Свойства квадратного уравнения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют свойства квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, научатся определять его коэффициенты, вычислять дискриминант и обосновывать число корней при решении не менее трёх из четырёх предложенных уравнений.
- Сформировать представление о стандартном виде квадратного уравнения и роли коэффициентов a, b, c.
- Научить применять формулу дискриминанта D = b² − 4ac для определения числа действительных корней.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её вычислением и объяснять полученный результат.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат совместной работы и готовность аргументированно отстаивать решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебраической модели для описания зависимостей в физике, геометрии и прикладных задачах.
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности между коэффициентами и количеством корней.
- Развивают уверенность в самостоятельном выборе способа проверки гипотезы.
- Осознают значимость точности вычислений и записи для получения достоверного результата.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют действия для её решения.
- Извлекают информацию из таблицы, математической записи и графической модели.
- Сравнивают результаты, выявляют закономерность и делают вывод на основе нескольких примеров.
- Аргументируют ответ в паре, используют математическую терминологию и осуществляют взаимопроверку.
- Применяют цифровой инструмент или калькулятор только для проверки вычислений, сохраняя ручную запись решения.
Предметные
- Знают стандартный вид квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 и условие a ≠ 0.
- Умеют выделять коэффициенты a, b и c, включая случаи нулевого коэффициента b или c.
- Знают формулу дискриминанта D = b² − 4ac и правило определения числа действительных корней по знаку D.
- Умеют вычислять дискриминант и выбирать формулу корней квадратного уравнения.
- Владеют способом проверки найденных корней подстановкой в исходное уравнение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый алгоритм с личной целью: научиться быстро оценивать, имеет ли уравнение действительные решения.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Формируют ответственное отношение к точности вычислений и оформлению математического рассуждения.
- Оценивают собственный прогресс по критериям, предложенным до выполнения самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: определить коэффициенты, вычислить D, установить число корней, при необходимости найти корни.
- Сверяют решение с эталоном и находят ошибку в знаке или подстановке коэффициентов.
- Корректируют решение после взаимопроверки и формулируют следующий шаг для устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки квадратного уравнения в разных формах записи.
- Классифицируют уравнения по знаку дискриминанта и числу действительных корней.
- Устанавливают причинно-следственную связь между значением D и выражением под корнем.
- Моделируют зависимость числа решений от параметров уравнения в таблице и на графике.
- Проверяют гипотезу на нескольких примерах, а не на одном частном случае.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы: «Почему коэффициент b равен нулю?» и «Что показывает знак D?».
- Объясняют ход решения, используя термины «коэффициент», «дискриминант», «корень».
- Согласуют общий вывод и корректно сообщают о найденной ошибке партнёру.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с тремя уравнениями: x² − 5x + 6 = 0, x² + 4x + 4 = 0, 2x² + x + 3 = 0.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на каждую парту, всего по числу парт, с уравнениями трёх уровней сложности.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на ученика, включая задания базового и повышенного уровня.
- Вывести на доску памятку: стандартный вид ax² + bx + c = 0; D = b² − 4ac; D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — действительных корней нет.
- Подготовить таблицу для открытия закономерности с графами «Уравнение», «a», «b», «c», «D», «Число корней».
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить маркеры трёх цветов, стикеры зелёного, жёлтого и красного цветов, линейки и черновики.
- Проверить проектор или интерактивную доску; при возможности подготовить графики трёх парабол для межпредметной связи с физикой и геометрией.
- Разместить на доске эпиграф: «Знак дискриминанта сообщает о пересечении параболы с осью x».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к установлению связи между видом уравнения и количеством его решений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для записи должны лежать перед вами. Сегодня вы будете не только решать уравнения, но и сами обнаружите свойство, которое позволяет заранее предсказать число корней." | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране три графика парабол, пересекающих ось x в двух, одной и ни одной точке: "Посмотрите на рисунок. Чем отличаются эти графики? Как, по-вашему, график связан с решением уравнения? Предложите гипотезу, не опасаясь ошибки." | Рассматривают графики, обсуждают в парах 30 секунд, формулируют гипотезы: "Число точек пересечения связано с числом корней"; "Уравнение может иметь два, один или ни одного действительного корня". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что алгебраическое уравнение можно рассматривать и как задачу о пересечении графика с осью. Теперь проверим, можно ли определить число решений вычислением, не строя каждый раз график."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия квадратного уравнения, коэффициентов и корня, необходимые для открытия нового свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: 3x² − 7x + 2 = 0, −x² + 5 = 0, 4x − 1 = 0. "Определите, какие из записей являются квадратными уравнениями. Назовите признак. Для выбранного уравнения укажите a, b и c." | Поднимают сигнальные карточки, выбирают первое и второе уравнения, объясняют: "Квадратное уравнение содержит x², причём коэффициент при x² не равен нулю". Для 3x² − 7x + 2 = 0 называют a = 3, b = −7, c = 2; для −x² + 5 = 0 называют a = −1, b = 0, c = 5. |
3 мин | Учитель предлагает устно восстановить понятия: "Что называется корнем уравнения? Как проверить найденное значение? Почему запись −x² + 5 = 0 можно дополнить отсутствующим членом?" Учитель фиксирует ответы в кластере «Квадратное уравнение». | Отвечают: "Корень — значение переменной, превращающее равенство в верное"; "Нужно выполнить подстановку"; "Коэффициент b равен нулю, поэтому член bx не записан". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как распознавать квадратное уравнение и выделять его коэффициенты. Но пока не умеем быстро определить, сколько корней получится. Это и будет нашим сегодняшним затруднением."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемную ситуацию: "Рассмотрим уравнения x² − 5x + 6 = 0, x² + 4x + 4 = 0 и 2x² + x + 3 = 0. Можно ли без полного решения определить, два корня, один корень или действительных корней нет? Какой информации нам не хватает?" | В парах сравнивают уравнения и предполагают: "Одних коэффициентов недостаточно, нужно найти специальное выражение"; "Надо исследовать, что происходит под знаком корня". |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель одним предложением, затем обсудите её с соседом, а после мы выберем точную формулировку класса." Учитель собирает варианты и записывает общий план: определить коэффициенты — вычислить новое выражение — связать его знак с числом корней. | Формулируют цель: "Узнать, как по коэффициентам определить число корней квадратного уравнения". Записывают план исследования и задают уточняющие вопросы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, план действий составлен. Сейчас вы не получите готовое правило сразу: сначала проверите закономерность на конкретных уравнениях и сами назовёте новое свойство."
Этап 4. Открытие нового знания в исследовании (10 мин)
Цель этапа: через исследование вывести формулу дискриминанта и установить зависимость числа корней от его знака.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре таблицу и говорит: "Заполните первые пять столбцов для трёх уравнений: x² − 5x + 6 = 0, x² + 4x + 4 = 0, 2x² + x + 3 = 0. Вспомните формулу корней квадратного уравнения и обратите внимание на выражение под корнем. Один ученик вычисляет, второй проверяет знаки и коэффициенты; через две минуты поменяйтесь ролями." | Заполняют a, b, c; вычисляют D: для первого D = 25 − 24 = 1; для второго D = 16 − 16 = 0; для третьего D = 1 − 24 = −23. Сверяют значения в паре. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: "Что происходит при D > 0? Сколько значений имеет квадратный корень из D? Что меняется при D = 0? Почему при D < 0 нельзя получить действительный корень из D?" На доске записывает формулу D = b² − 4ac. | Формулируют вывод: "При D > 0 выражение под корнем положительно, поэтому получаются два корня"; "При D = 0 корни совпадают, получается один корень"; "При D < 0 действительных корней нет". |
3 мин | Учитель показывает графики и связывает алгебру с геометрией и физикой: "Точка пересечения графика y = ax² + bx + c с осью x соответствует корню уравнения. В задачах о движении высота тела может быть задана квадратной функцией: корни показывают моменты встречи с землёй. Поэтому знак дискриминанта сообщает, пересечёт ли модель нулевой уровень." | Соотносят три значения D с графиками: два пересечения, касание и отсутствие пересечений. Записывают межпредметный вывод: "Корни квадратного уравнения могут описывать моменты или положения, когда величина становится равной нулю". |
Запись в тетрадях
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Дискриминант: D = b² − 4ac. Если D > 0, уравнение имеет два действительных корня; если D = 0 — один действительный корень; если D < 0 — действительных корней нет. При D ≥ 0 корни находят по формуле x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили, что дискриминант — это не просто формула для вычислений, а показатель числа точек пересечения параболы с осью x. Теперь проверим новое правило на примерах и научимся проговаривать каждый шаг алгоритма."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм определения числа корней и вычисления корней с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает разобрать уравнение 2x² − 3x − 2 = 0: "Работаем по алгоритму вслух. Сначала назовите коэффициенты. Затем вычислите дискриминант, определите число корней и только после этого найдите корни. Не пропускайте запись формулы." | Один ученик у доски записывает: a = 2, b = −3, c = −2; D = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 25; x₁ = 2, x₂ = −0,5. Класс проверяет вычисления и отвечает: "Два действительных корня". |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточки с уравнениями x² − 6x + 9 = 0 и 3x² + 2x + 5 = 0: "Решите по одному уравнению в паре, а затем объясните партнёру, почему число корней именно такое. Проверяющий отмечает пропущенные шаги." | Решают: D = 0 и x = 3 в первом случае; D = −56, действительных корней нет, во втором. Проговаривают: "При D = 0 два корня совпадают, поэтому корень один". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Поставьте две звезды за верные коэффициенты и дискриминант, а пожелание — за шаг, который нужно уточнить. Ошибку не зачеркивайте молча: обведите её и объясните исправление." | Проверяют карточку партнёра, записывают две сильные стороны и один конкретный совет, исправляют ошибки. |
Эталон решения
Для 2x² − 3x − 2 = 0: 1) a = 2, b = −3, c = −2. 2) D = b² − 4ac = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25. 3) D > 0, значит, два действительных корня. 4) x₁ = (3 + √25)/4 = 2; x₂ = (3 − √25)/4 = −1/2. 5) Проверка: 2 · 2² − 3 · 2 − 2 = 0; 2 · (−1/2)² − 3 · (−1/2) − 2 = 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает на конкретных примерах: коэффициенты — дискриминант — число корней — формула корней — проверка. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно, чтобы понять, какой шаг освоен лично, а где ещё нужна помощь."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и предоставить возможность выбора уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии: "Выберите базовый или повышенный вариант. Базовый обязателен для всех, повышенный можно выбрать, если базовый выполнен уверенно. В каждом решении должны быть видны коэффициенты, формула D, вывод о числе корней и проверка там, где корни найдены." | Выбирают вариант, подписывают лист и читают критерии до начала работы. |
6 мин | Учитель раздаёт листы. Базовый вариант: определить число корней у x² − 8x + 12 = 0 и 4x² + 4x + 1 = 0; решить уравнение x² + x − 6 = 0. Повышенный вариант: исследовать, при каких значениях параметра m уравнение x² − 2mx + 4 = 0 имеет два, один или ни одного действительного корня. Учитель не сообщает решение, а задаёт индивидуальные вопросы затрудняющимся: "Какие коэффициенты вы видите? Какой знак у D?" | Самостоятельно записывают решения. В базовом варианте получают D = 16 и корни 2 и 6; D = 0 и корень −1/2; для x² + x − 6 = 0 получают корни 2 и −3. В повышенном варианте используют D = 4m² − 16 = 4(m² − 4) и исследуют знак выражения. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон и организует самопроверку: "Сверьте не только ответ, но и каждый шаг. Если нашли расхождение, поставьте рядом знак вопроса, исправьте вычисление другим цветом и укажите причину ошибки: коэффициент, знак, арифметика или формула." | Сверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают результат по критериям и отмечают в листе самооценки: «могу определить коэффициенты», «могу вычислить D», «могу объяснить число корней». |
Эталон решения
Для x² − 8x + 12 = 0: D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 16 > 0; x₁ = (8 + 4)/2 = 6, x₂ = (8 − 4)/2 = 2. Для 4x² + 4x + 1 = 0: D = 4² − 4 · 4 · 1 = 0; x = −4/8 = −1/2. Для x² + x − 6 = 0: D = 1 + 24 = 25; x₁ = 2, x₂ = −3. В параметрическом задании D = 4(m² − 4): два корня при m < −2 или m > 2; один корень при m = −2 или m = 2; действительных корней нет при −2 < m < 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное затруднение обычно возникает не в самой формуле, а при подстановке отрицательного коэффициента или при сравнении D с нулём. На последнем этапе проверим, можете ли вы объяснить свойство своими словами и применить его к жизненной модели."
Этап 7. Рефлексия, межпредметная связь и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить открытое свойство, осмыслить его применение и определить индивидуальный следующий шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к графикам: "Представьте, что парабола описывает высоту мяча после броска, а ось x — уровень земли. Что означают корни? Что может означать отсутствие действительных корней?" Учитель связывает ответ с физикой и моделированием реальной ситуации. | Формулируют: "Корни показывают моменты, когда мяч достигает земли"; "Если корней нет, модель не пересекает уровень земли в рассматриваемой ситуации". Записывают один межпредметный вывод. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно пройти весь алгоритм; жёлтую — если нужен образец при вычислении D; красную — если пока не понимаете связь знака D и числа корней. На стикере допишите одно действие, которое поможет перейти на следующий цвет." | Поднимают карточки, на стикерах пишут: "потренирую подстановку отрицательных коэффициентов", "проверю формулу корней", "построю график и сравню с D". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень осознанно. Базовый вариант закрепляет обязательный алгоритм, средний требует объяснения, продвинутый предлагает исследование параметра. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что показывает D и почему при D < 0 нет действительных корней?" | Записывают выбранный уровень, отвечают на контрольные вопросы устно или в билете на выход: "D определяет число действительных корней"; "при D < 0 подкоренное выражение отрицательно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли свойство квадратного уравнения: знак дискриминанта позволяет определить число действительных корней. Мы связали формулу с графиком параболы и с моделью движения тела. На следующем уроке будем использовать это свойство для решения задач и исследования параметров."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены коэффициенты, без ошибок вычислены дискриминанты во всех заданиях выбранного варианта, правильно указано число корней, найденные корни проверены подстановкой; в повышенном варианте корректно исследован знак выражения с параметром.
- «4» — выполнены все обязательные задания, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в проверке, но алгоритм и вывод о числе корней сформулированы верно.
- «3» — правильно распознано квадратное уравнение и записана формула дискриминанта, но допущены две ошибки в вычислениях или неполно определено число корней; решение требует коррекции по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи дискриминанта и числа корней? | Проверка осознания основного свойства урока. |
На каком шаге алгоритма вы действовали уверенно, а на каком потребовалась подсказка? | Выявление точек затруднения: коэффициенты, знак, вычисление D или формула корней. |
Как график параболы помогает понять значение корней уравнения? | Проверка межпредметной связи алгебраической и геометрической моделей. |
Какое задание вы выбрали бы для дополнительной тренировки? Почему? | Формирование самооценки, учебной автономии и индивидуального плана работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что дискриминант позволяет определить число действительных корней квадратного уравнения ещё до их вычисления. Особенно внимательно следите за знаками при подстановке коэффициентов: ошибка в −b или в произведении 4ac меняет весь результат. Вы сами проверили свойство на примерах, графиках и модели движения. На следующем уроке мы продолжим исследование и будем применять этот алгоритм к более сложным задачам и уравнениям с параметрами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных уравнения с целыми коэффициентами: два с D > 0, одно с D = 0 и одно с D < 0. Для каждого записать a, b, c, D и число действительных корней; найденные корни проверить подстановкой. | Закрепляет алгоритм выделения коэффициентов, вычисления дискриминанта и проверки результата; при проверке обратить внимание на знаки и полный вывод. |
Средний (повышающий) | Решить 3 квадратных уравнения и составить к каждому краткое объяснение, как знак дискриминанта связан с числом пересечений графика параболы с осью x. | Развивает умение связывать алгебраическую и геометрическую модели; при проверке оценить обоснованность объяснения, а не только числовой ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать, при каких значениях параметра p уравнение x² − 2px + 9 = 0 имеет два, один или ни одного действительного корня. Оформить решение через исследование знака дискриминанта и изобразить схему случаев. | Формирует умение применять свойство к параметрической задаче и переходить от вычисления к доказательству; при проверке обратить внимание на границы промежутков и знак D. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Каков стандартный вид квадратного уравнения?», «По какой формуле вычисляется дискриминант?», «Сколько действительных корней возможно при D > 0, D = 0 и D < 0?», «Как проверить найденный корень?»
