Преобразования числовых корней
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся научатся преобразовывать числовые корни, вынося множитель из-под знака корня и внося множитель под знак корня, а также применять эти приёмы при сравнении и упрощении выражений; правильность выполнения проверяется по самостоятельной работе из трёх заданий.
- Сформировать представление о разложении подкоренного выражения на квадратный множитель и множитель, который нельзя извлечь из-под корня.
- Научить применять свойства квадратного корня при преобразовании выражений вида $\sqrt{a^2b}$ и $a\sqrt{b}$ при неотрицательных значениях величин.
- Развивать умение анализировать способ решения, находить ошибки и обосновывать выбор преобразования.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственность за результат совместной работы и готовность проверять математическое рассуждение.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет познавательный интерес к способам преобразования выражений и понимает практическую ценность краткой и удобной математической записи.
- Ученик принимает необходимость проверки результата и осознаёт личную ответственность за точность вычислений.
- Ученик уважительно относится к различным стратегиям решения и аргументированно оценивает их эффективность.
- Ученик получает опыт выбора уровня задания в соответствии со своими возможностями и учебной целью.
Метапредметные
- Ученик выделяет существенные признаки числового корня и преобразует информацию из примера в общее правило.
- Ученик планирует последовательность действий: разложить подкоренное число, выделить квадратный множитель, применить свойство корня, выполнить проверку.
- Ученик работает с математическим текстом, таблицей примеров и условными обозначениями, фиксируя промежуточные выводы.
- Ученик сотрудничает в паре, формулирует вопрос, приводит аргумент и корректно принимает обратную связь.
- Ученик осуществляет самоконтроль по эталону и исправляет найденные ошибки.
Предметные
- Знать свойства квадратного корня $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ при $a\geq0$, $b\geq0$ и $\sqrt{a^2}=|a|$.
- Уметь представлять подкоренное число в виде произведения квадратного множителя и оставшегося множителя.
- Уметь выносить множитель из-под знака корня и вносить положительный множитель под знак корня.
- Уметь упрощать числовые выражения с корнями и сравнивать преобразованные результаты.
- Уметь объяснять каждый шаг преобразования и проверять равенство вычислением приближённых значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать смысл изучаемого приёма как способа сделать выражение более удобным для вычислений.
- Формировать внутреннюю позицию ученика, готового самостоятельно выбрать способ преобразования.
- Оценивать собственное продвижение по критериям точности, обоснованности и самостоятельности.
- Проявлять уважение к мнению одноклассника при обсуждении разных решений.
Регулятивные УУД
- Совместно формулировать цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планировать действия при преобразовании числового корня.
- Сверять решение с эталоном и находить место ошибки.
- Оценивать результат по заданным критериям и выбирать дальнейший уровень практики.
- Вносить коррективы в запись и повторно проверять преобразованное выражение.
Познавательные УУД
- Выделять полный квадрат в разложении подкоренного числа.
- Сравнивать пары равных выражений и устанавливать закономерность.
- Строить математическую модель преобразования $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$ при $a>0$.
- Классифицировать числовые корни по возможности извлечения множителя.
- Использовать вычисление и оценку величины как средство проверки тождества.
Коммуникативные УУД
- Формулировать объяснение решения полным предложением.
- Задавать уточняющие вопросы о выборе квадратного множителя.
- Распределять роли в паре: решающий и проверяющий.
- Аргументированно соглашаться или не соглашаться с предложенным преобразованием.
- Представлять общий вывод группы классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами равных выражений: $\sqrt{12}=2\sqrt3$, $\sqrt{18}=3\sqrt2$, $\sqrt{50}=5\sqrt2$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего 15 карточек, с заданиями трёх уровней.
- Распечатать лист самостоятельной работы на каждого ученика — три задания с местом для пошагового решения.
- Подготовить отдельный лист с эталоном решения для самопроверки, по одному на ученика или один увеличенный вариант на экран.
- Приготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одной тройке на ученика.
- Вывесить на доске памятку: «1. Разложи число на множители. 2. Выдели полный квадрат. 3. Примени свойство корня. 4. Проверь».
- Подготовить маркеры, стикеры и таймер на 3 минуты для парной работы.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску; при их отсутствии подготовить записи на доске заранее.
- Подготовить карточку с ошибочным решением $\sqrt{72}=6\sqrt2$ для проблемного обсуждения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску более удобной формы числового корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня я предлагаю вам не просто повторить правило, а самостоятельно открыть способ, который помогает быстро упрощать громоздкие корни. В конце урока каждый выберет уровень задания, на котором сможет показать результат." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу и выбирают место в тетради для темы. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $\sqrt{12}$ и $2\sqrt3$: "Посмотрите на эти две записи. Как вы думаете, могут ли они обозначать одно и то же число? Не спешите соглашаться или возражать: сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | 30 секунд рассматривают выражения индивидуально, около минуты обсуждают в парах, затем формулируют предположения: "Да, возможно, потому что $12=4\cdot3$" или "Нужно доказать равенство вычислением". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же корень можно записать по-разному. Теперь выясним, какое преобразование делает это системно и почему оно верно."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства корня и навыки разложения чисел на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним опорные знания. Что называется квадратным корнем? При каких условиях существует выражение $\sqrt a$? Как связаны произведение корней и корень произведения? Запишите на доске только те свойства, в которых уверены." Учитель фиксирует ответы и корректирует формулировки. | Отвечают: "Квадратный корень из неотрицательного числа $a$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$"; называют условие $a\geq0$; записывают свойство $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$. |
3 мин | Учитель проводит короткую разминку: "Разложите числа 12, 18, 24, 50 и 72 на произведение квадратного множителя и другого множителя. Например, ищите среди делителей числа 4, 9, 16, 25, 36, 49. Поднимите зелёную карточку, если нашли разложение для всех чисел, жёлтую — если нужна проверка." | В тетрадях записывают: $12=4\cdot3$, $18=9\cdot2$, $24=4\cdot6$, $50=25\cdot2$, $72=36\cdot2$; показывают карточку самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства корня и умеем находить квадратные множители. Осталось понять, как соединить эти два умения в единый алгоритм преобразования."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2=6\sqrt2$, а рядом запись $\sqrt{72}=\sqrt{8\cdot9}=3\sqrt8$. "Обе записи получены по свойству произведения. Какая из них удобнее? Можно ли считать вторую запись завершённым преобразованием? Найдите критерий хорошего результата." | Сравнивают решения в парах и объясняют: "$6\sqrt2$ удобнее, потому что под корнем не осталось квадратного множителя"; замечают, что $\sqrt8$ можно преобразовать дальше. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какую учебную цель поставим? Начните формулировку со слов «научиться...» и обязательно назовите действие и объект." Учитель записывает принятую формулировку на доске. | Формулируют цель: "Научиться преобразовывать числовые корни, выделяя полный квадрат и вынося множитель из-под знака корня"; предлагают добавить обратное действие — внесение множителя под знак корня. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нужно не просто получить равное выражение, а выполнить преобразование до удобного и проверяемого вида. Сейчас вы сами выведете правило на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм вынесения множителя из-под знака корня и обратного внесения множителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3$. "Прочитайте преобразование по шагам. Что произошло с числом 4? Почему появился множитель 2? Теперь рассмотрим $\sqrt{50}$ и $\sqrt{72}$. Работайте в парах, один ученик выполняет преобразование, второй проговаривает основание каждого шага." | Преобразуют: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$; $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$. Проговаривают: "Выделили полный квадрат, применили свойство корня и извлекли квадратный корень из него". |
3 мин | Учитель предлагает сравнить результаты: "Заполните пропуск в общем виде: $\sqrt{a^2b}=...$ при $a>0$, $b\geq0$. Объясните, почему перед корнем появляется именно $a$." Учитель подводит к записи правила. | Записывают и объясняют: $\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt b=a\sqrt b$ при $a>0$. Отмечают, что при произвольном $a$ корректная запись содержит $|a|$. |
3 мин | Учитель переходит к обратному преобразованию: "Как из $3\sqrt5$ получить один корень? Используйте обратный порядок действий и объясните, почему множитель нужно возвести в квадрат." На доске фиксирует: $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ при $a\geq0$, $b\geq0$. | Выполняют: $3\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}$; объясняют: "Множитель 3 становится частью подкоренного выражения как $3^2=9$". |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают алгоритм: 1) разложить подкоренное число на множители; 2) выделить наибольший квадратный множитель; 3) применить свойство произведения корней; 4) извлечь корень из квадратного множителя; 5) проверить, что подкоренным осталось число без квадратного множителя. Основные формулы: $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$ при $a>0$, $b\geq0$; $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ при $a\geq0$, $b\geq0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два взаимно обратных действия: вынесение множителя из-под корня и внесение множителя под корень. Теперь проверим новый алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на числовых примерах с проговариванием последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Выполните преобразования $\sqrt{27}$, $\sqrt{48}$ и $4\sqrt7$. Работайте по ролям: решающий записывает шаги, проверяющий задаёт вопросы «Где квадратный множитель?» и «Можно ли продолжить преобразование?». Через две минуты поменяйтесь ролями." | Пары получают результаты: $\sqrt{27}=3\sqrt3$, $\sqrt{48}=4\sqrt3$, $4\sqrt7=\sqrt{112}$. Проговаривают выбор множителей $9$, $16$ и $4^2$. |
4 мин | Учитель организует проверку: "Сравним не только ответы, но и ход решения. Почему для 48 лучше взять 16, а не 4? Как определить, что преобразование закончено? Исправьте решение соседа, если под корнем остался квадратный множитель." | Обосновывают: "16 — наибольший квадратный делитель 48"; отмечают, что после преобразования под корнем не должно оставаться множителя, являющегося полным квадратом; ставят партнёру две звезды и пожелание. |
Эталон решения
$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=\sqrt9\cdot\sqrt3=3\sqrt3$. $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt3=4\sqrt3$. $4\sqrt7=\sqrt{4^2\cdot7}=\sqrt{16\cdot7}=\sqrt{112}$. В каждом случае проверяется отсутствие полного квадратного множителя под знаком корня.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы внимательно ищем квадратный множитель и не пропускаем промежуточные шаги. Теперь каждый проверит себя без поддержки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт самостоятельную работу: "Выполните три задания самостоятельно и обязательно записывайте преобразования по шагам. Задание 1: упростите $\sqrt{75}$. Задание 2: упростите $\sqrt{108}$. Задание 3: внесите множитель под знак корня в выражении $5\sqrt6$. Выберите спокойный темп, но оставьте время на проверку." | Индивидуально решают: $\sqrt{75}=5\sqrt3$, $\sqrt{108}=6\sqrt3$, $5\sqrt6=\sqrt{150}$. Записывают разложения и свойства, а не только ответы. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Сверьте каждую строку. Если ответ отличается, не стирайте сразу решение: подчеркните место, где возникло затруднение, и рядом запишите исправленный шаг. Покажите светофор: зелёный — всё выполнено, жёлтый — одна ошибка, красный — нужна помощь." | Проверяют решения по эталону, находят ошибки в разложении или извлечении корня, исправляют записи и показывают карточку самооценки. |
Эталон решения
$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3$. $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3$. $5\sqrt6=\sqrt{5^2\cdot6}=\sqrt{25\cdot6}=\sqrt{150}$. Типичная ошибка: записать $5\sqrt6=\sqrt{30}$, забыв возвести вынесенный множитель в квадрат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность связана не с самим корнем, а с выбором квадратного множителя и аккуратной записью. В завершение применим правило в задаче на сравнение и сформулируем личный вывод."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить новое знание в нестандартном сравнении и осознать результат собственной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель задаёт задачу: "Сравните выражения $\sqrt{45}$ и $3\sqrt5$ без калькулятора. Какой способ будет самым коротким? Можно ли преобразовать только одно из выражений?" Учитель предлагает обсудить решение в парах и выбрать один из двух вариантов записи объяснения: цепочка равенств или словесное обоснование. | Преобразуют $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5$ и делают вывод: выражения равны. Записывают объяснение выбранным способом, отвечают: "Достаточно преобразовать корень $\sqrt{45}$". |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту продолжите две фразы: «Сегодня я научился...» и «Мне ещё нужно потренироваться в...». Затем ответьте, какой шаг алгоритма нельзя пропускать." | Пишут личный вывод: "Я научился выделять квадратный множитель"; указывают затруднение, например поиск наибольшего квадратного делителя; называют обязательную проверку. |
2 мин | Учитель организует «Билет на выход»: "На отдельной стороне листа запишите преобразование $\sqrt{200}$ и одно предложение, объясняющее, почему результат равен исходному корню. Сдайте билет при выходе." | Решают: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2$; формулируют объяснение через свойство корня произведения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы самостоятельно открыли алгоритм преобразования числовых корней, проверили его на примерах и увидели, что равные выражения могут иметь разную форму. Дома вы закрепите базовый способ и при желании выберете задачу на объяснение ошибки."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, записаны разложения на множители и обоснованы преобразования; в билете на выход правильно получено $\sqrt{200}=10\sqrt2$.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, либо все ответы верны, но в одном решении пропущено промежуточное обоснование; билет на выход выполнен с несущественной неточностью в объяснении.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание и понятен общий способ выделения квадратного множителя, но допущены ошибки при извлечении корня или внесении множителя под знак корня.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о преобразовании числовых корней? | Выявление осознания нового правила и его назначения. |
Как вы находили квадратный множитель в подкоренном числе? | Проверка понимания ключевого шага алгоритма. |
На каком этапе решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Какое задание вы готовы выбрать для дальнейшей тренировки и почему? | Формирование самооценки и осознанного выбора уровня сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились преобразовывать числовые корни, выделяя из-под знака корня квадратный множитель и выполняя обратное внесение множителя. Запомните: вынесенный множитель при обратном преобразовании обязательно возводится в квадрат. Проверяйте, не остался ли под корнем полный квадрат, иначе преобразование не завершено. На следующем уроке мы применим этот приём при действиях с выражениями, содержащими корни."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 заданий на вынесение множителя из-под знака корня для чисел, содержащих квадратный множитель, и 2 задания на внесение положительного множителя под знак корня. В каждом решении записать разложение подкоренного числа. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор полного квадрата и отсутствие лишнего квадратного множителя под корнем. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на сравнение выражений с корнями и преобразование равных выражений, используя вынесение или внесение множителя. Одно решение оформить с подробным словесным объяснением. | Развивает применение правила и умение выбирать наиболее короткий способ; проверить равенства и обоснование каждого шага. |
Продвинутый (дополнительный) | Разобрать два ошибочных решения преобразований числовых корней, найти неверный шаг, исправить его и составить собственный пример, в котором множитель нужно вынести из-под корня. | Развивает анализ и оценку математического рассуждения; при проверке смотреть на точность объяснения причины ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой множитель называют квадратным?», «Почему при внесении числа $a$ под знак корня появляется $a^2$?», «Как понять, что преобразование корня можно завершить?»
