Решение линейных неравенств с одной переменной
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать линейные неравенства с одной переменной, содержащие перенос слагаемых и умножение или деление на число, а также записывать ответ в виде числового промежутка, выполнив не менее 4 из 5 заданий самостоятельно.
- Сформировать понимание свойств неравенств при сложении, вычитании, умножении и делении обеих частей на одно и то же число.
- Научиться применять алгоритм решения линейного неравенства и объяснять, почему при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
- Развивать умение анализировать ход решения, находить ошибки и проверять принадлежность чисел полученному промежутку.
- Воспитывать ответственность за математическую запись, готовность аргументировать решение и уважительно обсуждать разные способы рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости результата от действий с обеими частями неравенства.
- Осознают ценность точной записи и проверки результата в математике и практических расчётах.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения и аргументированно отстаивают собственное решение.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм решения линейных неравенств.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно составляют план её решения.
- Извлекают информацию из записи неравенства, преобразуют её в последовательность действий и фиксируют результат на числовой прямой.
- Сравнивают решения, выявляют ошибочный шаг и обосновывают необходимость смены знака при делении на отрицательное число.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют собственные действия.
- Используют математическую речь для объяснения решения в паре и при обсуждении с классом.
Предметные
- Знать свойства числовых неравенств при сложении, вычитании, умножении и делении на положительное или отрицательное число.
- Уметь решать линейные неравенства вида ax+b>c, ax+b≤c и аналогичные им.
- Уметь записывать множество решений на числовой прямой и в виде числового промежутка.
- Уметь проверять найденное решение подстановкой пробного значения.
- Уметь находить и исправлять ошибку в решении линейного неравенства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание практической ценности неравенств для выбора допустимых значений и ограничений.
- Самоопределяются в выборе уровня задания и принимают ответственность за результат.
- Формируют установку на внимательность при преобразовании математических выражений.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: научиться решать линейные неравенства.
- Планируют последовательность преобразований и распределяют время при самостоятельной работе.
- Контролируют смену знака неравенства при делении или умножении на отрицательное число.
- Сверяют решение с эталоном, находят причину ошибки и вносят исправления.
- Оценивают выполнение задания по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют неизвестное и числовые слагаемые в линейном неравенстве.
- Устанавливают причинно-следственную связь между умножением на отрицательное число и изменением порядка чисел на числовой прямой.
- Моделируют множество решений с помощью числовой прямой и интервальной записи.
- Сравнивают алгоритмы решения уравнения и неравенства.
- Работают с математической информацией, представленной в символической и графической форме.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о непонятном шаге решения и дают точные ответы одноклассникам.
- Работают в парах по правилу «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Аргументируют необходимость изменения знака неравенства.
- Согласуют общий вариант алгоритма и корректно оценивают решение партнёра.
- Используют математические термины: «решение неравенства», «множество решений», «числовой промежуток».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя числовыми прямыми: для умножения неравенства на положительное и отрицательное число.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной карточке на пару, с заданиями на объяснение смены знака.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Распечатать мини-листы самооценки и билеты на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения открытой и закрытой точек на числовой прямой.
- Вывести на доску памятку: «Переносим слагаемые; приводим подобные; делим или умножаем на коэффициент; если число отрицательное — меняем знак; записываем ответ».
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа проблемного примера и эталона решения.
- Разложить на парты линейки или заготовки числовых прямых; подготовить таймер для самостоятельной работы.
- Заранее записать на отдельном листе ответы к карточкам для самопроверки и критерии оценивания практической работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня вы не просто получите готовое правило, а сами исследуете, какое преобразование сохраняет множество решений неравенства, а какое меняет его. В конце урока каждый выберет уровень задания для проверки себя." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему после её объявления, настраиваются на исследовательскую работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Для поездки на мероприятие ученик может потратить не более 1200 рублей. Билет стоит 700 рублей, а одна поездка на транспорте — 50 рублей. Как узнать, сколько поездок можно оплатить? Запишите неравенство, но пока не решайте его полностью." Учитель уточняет: "Какие значения переменной будут иметь смысл?" | Записывают неравенство 700+50x≤1200, предполагают: "x — число поездок, поэтому x≥0 и x — целое число", формулируют, что нужно найти допустимые значения x. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неравенство помогает описать ограничение в реальной ситуации. Сейчас вспомним свойства преобразований, чтобы понять, как перейти от сложной записи к ответу для переменной."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства числовых неравенств и способы решения линейных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. При неверном ответе обязательно исправьте формулировку. Первое утверждение: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак сохраняется. Второе: при умножении обеих частей на отрицательное число знак всегда сохраняется." | Поднимают карточки и объясняют: первое утверждение верно; второе неверно, знак меняется на противоположный. |
3 мин | Учитель записывает на доске уравнение 3x−5=10 и спрашивает: "Какие действия выполняем, чтобы найти x? Чем решение неравенства будет похоже на решение уравнения?" Затем предлагает быстро решить неравенство x+4>9. | Отвечают: "Переносим −5, получаем 3x=15, делим на 3"; решают x+4>9, получают x>5, отмечают на прямой открытую точку 5 и луч вправо. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что одинаковые действия над частями неравенства обычно сохраняют его истинность, но отрицательный множитель требует особого внимания. Теперь проверим, почему именно в этом случае знак меняется."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить затруднение и сформулировать учебную задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает два решения на экране: "Рассмотрите неравенство −2x>6. Ученик А разделил обе части на −2 и получил x>−3. Ученик Б получил x<−3. Кто прав? Не называйте ответ сразу: возьмите пробное число из каждого промежутка и проверьте исходное неравенство." | Индивидуально проверяют числа, например −4 и −2; обнаруживают, что при x=−4 верно −2·(−4)>6, а при x=−2 неверно, делают вывод: верно x<−3. |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд сформулируйте, какой вопрос возник. Обсудите его с соседом и предложите цель урока. Нам важно не только запомнить правило, но и понять его причину." | Формулируют вопрос: "Почему при делении на отрицательное число знак меняется?"; предлагают цель: "Научиться решать линейные неравенства и правильно менять знак при отрицательном коэффициенте". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: мы умеем выполнять действия, но должны обосновать изменение знака и включить это действие в общий алгоритм. Перейдём к исследованию."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило решения линейного неравенства и составить алгоритм действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске числовую прямую: "Возьмём верное неравенство 2<5. Умножим обе части на 2: получим 4<10 — порядок сохранился. Теперь умножим обе части на −2: получим −4 и −10. На числовой прямой −4 находится правее −10, поэтому верная запись — −4>−10. При умножении на отрицательное число числа меняются местами по отношению." | Наблюдают за моделью на числовой прямой, проговаривают: "При умножении на положительное число знак сохраняется, при умножении на отрицательное меняется"; записывают два примера. |
3 мин | Учитель решает вместе с классом пример: "Рассмотрим −3x+4≤10. Сначала перенесём 4: −3x≤6. Теперь делим обе части на −3. Поскольку делим на отрицательное число, меняем знак: x≥−2. Отметим на прямой закрытую точку −2 и луч вправо. Почему точка закрытая?" | По шагам записывают решение, отвечают: "−2 входит в решение, потому что знак нестрогий ≤ или ≥"; изображают точку −2 и луч вправо. |
3 мин | Учитель вместе с классом формулирует памятку: "Первый шаг — привести неравенство к виду ax>b или ax<b. Второй — выполнить перенос и привести подобные слагаемые. Третий — разделить на коэффициент при переменной. Четвёртый — при отрицательном коэффициенте поменять знак. Пятый — изобразить и записать множество решений." | Предлагают формулировки шагов, записывают алгоритм в тетрадь, задают уточняющие вопросы о строгих и нестрогих знаках. |
Запись в тетрадях
Записать: «При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный». Алгоритм: 1) раскрыть скобки и привести подобные слагаемые; 2) перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую; 3) разделить на коэффициент при переменной; 4) изменить знак, если коэффициент отрицательный; 5) записать ответ и отметить его на числовой прямой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили причину смены знака и получили алгоритм. Сейчас применим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг, чтобы способ стал устойчивым."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения с проговариванием основания каждого преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки для пар и говорит: "Выполните два задания, обязательно подписывая причину каждого перехода. Первое: 5x−7>18. Второе: 12−4x≥20. В первой задаче обратите внимание на знак коэффициента, во второй — на то, что после переноса переменная окажется с отрицательным коэффициентом. Сверяйте шаги, а не только конечный ответ." | В парах решают: 5x−7>18; 5x>25; x>5. Для второго задания получают −4x≥8; x≤−2. Один ученик объясняет шаг, второй фиксирует запись, затем меняются ролями. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверьте по трём критериям: правильно ли перенесены слагаемые, изменён ли знак при делении на отрицательное число, верно ли изображён промежуток. Поставьте две звезды за верные шаги и одно пожелание, если нашли неточность." | Проверяют решения по критериям, отмечают сильные стороны и формулируют замечание, например: "В ответе x≤−2 знак изменён верно, но нужно закрыть точку −2". |
Эталон решения
1) \(5x-7>18\); \(5x>25\); \(x>5\). Ответ: \(x\in(5;+\infty)\). 2) \(12-4x\ge20\); \(-4x\ge8\); при делении на \(-4\) знак меняется: \(x\le-2\). Ответ: \(x\in(-\infty;-2]\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что ошибка чаще всего возникает не при переносе, а при делении на отрицательный коэффициент и изображении границы промежутка. Теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение выбирать способ самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового, среднего или повышенного уровня. Базовый уровень содержит два прямых неравенства, средний — неравенства со скобками, повышенный — задачу с практическим условием. Выберите уровень, на котором сможете показать точное решение, а не просто быстрый ответ." | Выбирают карточку и записывают на полях выбранный уровень. |
5 мин | Учитель напоминает: "Работаем индивидуально. Записывайте все преобразования, не пропускайте строку, в которой меняется знак. После выполнения возьмите лист самопроверки и сравните только с эталоном, не переписывая решение без анализа." На доске появляется эталон: 1) 2x+9<17; 2) 7−3x≥16; 3) 2(x−3)−x≤5. | Решают выбранные задания. Возможные ответы: 1) x<4; 2) x≤−3; 3) x≤11. Отмечают, на каком шаге возникло затруднение. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку: "Поставьте плюс рядом с каждым выполненным пунктом: преобразовал выражение, правильно перенёс, учёл знак коэффициента, изобразил ответ, выполнил проверку. Если обнаружили ошибку, зачеркните только ошибочный переход и исправьте его." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибку, заполняют лист самооценки и формулируют: "Мне уверенно удаётся...; мне нужно потренировать...". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось связать его с практической ситуацией и проверить смысл полученного промежутка."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: применить новый способ в контексте, обобщить знания и оценить достижение цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к задаче: "Для поездки есть 1200 рублей. Билет стоит 700 рублей, одна поездка — 50 рублей. Составьте и решите неравенство 700+50x≤1200. Не забудьте проверить, какие значения x имеют смысл в реальной ситуации." | Решают: 700+50x≤1200; 50x≤500; x≤10. Записывают с учётом смысла: x — целое неотрицательное число, поэтому можно оплатить не более 10 поездок. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для анализа: "Ученик получил из неравенства −5x<20 ответ x<−4. Найдите ошибку и объясните её одной фразой. Какой пробный пример подтверждает ваш вывод?" | Исправляют: x>−4, потому что при делении на −5 знак меняется; проверяют, например, x=0: −5·0<20 верно, а 0>−4. |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: "На маленьком листке ответьте на три вопроса: какое правило сегодня стало понятнее; какой шаг алгоритма требует наибольшего внимания; решите неравенство −2x+6>10. Подпишите лист и передайте его при выходе." | Письменно отвечают: например, «при делении на отрицательное число знак меняется»; решают −2x>4, x<−2; сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами вывели правило, применили алгоритм к учебным и практическим заданиям и проверили свои решения. По билетам на выходу я определю, какой шаг нужно дополнительно разобрать на следующем уроке."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все 3 задания выбранной карточки, каждый переход обоснован, знак изменён при делении на отрицательное число, числовая прямая и интервальная запись выполнены без ошибок.
- «4» — верно решены 2 задания из 3 либо допущена одна неточность в изображении промежутка при правильном ходе решения.
- «3» — верно выполнено не менее 1 задания, общий алгоритм понятен, но допущены ошибки при переносе слагаемых, смене знака или записи ответа.
- Оценка может быть повышена на один балл, если ученик самостоятельно исправил ошибку по эталону и письменно объяснил причину исправления.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие с неравенством требует обязательной смены знака? | Проверка осознания ключевого свойства при умножении или делении на отрицательное число. |
Как вы определяете, какую точку отметить на числовой прямой — открытую или закрытую? | Выявление понимания связи строгого и нестрогого знака с принадлежностью граничного значения. |
На каком шаге решения сегодня возникло затруднение? | Диагностика точек затруднения в алгоритме для последующей коррекции. |
Какой уровень самостоятельной карточки вы выбрали и почему? | Осознание собственной готовности и развитие регулятивной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать линейные неравенства и увидели, что самое важное правило связано со знаком коэффициента при переменной. Если делим или умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется, потому что меняется порядок чисел на числовой прямой. Не забывайте проверять не только преобразования, но и вид точки на границе промежутка. На следующем уроке мы продолжим решать неравенства, содержащие скобки и несколько преобразований, и будем сравнивать разные способы записи ответа."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства вида ax+b>c или ax+b≤c, включая не менее двух примеров с отрицательным коэффициентом при переменной; для каждого изобразить решение на числовой прямой. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на перенос слагаемых, смену знака и открытые или закрытые точки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 неравенства со скобками и приведением подобных слагаемых, например вида a(x−b)+cx≤d; выполнить проверку одного решения подстановкой пробного значения. | Развивает применение алгоритма в более сложной записи; при проверке смотреть на раскрытие скобок и сохранение знака при преобразованиях. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 практические задачи, в которых неизвестное ограничено сверху или снизу: о расходах, времени, количестве поездок или допустимой нагрузке. Записать обозначение переменной, неравенство, решение и ответ с учётом смысла. | Формирует функциональную грамотность и умение переводить жизненную ситуацию на математический язык; при проверке оценивать корректность модели и ограничений на переменную. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что происходит со знаком неравенства при делении на отрицательное число? Чем отличается изображение строгого и нестрогого неравенства на числовой прямой? Какие пять шагов входят в алгоритм решения линейного неравенства?»
