алгоритмом классификации чисел по виду десятичной записи и умеют приводить примеры рациональных и иррациональных чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться отличать рациональные числа от иррациональных.
- Связывают изучаемое понятие с практикой измерений и вычислений.
- Проявляют готовность выбирать уровень задания в соответствии со своими возможностями.
- Оценивают собственный прогресс по результатам самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для её решения.
- Удерживают критерии классификации числа при выполнении задания.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки рациональных и иррациональных чисел.
- Преобразуют конечную десятичную дробь в обыкновенную и используют периодичность как критерий.
- Строят классификацию и устанавливают связи между множествами чисел.
- Используют математическую модель записи $\frac{m}{n}$ для обоснования ответа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один классифицирует числа, другой проверяет обоснование.
- Задают уточняющие вопросы и формулируют возражения без нарушения правил общения.
- Согласовывают общий ответ и представляют его классу.
- Используют математические термины «рациональное», «иррациональное», «периодическая запись» в устной речи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным примером бесконечной непериодической записи $1{,}010010001...$, фрагментом числовой прямой и таблицей классификации чисел.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной работы с 10 числами: $-3$, $\frac{5}{7}$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$, $2{,}75$, $0{,}1010010001...$, $\frac{7}{11}$, $-1{,}6$, $3{,}125$.
- Подготовить лист самооценки и эталон ответов по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран определения и памятку: «конечная или периодическая десятичная дробь — рациональное число; бесконечная непериодическая — иррациональное».
- Подготовить маркеры, магниты, стикеры двух цветов и таймер.
- Организовать места для работы в парах; предусмотреть учебник и тетрадь у каждого ученика.
- Подготовить числовую прямую для связи алгебры с различными видами числовых записей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не только вспоминать определения, но и проверять их на практике, поэтому приготовьтесь объяснять каждый ответ." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа $0{,}5$, $\frac{1}{2}$ и $1{,}010010001...$: "Посмотрите на три записи. Первые два числа легко связать с дробью. А как понять, можно ли представить третье число в виде отношения двух целых чисел? Подумайте молча, затем обменяйтесь предположениями с соседом. Приём — «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Сначала формулируют индивидуальное предположение, затем обсуждают его в парах и предлагают варианты: "$0{,}5$ и $\frac12$ — одно и то же число", "$1{,}010010001...$ записывается бесконечной десятичной дробью", "нужно проверить, повторяется ли в записи один и тот же период". |
Карточка к этапу 1. «Заметь различие»
Сравните записи: $0{,}5$, $\frac{1}{2}$, $1{,}010010001...$.
1. Какие записи обозначают одно и то же число?
2. Какая запись является бесконечной?
3. Как проверить, повторяется ли в ней один и тот же блок цифр?
Задание: Запишите предположение: «Я думаю, что третье число является …, потому что …».
Сравните записи: $0{,}5$, $\frac{1}{2}$, $1{,}010010001...$.
1. Какие записи обозначают одно и то же число?
2. Какая запись является бесконечной?
3. Как проверить, повторяется ли в ней один и тот же блок цифр?
Задание: Запишите предположение: «Я думаю, что третье число является …, потому что …».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одинаковое число может иметь разные записи, а запись непериодичных дробей требует отдельного анализа. Теперь вспомним, какие числа и виды дробей нам уже известны."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о целых, дробных и десятичных числах и зафиксировать затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает «Математическую разминку»: "Распределите числа $-4$, $0$, $\frac{3}{8}$, $1{,}25$, $0{,}(6)$ по знакомым вам группам. Объясните, какие из них можно записать в виде отношения двух целых чисел. Не называйте только группу — добавляйте обоснование." | Записывают числа в таблицу, отвечают: "$-4=\frac{-4}{1}$", "$\frac38$ уже имеет нужный вид", "$1{,}25=\frac{125}{100}$", "$0{,}(6)=\frac23$". |
3 мин | Учитель обращается к классу: "Что общего у конечной и периодической десятичной дроби? Как вы считаете, всякая ли бесконечная десятичная дробь является рациональной? Зафиксируем ответы на доске в двух колонках: «знаем» и «требует проверки»." | В парах обсуждают вопросы, прикрепляют стикеры. Формулируют: "конечную и периодическую дробь можно превратить в обыкновенную", "не всякая бесконечная дробь имеет период". |
Карточка к этапу 2. «Разминка»
Распределите числа по группам: $-4$, $0$, $\frac{3}{8}$, $1{,}25$, $0{,}(6)$.
Группы: целое число; обыкновенная дробь; конечная десятичная дробь; периодическая десятичная дробь.
Для каждого числа допишите обоснование. Например: $1{,}25=\frac{125}{100}$, поэтому число можно представить в виде отношения двух целых чисел.
Распределите числа по группам: $-4$, $0$, $\frac{3}{8}$, $1{,}25$, $0{,}(6)$.
Группы: целое число; обыкновенная дробь; конечная десятичная дробь; периодическая десятичная дробь.
Для каждого числа допишите обоснование. Например: $1{,}25=\frac{125}{100}$, поэтому число можно представить в виде отношения двух целых чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уверенно узнаём несколько видов рациональных чисел, но пока не можем строго классифицировать все бесконечные записи и некоторые корни. Значит, нам нужен точный признак и алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $-3$, $\frac57$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$: "Какие из этих чисел можно отнести к рациональным? Какие сведения нам необходимы, чтобы не угадывать по внешнему виду записи? Сформулируйте проблему одним предложением." | Обсуждают в парах и формулируют проблему: "Нужно научиться определять, представимо ли число в виде обыкновенной дроби". |
2 мин | Учитель направляет построение проекта: "Предложите план. Сначала уточним определение, затем сравним типы десятичных записей, после этого потренируемся на примерах и проверим себя. Какой результат покажет, что цель достигнута?" | Предлагают план и критерий: "Мы сможем правильно распределить числа по группам и объяснить хотя бы несколько ответов". Записывают тему и цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Карточка к этапу 3. «Сформулируй проблему»
Рассмотрите числа: $-3$, $\frac{5}{7}$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$.
1. Какие числа, по вашему мнению, рациональные?
2. Какой признак поможет не угадывать ответ?
3. Сформулируйте учебную проблему одним предложением.
План работы: вспомнить определение → сравнить виды десятичной записи → применить признак → объяснить ответ.
Рассмотрите числа: $-3$, $\frac{5}{7}$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$.
1. Какие числа, по вашему мнению, рациональные?
2. Какой признак поможет не угадывать ответ?
3. Сформулируйте учебную проблему одним предложением.
План работы: вспомнить определение → сравнить виды десятичной записи → применить признак → объяснить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема и план определены. Теперь не просто запомним два термина, а выведем признак, которым будем пользоваться в каждой практической задаче."
Этап 4. Открытие нового знания с опорой на учебник (10 мин)
Цель этапа: сформировать определения рационального и иррационального числа и вывести алгоритм классификации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает открыть учебник на теме урока: "Прочитайте определение рационального числа и найдите в тексте его главный признак. Не переписывайте весь материал: подчеркните условие, при котором число считается рациональным. Затем сравните формулировки в парах." Учитель фиксирует на доске: $\frac{m}{n}$, где $m\in Z$, $n\in N$. | Читают фрагмент учебника, выделяют условие представимости в виде дроби, обсуждают формулировки. Записывают: "Рациональное число — число, которое можно представить в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное". |
3 мин | Учитель показывает таблицу: "Конечная десятичная дробь превращается в дробь со знаменателем $10$, $100$ и так далее. Периодическая дробь также представима в виде обыкновенной дроби. Например, $0{,}(3)=\frac13$. Следовательно, обе записи относятся к рациональным числам." | Преобразуют $0{,}5=\frac12$, $1{,}25=\frac54$, называют рациональными $0{,}(3)$ и $-2{,}75$. Формулируют общий вывод. |
3 мин | Учитель продолжает: "Бесконечная непериодическая десятичная запись не может быть представлена отношением двух целых чисел. Такие числа называются иррациональными. Запишите алгоритм: 1) определить вид записи; 2) проверить, конечна ли запись или имеет ли период; 3) назвать группу и объяснить признак." | Записывают алгоритм, задают уточняющие вопросы. Сравнивают записи $0{,}121212...$ и $0{,}1010010001...$, определяют, какая из них периодическая, а какая — непериодическая. |
Запись в тетрадях
Рациональное число: $\frac{m}{n}$, где $m\in Z$, $n\in N$. Иррациональное число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Рациональными являются целые, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби. Иррациональными являются бесконечные непериодические десятичные дроби, например $1{,}010010001...$ и $0{,}1010010001...$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не догадка, а рабочий алгоритм. Проверим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем вы примените его самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм классификации чисел через парную практику и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "В каждой паре один ученик сначала классифицирует числа, второй проверяет обоснование, затем поменяйтесь ролями. Разнесите числа $-3$, $\frac57$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$ и $2{,}75$ по двум столбцам. Для каждого числа укажите признак классификации." | Распределяют роли, записывают: $-3$, $\frac57$, $0{,}25$, $0{,}(3)$ и $2{,}75$ — рациональные; $1{,}010010001...$ — иррациональное. Объясняют каждый выбор. |
3 мин | Учитель организует проверку: "Сравните ответы с соседней парой. Если есть расхождение, не стирайте его сразу: найдите место, где применён другой признак. Какая ошибка возможна при классификации бесконечной десятичной записи?" | Сверяют таблицы, объясняют: "Бесконечная запись не всегда иррациональна: если в ней повторяется период, число рациональное"; исправляют ошибки в аргументации. |
3 мин | Учитель предлагает задание повышенного уровня: "Классифицируйте $0{,}2020020002...$, $\frac{\sqrt5}{2}$, $-1{,}6$ и $3{,}125$. Выберите одно число и подготовьте устное доказательство по схеме «Я считаю..., потому что...»." | Решают в парах: $0{,}2020020002...$ — иррациональное как бесконечная непериодическая запись; $-1{,}6$, $3{,}125$ и $\frac{7}{11}$ — рациональные. Представляют одно доказательство классу. |
Карточка к этапу 5. «Работа в паре»
Распределите числа по двум столбцам: рациональные и иррациональные.
$-3$, $\frac{5}{7}$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$, $2{,}75$.
Для каждого числа укажите признак. Используйте формулировки: «представимо в виде отношения двух целых чисел», «конечная десятичная запись», «периодическая десятичная запись», «бесконечная непериодическая запись».
Роли: первый ученик классифицирует, второй проверяет обоснование; затем поменяйтесь ролями.
Распределите числа по двум столбцам: рациональные и иррациональные.
$-3$, $\frac{5}{7}$, $0{,}25$, $0{,}(3)$, $1{,}010010001...$, $2{,}75$.
Для каждого числа укажите признак. Используйте формулировки: «представимо в виде отношения двух целых чисел», «конечная десятичная запись», «периодическая десятичная запись», «бесконечная непериодическая запись».
Роли: первый ученик классифицирует, второй проверяет обоснование; затем поменяйтесь ролями.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм и увидели, что внешний вид записи не всегда очевиден: важно определить, является ли десятичная запись конечной, периодической или бесконечной непериодической. Теперь проверим личный результат без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Выберите карточку базового, повышенного или продвинутого уровня. Выбор — ваша ответственность: важнее не взять самый сложный вариант, а выполнить работу с обоснованием. На выполнение — пять минут." | Выбирают уровень и записывают фамилию на карточке. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: классифицировать $-1$, $\frac49$, $0{,}8$, $0{,}(12)$. Повышенный: классифицировать $-\frac{3}{11}$, $0{,}2020020002...$, $\frac{7}{11}$, $1{,}25$. Продвинутый: объяснить, почему $0{,}(7)$ рационально, а $0{,}1010010001...$ иррационально, и привести ещё по одному примеру каждого вида. | Индивидуально выполняют задания, около каждого числа записывают краткое обоснование: вид записи, представление в виде дроби или признак бесконечной непериодической записи. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только итоговые ответы, но и обоснование. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно исправить. Если ошибка есть, перепишите только неверное рассуждение." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки. Подсчитывают результат: базовый — 4 пункта, повышенный — 4, продвинутый — 2 доказательства и 2 примера. |
Карточка к этапу 6. «Самостоятельная проверка»
Базовый уровень: классифицируйте $-1$, $\frac{4}{9}$, $0{,}8$, $0{,}(12)$
Повышенный уровень: классифицируйте $-\frac{3}{11}$, $0{,}2020020002...$, $\frac{7}{11}$, $1{,}25$.
Продвинутый уровень: объясните, почему $0{,}(7)$ рационально, а $0{,}1010010001...$ иррационально; приведите по одному собственному примеру каждого вида.
Самопроверка: подчеркните признак в каждом обосновании.
Базовый уровень: классифицируйте $-1$, $\frac{4}{9}$, $0{,}8$, $0{,}(12)$
Повышенный уровень: классифицируйте $-\frac{3}{11}$, $0{,}2020020002...$, $\frac{7}{11}$, $1{,}25$.
Продвинутый уровень: объясните, почему $0{,}(7)$ рационально, а $0{,}1010010001...$ иррационально; приведите по одному собственному примеру каждого вида.
Самопроверка: подчеркните признак в каждом обосновании.
Эталон решения
$-\frac{3}{11}$ рациональное, так как уже представлено отношением двух целых чисел при ненулевом натуральном знаменателе. Запись $0{,}2020020002...$ бесконечна и не имеет постоянного периода, поэтому число иррациональное. $0{,}(7)$ рациональное, потому что это периодическая десятичная дробь; $1{,}25$ рациональное, потому что это конечная десятичная дробь. Запись $0{,}1010010001...$ бесконечна и непериодична, поэтому число иррациональное. Дополнительные примеры: $\frac27$ и $0{,}(12)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже выполняются уверенно, а где требуется внимание. Особенно проверяйте, имеет ли бесконечная запись период, и не путайте конечную запись с бесконечной. Осталось связать новое знание с другими областями и сформулировать итог урока."
Этап 7. Межпредметное применение и реальный контекст (3 мин)
Цель этапа: показать применение рациональных и иррациональных чисел в геометрии, физике и информатике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает примеры измерений и вычислений: "В жизни результат измерения часто записывают приближённо, например $1{,}414$ или $3{,}14$. Почему важно отличать точное значение от приближённого и понимать, является ли запись конечной или периодической?" | Обсуждают в парах и отвечают: "Конечная запись удобна для вычислений, но может быть приближением; периодическая запись также обозначает точное рациональное число"; связывают тему с измерениями и вычислениями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что рациональные и иррациональные числа встречаются при измерениях и вычислениях. Завершим урок краткой рефлексией и проверим, достигли ли поставленной цели."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите одно рациональное и одно иррациональное число, а рядом — по одному предложению обоснования. Затем отметьте цветом: зелёный — уверенно классифицирую, жёлтый — иногда ошибаюсь, красный — нужна помощь." | Заполняют билет: например, "$\frac34$ — рациональное, потому что представлено отношением целых чисел; $0{,}1010010001...$ — иррациональное, потому что это бесконечная непериодическая запись". Выбирают цвет самооценки. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выполните обязательный уровень и выберите один из двух повышающих вариантов. Используйте материал учебника по теме, но записывайте не только ответ, а признак классификации. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Карточка к этапу 8. «Билет на выход»
1. Запишите одно рациональное число и одно иррациональное число.
2. Рядом с каждым запишите краткое обоснование.
3. Отметьте свой уровень понимания: зелёный — классифицирую уверенно; жёлтый — иногда ошибаюсь; красный — нужна помощь.
Подсказка: рациональная запись конечная или периодическая; иррациональная запись бесконечная и непериодическая.
1. Запишите одно рациональное число и одно иррациональное число.
2. Рядом с каждым запишите краткое обоснование.
3. Отметьте свой уровень понимания: зелёный — классифицирую уверенно; жёлтый — иногда ошибаюсь; красный — нужна помощь.
Подсказка: рациональная запись конечная или периодическая; иррациональная запись бесконечная и непериодическая.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно классифицированы все числа выбранной карточки, каждое решение имеет корректное обоснование, самостоятельно исправлена возможная ошибка в эталоне.
- «4» — верно выполнено не менее 75% заданий, допущена одна неточность в объяснении или вычислении, общий признак рациональности и иррациональности понятен.
- «3» — верно выполнено не менее 50% заданий, различаются основные группы чисел, но требуется помощь при работе с корнями или бесконечными десятичными записями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о рациональных и иррациональных числах? | Выявление осознания ключевого определения и признака классификации. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точки затруднения: анализ записи, определение периода или обоснование. |
Почему $0{,}(9)$ рационально, а $0{,}1010010001...$ иррационально? | Проверка понимания различия между периодической и бесконечной непериодической записью. |
Какой уровень задания вы выбрали и что поможет перейти на следующий? | Формирование адекватной самооценки и учебного целеполагания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что рациональное число можно представить в виде отношения двух целых чисел, а иррациональное — нельзя. Вы научились проверять конечные, периодические и бесконечные непериодические записи. Типичная ошибка — считать любую бесконечную запись иррациональной, не проверив, является ли она периодической. На следующем уроке мы продолжим работать с действительными числами и их расположением на числовой прямой."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Классифицировать 8 чисел разных видов: целые, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби, а также бесконечные непериодические десятичные записи. Для каждого записать краткое обоснование. | Закрепляет распознавание рациональных и иррациональных чисел; при проверке смотреть на наличие аргумента, а не только на итог. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на преобразование конечных и периодических десятичных дробей в обыкновенные и на классификацию чисел с бесконечной непериодической записью; составить таблицу «число — вид записи — множество». | Развивает применение определения и умение связывать разные формы записи числа. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое объяснение, почему бесконечная периодическая запись относится к рациональным числам, а бесконечная непериодическая — к иррациональным; привести три примера каждого вида. | Формирует навыки аргументации и работы с точными и приближёнными значениями. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить, что число рациональное?», «Почему $0{,}(7)$ рационально?», «Почему $0{,}1010010001...$ иррационально?», «Как отличить бесконечную периодическую запись от бесконечной непериодической?»
