Степень с отрицательным целым показателем
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать степень с отрицательным целым показателем, записывать её в виде обратной дроби и применять правило при вычислении значений выражений.
- Сформулировать и обосновать правило перехода от степени с отрицательным показателем к дроби с положительным показателем.
- Научиться вычислять значения выражений вида a⁻ⁿ при a ≠ 0 и n — натуральном числе, выполняя самопроверку.
- Развивать умение выявлять закономерность, объяснять ход рассуждений и аргументированно оценивать решения одноклассников.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной работе и готовность использовать математические модели в задачах, связанных с вычислениями и будущей профессиональной деятельностью.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к расширению ранее известного понятия степени.
- Осознают ценность точности записи и проверки результата при математических вычислениях.
- Принимают возможность выбора уровня задания и оценивают собственный прогресс без сравнения с одноклассниками.
- Понимают связь степеней с отрицательными показателями с научными и техническими расчётами.
Метапредметные
- Выделяют закономерность в последовательности степеней и формулируют гипотезу.
- Планируют решение, используют эталон для самопроверки и исправляют выявленные ошибки.
- Объясняют математическое рассуждение устно и письменно, участвуют в работе пары.
- Преобразуют выражение в другую форму записи и сравнивают её с исходной.
Предметные
- Знают, что a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0 и натуральном n.
- Умеют заменять степень с отрицательным показателем обратной дробью со степенью с положительным показателем.
- Умеют вычислять значения выражений вида 2⁻³, (-3)⁻², (1/2)⁻³.
- Владеют проверкой результата через последовательное деление на основание.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно работать с новой записью степени.
- Осознают смысл изучаемого правила через связь с уже известным свойством степеней.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня тренировочного задания.
- Корректно воспринимают ошибку как основание для уточнения способа действия.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного задания.
- Составляют последовательность действий для вычисления степени с отрицательным показателем.
- Сверяют решение с эталоном и фиксируют причину ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Анализируют ряд степеней и устанавливают закономерность изменения показателя.
- Строят математическую модель нового понятия через ранее известное правило.
- Сравнивают равные формы записи выражения.
- Применяют алгоритм в стандартной и усложнённой ситуации.
Коммуникативные УУД
- Формулируют гипотезу и обосновывают её в паре.
- Задают уточняющие вопросы о знаке и области допустимых значений.
- Сравнивают способы решения без перехода на оценку личности.
- Представляют общий вывод группы кратко и математически точно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с последовательностью 2³, 2², 2¹, 2⁰ и пропусками для 2⁻¹, 2⁻².
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу объяснить правило», «Я могу вычислить значение», «Я умею проверить знак».
- Распечатать карточки для работы в парах с равенствами 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 3⁻² = 1/9.
- Вывести на экран или записать на доске определение, правило и алгоритм вычисления.
- Подготовить цветные стикеры или карточки для приёма «Светофор» — по три цвета на ученика.
- Оборудование: доска, маркеры, проектор при наличии, таймер на 3 минуты.
- Заранее записать на доске домашнее задание в трёх уровнях без номеров упражнений и страниц.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать познавательную ситуацию, требующую нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня я предложу вам выбрать уровень самостоятельного задания: базовый, повышающий или дополнительный. Важно не угадать ответ, а уметь объяснить способ." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске цепочку: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1, 2⁻¹ = ?. "Посмотрите на последовательность. Каждый показатель уменьшается на единицу. Как изменяются значения? Какое значение логично поставить после единицы?" | Наблюдают закономерность, предполагают: "Следующее значение должно быть в два раза меньше, то есть 1/2". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что последовательность естественно продолжается дробными числами. Теперь выясним, почему отрицательный показатель приводит именно к обратной дроби и как это правило обосновать."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства степени с натуральным и нулевым показателем, необходимые для открытия нового правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните определение степени с натуральным показателем и правило умножения степеней с одинаковым основанием. Запишите по одному примеру. Через минуту сравните записи с соседом." | Индивидуально записывают 3² = 3·3 и 3²·3³ = 3⁵, затем обсуждают в парах и предлагают формулировки. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Чему равна любая ненулевая величина в нулевой степени? Почему 5⁰ = 1? Что получится, если разделить 2³ на 2⁴?" Учитель фиксирует корректные ответы и отмечает место затруднения. | Отвечают: "a⁰ = 1 при a ≠ 0"; преобразуют 2³/2⁴ и получают 1/2, объясняя сокращение степеней. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что при уменьшении показателя на единицу значение степени делится на основание. Осталось описать этот шаг, когда показатель становится отрицательным."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить записи: "Попробуйте вычислить 2⁻¹, используя только известное правило изменения значения степени. Что вызывает затруднение? Можно ли записать ответ без отрицательной степени?" | Фиксируют затруднение: "Мы не знаем, как понимать отрицательный показатель"; предлагают ответ 1/2 по закономерности. |
2 мин | Учитель направляет формулировку цели: "Сформулируйте, чему нам нужно научиться сегодня. Какие действия должны появиться в вашем алгоритме?" Учитель записывает общую цель на доске. | Формулируют цель: "Понять смысл отрицательного показателя, вывести правило и научиться вычислять такие степени". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нам нужно превратить новую запись в понятную дробь и доказать, что преобразование верно. Переходим к самостоятельному открытию правила."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать правило степени с отрицательным целым показателем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: 2³ : 2⁴ = 2³⁻⁴ = 2⁻¹. Затем показывает другой способ: 2³ : 2⁴ = 8/16 = 1/2. "Одно и то же выражение получило две записи. Как связаны 2⁻¹ и 1/2?" | Сравнивают записи, формулируют: "2⁻¹ = 1/2"; объясняют, что отрицательный показатель означает обратную степень. |
3 мин | Учитель обобщает: "Рассмотрим основание a, где a не равно нулю. Чтобы сохранить правило деления степеней, получаем a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Отрицательный показатель не означает отрицательное значение степени. Он показывает, что нужно взять обратную величину." | Записывают правило, задают вопросы о знаке результата и области допустимых значений основания. |
3 мин | Учитель предлагает проверить правило на примерах: "Вычислите в парах 3⁻² и (1/2)⁻³. Обсудите, где окажется основание — в числителе или знаменателе после преобразования." | Решают: 3⁻² = 1/9; (1/2)⁻³ = 1/(1/2)³ = 8. Объясняют переходы. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «При a ≠ 0 и натуральном n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Чтобы вычислить степень с отрицательным показателем, найти степень с противоположным положительным показателем и взять обратное число». Отдельно фиксируют: «a ≠ 0».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто и проверено на примерах. Теперь проговорим алгоритм вслух и убедимся, что каждый шаг выполняется без потери знака и основания."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм преобразования степени с отрицательным показателем с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует алгоритм: "Первый шаг — проверить, что основание не равно нулю. Второй — заменить отрицательный показатель положительным в знаменателе. Третий — вычислить степень. Решим вместе: 5⁻²." | У доски один ученик записывает 5⁻² = 1/5² = 1/25, класс проговаривает шаги и проверяет запись. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: «Вычислите 10⁻¹, (-2)⁻³, (−1/3)⁻² и объясните знак результата». "Сравните решения по критериям: правильно ли записано основание, показатель и знак результата." | В парах решают: 10⁻¹ = 1/10; (−2)⁻³ = −1/8; (−1/3)⁻² = 9. Обмениваются карточками и отмечают одну сильную сторону и одну неточность. |
Эталон решения
Для выражения \((-2)^{-3}\): \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\). Для \((-\frac{1}{3})^{-2}\): \((-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, но знак зависит от чётности положительного показателя и знака основания. Теперь каждый проверит себя индивидуально и выберет посильный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение правила и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень обязателен для всех; если выполните его уверенно, переходите дальше. Работайте самостоятельно, записи должны содержать преобразование, а не только ответ." | Выбирают уровень и записывают номер карточки в лист самооценки. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Базовый: вычислить 2⁻³, 4⁻¹, (−3)⁻². Повышающий: упростить 5⁻²·5³ и 2⁴/2⁶. Дополнительный: найти x, если x⁻² = 1/49 при x > 0. Учитель консультирует по запросу, не сообщает готовый ответ. | Индивидуально решают выбранные задания, применяют правило и записывают промежуточные преобразования. |
3 мин | Учитель открывает эталон: «Сверьте каждую строку. Если ответ отличается, обведите место ошибки и рядом запишите, что нужно изменить: знак, показатель или действие с дробью». Затем предлагает показать цветовую карточку «Светофор». | Проверяют: 2⁻³ = 1/8; 4⁻¹ = 1/4; (−3)⁻² = 1/9; 5⁻²·5³ = 5; 2⁴/2⁶ = 1/4; x = 7. Показывают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
Эталон решения
\(5^{-2}\cdot5^3=5^{-2+3}=5^1=5\). \(\frac{2^4}{2^6}=2^{4-6}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14\). При \(x>0\): \(x^{-2}=\frac1{x^2}=\frac1{49}\), поэтому \(x^2=49\), \(x=7\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило уже можно применять не только к одной степени, но и к произведениям и частным. В завершении сформулируем, что именно стало новым знанием и где оно может пригодиться."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить оставшиеся затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите три фразы: сегодня я узнал; теперь я умею; мне нужно ещё потренироваться в. Какое правило вы назовёте человеку, который впервые увидел отрицательный показатель?" | Заполняют лист самооценки, формулируют: "a⁻ⁿ — это единица, делённая на aⁿ"; называют личное затруднение. |
2 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте письменно: почему 0⁻² не имеет смысла?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Потому что деление на ноль невозможно". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правило записано корректно, преобразования последовательны, знаки и область допустимых значений указаны без ошибок.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, общий алгоритм применён правильно.
- «3» — верно выполнено не менее 50% заданий базового уровня, правило узнаётся, но в преобразованиях есть две и более ошибки.
- Ниже отметки «3» — работа требует доработки: ученик вместе с учителем повторяет правило и решает два аналогичных примера по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает отрицательный показатель в записи a⁻ⁿ? | Проверка осознания смысла нового понятия, а не механического запоминания формулы. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым важным или сложным? | Выявление точек затруднения в преобразовании выражения. |
Почему выражение 0⁻² не имеет значения? | Проверка понимания ограничения a ≠ 0 и связи с делением на ноль. |
Какой уровень задания вы выбрали и что помогло вам его выполнить? | Оценка самостоятельности, учебной мотивации и адекватности самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы расширили понятие степени и научились работать с отрицательным целым показателем. Главное правило звучит так: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0; отрицательный показатель не делает значение автоматически отрицательным. Особенно внимательно проверяйте знак при отрицательном основании и чётном или нечётном показателе. На следующем уроке мы применим это правило при преобразовании более сложных выражений и научимся использовать свойства степеней вместе."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5–6 выражений на вычисление степеней с отрицательными показателями, включая положительные, отрицательные и дробные основания; в каждом примере записать промежуточное преобразование. | Закрепляет правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ; при проверке смотреть на область допустимых значений, знак и последовательность записи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения на применение свойств степеней с одинаковыми основаниями, включая произведение и частное степеней с отрицательными показателями. | Формирует умение объединять новое правило с ранее изученными свойствами степеней; проверять показатели после сложения или вычитания. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2–3 задачи на нахождение неизвестного основания или показателя в равенствах вида x⁻² = 1/25 и составить один собственный пример с отрицательным показателем, указав область допустимых значений. | Развивает анализ и создание математической модели; при проверке смотреть на обоснование выбора корня и корректность ограничения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как преобразовать a⁻⁴?», «Может ли значение степени с отрицательным показателем быть отрицательным?», «При каком основании выражение a⁻ⁿ не определено?»
