Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать линейные неравенства с одной переменной вида ax+b>c, ax+b≤c, записывать множество решений в виде промежутка и изображать его на координатной прямой, выполнив не менее 4 из 5 практических заданий без ошибок.
- Познакомить учащихся с понятием линейного неравенства и алгоритмом его решения, включая изменение знака неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
- Сформировать умение проверять принадлежность числа множеству решений и сопоставлять алгебраическую запись с изображением на координатной прямой.
- Развивать умение анализировать последовательность преобразований, находить ошибку и аргументированно объяснять выбор знака неравенства.
- Показать практическую ценность неравенств при описании ограничений в экономике, технике и повседневных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к использованию неравенств для описания реальных ограничений.
- Осознают значение аккуратности и самоконтроля при выполнении алгебраических преобразований.
- Принимают возможность выбора уровня практического задания и оценивают собственный результат.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при фронтальном обсуждении способов решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы и изображения координатной прямой.
- Сравнивают два решения, выявляют ошибочный переход и объясняют причину ошибки.
- Используют математическую речь для обоснования изменения знака неравенства.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют решение.
Предметные
- Знать определение линейного неравенства с одной переменной и понятие множества его решений.
- Уметь решать неравенства вида ax+b>c, ax+b≥c, ax+b<c, ax+b≤c.
- Уметь менять знак неравенства при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.
- Уметь записывать решение неравенства в виде числового промежутка и изображать его на координатной прямой.
- Уметь проверять, является ли данное число решением неравенства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и выбирают посильный уровень дополнительного задания.
- Связывают изучаемый материал с применением ограничений в бюджете, измерениях и технических расчётах.
- Формируют ответственное отношение к записи промежуточных преобразований.
- Осознают, что ошибка может быть использована как источник нового знания.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу: научиться находить и представлять множество решений.
- Планируют решение по алгоритму и контролируют каждый преобразовательный шаг.
- Сверяют полученный результат с подстановкой и графическим изображением.
- Обнаруживают ошибку в знаке неравенства и исправляют её.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки линейного неравенства.
- Моделируют множество решений с помощью координатной прямой.
- Устанавливают причинно-следственную связь между делением на отрицательное число и изменением знака.
- Сравнивают запись решения в виде неравенства, промежутка и рисунка.
- Применяют алгоритм к новым примерам и практическим ситуациям.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Участвуют во фронтальном обсуждении и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют согласие или несогласие с предложенным решением.
- Корректно комментируют ошибку и принимают обоснованные замечания.
- Согласуют общий вывод класса по результатам практической работы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемной ситуацией: «Для поездки нужно накопить не менее 3000 рублей; уже отложено 1200 рублей, еженедельное пополнение — x рублей, осталось 3 недели».
- Распечатать карточки для фронтальной работы: по одному комплекту на каждого ученика, в комплекте 5 неравенств и 2 задания на координатную прямую.
- Подготовить три карточки выбора уровня: базовый, повышающий и дополнительный; по одной карточке каждого типа на ученика или пару.
- Вывести на доску координатные прямые с пустыми точками в числах -2, 0, 3 и направлением луча, а также памятку «При умножении или делении на отрицательное число знак меняется».
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения открытой и закрашенной точек.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «решаю», «изображаю», «проверяю», «объясняю изменение знака».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску; при отсутствии оборудования использовать заранее подготовленные записи на доске.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии и небольшие листы для билета на выход.
- Заранее записать на доске тему урока, дату и обозначения строгих и нестрогих неравенств.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, ручки и внимание к каждому преобразованию. Посмотрите на доску: тема связана не с одним точным числом, а с целым набором возможных значений. Подумайте, где в жизни важно указать не точную величину, а ограничение — не меньше, не больше, больше или меньше." | Готовят тетради и ручки, называют ситуации: "бюджет", "скорость", "температура", "масса груза". |
2 мин | Учитель показывает задачу: "Для поездки нужно накопить не менее 3000 рублей. Уже отложено 1200 рублей, а за каждую из оставшихся трёх недель можно откладывать одинаковую сумму x. Как записать условие задачи?" Учитель фиксирует на доске: 1200+3x≥3000 и сообщает: "Сегодня мы научимся находить все подходящие значения x, а не угадывать одно число." | Записывают модель ситуации, предлагают: "1200+3x≥3000"; формулируют, что x должно быть неотрицательным и достаточно большим. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что жизненное ограничение записывается неравенством. Теперь проверим, какие преобразования мы уже умеем выполнять и где может возникнуть затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства равенств, действия с отрицательными числами и чтение координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует фронтальный устный счёт: "Решим короткую цепочку. Чему равно 3x, если 3x=12? Что произойдёт с неравенством 5x<20, если разделить обе части на 5? А если разделить -5x<20 на -5? Отвечайте не только результатом, но и объяснением." | Отвечают: "x=4"; "знак сохраняется, x<4"; "знак меняется, x>-4". |
2 мин | Учитель показывает координатные прямые: "Как обозначить множество x>2? Как обозначить x≤-1? Почему в одном случае точка пустая, а в другом закрашенная?" | Указывают направление луча вправо или влево, объясняют: "При строгом неравенстве граничное число не входит, поэтому точка пустая; при нестрогом входит, поэтому точка закрашенная". |
2 мин | Учитель предлагает восстановить порядок действий в примере 4x-7≤9: "Сначала прибавить 7 или разделить на 4? Как проверить ответ?" | Называют алгоритм: прибавляют 7, получают 4x≤16, делят на 4, получают x≤4, предлагают подстановку числа 4 и числа 5. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили обратные действия, работу с отрицательным числом и изображение промежутков. Осталось понять, как объединить эти знания в общий алгоритм решения линейного неравенства."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при делении на отрицательное число и совместно сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два решения: 2x+3>7 и -2x+3>7. "В первом случае вы без труда получите x>2. Во втором после вычитания 3 возникает -2x>4. Можно ли просто разделить на -2 и оставить знак >? Сравните с числовыми примерами: 6>2, но после умножения на -1 получаем -6<-2. Что изменилось?" | Сравнивают записи, замечают необходимость изменить знак, формулируют: "При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какую цель поставим на урок? Какие три формы записи результата должны уметь получать?" Учитель принимает формулировки и уточняет их. | Формулируют цель: "Научиться решать линейные неравенства"; называют формы: "неравенство, промежуток, изображение на координатной прямой". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с вычислениями, а с особым свойством отрицательного множителя. Сейчас мы выведем общий алгоритм и сразу применим его к нескольким примерам."
Этап 4. Открытие нового знания и работа по алгоритму (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения линейного неравенства и закрепить его на конкретных примерах во фронтальной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске пример: 3x-5≤10. "Решаем по шагам. Сначала освобождаем левую часть от -5: прибавляем 5 к обеим частям. Получаем 3x≤15. Теперь делим обе части на положительное число 3: x≤5. Граница 5 входит в решение, поэтому на прямой ставим закрашенную точку и направляем луч влево. Запишем ответ тремя способами: x≤5; (-∞;5]; изображение луча слева от 5." | Записывают решение в тетради, отвечают: "x≤5"; изображают закрашенную точку в 5 и луч влево; проговаривают три формы записи. |
3 мин | Учитель предлагает пример с отрицательным коэффициентом: "Решим -4x+8>20. Сначала вычтем 8: -4x>12. Теперь делим на -4. Какой знак получим? Почему?" После ответов учитель записывает: x<-3. | Решают вместе с учителем, отвечают: "Знак изменится на <, потому что делим на отрицательное число"; записывают x<-3, промежуток (-∞;-3), изображают пустую точку и луч влево. |
3 мин | Учитель формулирует памятку: "Переносим слагаемые и приводим подобные; делим коэффициент при x; если коэффициент отрицательный, меняем знак; записываем ответ и изображаем множество решений; выполняем проверку. Применим алгоритм к 5x+2≥17." | Решают у доски и в тетрадях: 5x≥15, x≥3; называют промежуток [3;+∞), ставят закрашенную точку в 3 и проводят луч вправо. |
Запись в тетрадях
Линейное неравенство с одной переменной — неравенство вида ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0 или ax+b≤0, где x — переменная, a и b — числа, a≠0. Алгоритм: выполнить равносильные преобразования; при делении или умножении на отрицательное число изменить знак; записать множество решений промежутком; изобразить его на координатной прямой; проверить граничное значение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили единый алгоритм и увидели, что главное место контроля — деление на отрицательное число и изображение границы. Теперь проверим, насколько уверенно алгоритм работает в коротких заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление: фронтальная практика (8 мин)
Цель этапа: отработать решение неравенств и перевод результата в запись промежутком и на координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с заданиями и говорит: "Работаем фронтально. Я читаю пример, вы решаете в тетради, затем один ученик комментирует каждый шаг. Задание 1: 7x-4<17. Задание 2: -3x+6≥15. Не пропускайте промежуточные преобразования." | Решают: 7x<21, x<3; -3x≥9, x≤-3. По вызову комментируют, где изменился знак. |
3 мин | Учитель предлагает: "Задание 3: 2(x-3)≤8. Раскройте скобки или разделите обе части на 2, затем представьте ответ графически. Задание 4: -5(x+1)>10. Найдите границу и определите направление луча." | Решают: 2x-6≤8, 2x≤14, x≤7; -5x-5>10, -5x>15, x<-3. Изображают закрашенную точку в 7 и пустую точку в -3. |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если уверенно меняете знак при делении на отрицательное число, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если пока не получается. Разберём типичную ошибку: ученик получил из -2x>6 результат x> -3. Верно ли это?" | Показывают цвет карточки, исправляют ошибку: "Должно быть x<-3, потому что знак меняется". |
Эталон решения
Для неравенства -5(x+1)>10: -5x-5>10; -5x>15; x<\frac{15}{-5}; x<-3. Так как деление выполнено на отрицательное число, знак > меняется на <. Множество решений: (-∞;-3). На координатной прямой — пустая точка -3 и луч влево.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В четырёх примерах мы применили один алгоритм к разным формам записи. Следующий шаг — самостоятельная проверка, чтобы каждый увидел собственный результат без подсказки класса."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и межпредметной связью (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и применить неравенство в практическом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель говорит: "Выберите карточку базового или повышающего уровня. Базовый уровень: решите 2x+9≤17 и -6x-3<15, запишите ответ промежутком и изобразите его. Повышающий уровень: решите 4(2x-1)>3x+9 и объясните каждый переход. Сначала работайте самостоятельно, затем сверяйтесь с эталоном на доске." | Индивидуально решают выбранные задания. Базовый результат: x≤4; x>-3. Повышающий результат: 8x-4>3x+9, 5x>13, x>13/5. Записывают промежутки и строят лучи. |
2 мин | Учитель открывает практическую ситуацию: "Инженер рассчитывает допустимую массу груза: масса контейнера 180 кг, каждый из четырёх одинаковых блоков добавляет x кг, общая масса должна быть не более 500 кг. Составьте и решите неравенство." | Составляют 180+4x≤500, получают 4x≤320, x≤80; объясняют, что масса одного блока не может быть отрицательной, поэтому в реальном контексте 0≤x≤80. |
2 мин | Учитель показывает эталон и предлагает самопроверку: "Поставьте плюс напротив верного шага, обведите место возможной ошибки. По одному примеру подставьте граничное число и число по другую сторону границы." | Сверяют решения, выполняют подстановку, исправляют ошибки в знаке, коэффициенте или открытой/закрашенной точке. |
Эталон решения
Для практической ситуации: 180+4x≤500; 4x≤320; x≤80. В реальной ситуации x≥0, поэтому 0≤x≤80. Проверка: при x=80 общая масса равна 180+4·80=500 кг, ограничение выполнено; при x=90 масса равна 540 кг, ограничение нарушено.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что неравенство описывает диапазон допустимых значений. Мы проверили не только вычисления, но и смысл ответа в реальной задаче. Завершим урок осмыслением того, что уже умеем и что требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает лист самооценки: "Отметьте, что вы сегодня можете выполнить без подсказки: решить неравенство; определить, меняется ли знак; записать промежуток; изобразить решение; проверить ответ подстановкой. Если какой-то пункт пока не получается, поставьте рядом знак вопроса." | Заполняют лист самооценки, отмечают освоенные действия и один пункт для повторения. |
1 мин | Учитель проводит приём "Билет на выход": "На маленьком листе ответьте на два вопроса: почему при делении на отрицательное число знак меняется; какое множество решений имеет неравенство -2x≥8?" | Пишут: "Знак меняется, потому что меняется порядок чисел на числовой прямой"; "x≤-4". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Обязательная часть нужна всем, повышающая и дополнительная — по выбору. Важно записывать преобразования полностью и изображать каждый ответ на координатной прямой. Перед уходом проверьте, что понимаете, где открытая, а где закрашенная точка." | Записывают уровни домашнего задания, задают уточняющие вопросы, формулируют личный шаг для повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились находить не одно значение переменной, а целое множество решений. Главный контрольный вопрос — меняли ли мы знак при делении на отрицательное число и правильно ли показали границу на координатной прямой."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все 4 основных неравенства, правильно записаны промежутки, выполнены изображения на координатной прямой, объяснено изменение знака и решена практическая задача.
- «4» — верно решены не менее 3 основных неравенств, допущена одна неточность в графическом изображении или записи промежутка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно решены не менее 2 основных неравенств, но имеются ошибки в изменении знака, выборе направления луча или записи граничной точки; ход решения частично понятен.
- Ниже отметки «3» — результат требует доработки: алгоритм не соблюдён, отсутствуют промежуточные преобразования или неверно определено множество решений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о решении линейного неравенства? | Выявление осознания ключевого правила и нового способа действия. |
В каком месте решения вы обязательно проверяете знак неравенства? | Диагностика понимания критического шага алгоритма. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Как вы объясните разницу между открытой и закрашенной точкой? | Проверка понимания связи между знаком неравенства и принадлежностью границы множеству решений. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать линейные неравенства и представлять множество решений сразу в трёх формах: неравенством, промежутком и рисунком на координатной прямой. Самая частая ошибка — забыть изменить знак при делении на отрицательное число или перепутать открытую и закрашенную точку. Вы уже применили новый алгоритм к математическим и практическим задачам. На следующем уроке мы продолжим решать неравенства и рассмотрим системы ограничений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства: два с положительным коэффициентом при переменной и два с отрицательным; для каждого записать ответ в виде промежутка и изобразить на координатной прямой. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на промежуточные преобразования, изменение знака и вид граничной точки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 неравенства со скобками и переменной в обеих частях, привести подобные слагаемые, выполнить проверку подстановкой одного подходящего и одного неподходящего числа. | Развивает применение алгоритма в усложнённой записи; проверить перенос слагаемых и соответствие результата исходному неравенству. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу на ограничение массы, стоимости, времени или скорости; записать математическую модель, решить неравенство, указать область допустимых значений и объяснить смысл ответа. | Формирует функциональную и математическую грамотность; при проверке оценить корректность модели, единицы измерения и интерпретацию решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Когда знак неравенства меняется?», «Что означает закрашенная точка на координатной прямой?», «Как проверить, принадлежит ли число множеству решений?», «Какой результат получится при решении -3x>12?»
