Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень и его свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут объяснить определение арифметического квадратного корня, определять область допустимых значений подкоренного выражения и применять свойства квадратного корня при вычислениях, выполнив самостоятельную работу из четырёх заданий с результатом не менее трёх верных ответов.
- Образовательная задача: различать квадратный корень и арифметический квадратный корень, формулировать условие существования арифметического квадратного корня.
- Образовательная задача: применять свойства квадратного корня произведения и частного при неотрицательных значениях выражений.
- Развивающая задача: анализировать решения, находить и объяснять ошибки в преобразованиях с корнями.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за самостоятельный результат, уважение к аргументированному мнению и готовность корректно обсуждать разные способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного вычисления и проверки ответа в учебных и практических ситуациях.
- Проявляют интерес к поиску закономерностей и самостоятельному открытию свойств корня.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ вычисления и называют следующий шаг для продвижения.
- Уважительно относятся к альтернативным решениям одноклассников и аргументируют несогласие математически.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему, выдвигают гипотезу о связи корня произведения с произведением корней и проверяют её на примерах.
- Извлекают информацию из математических записей, сопоставляют выражения и выделяют условия применимости свойства.
- Планируют решение вычислительного задания, контролируют промежуточные шаги и сверяют результат с эталоном.
- Аргументируют выбор способа решения в паре и ясно объясняют, почему подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Предметные
- Знают, что арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
- Умеют определять, существует ли арифметический квадратный корень из данного числа в множестве действительных чисел.
- Умеют применять свойства $[0m\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ при $a\geq0$, $b\geq0$ и $\sqrt{\frac a b}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ при $a\geq0$, $b>0$.
- Проверяют вычисления возведением найденного значения в квадрат и соблюдением условий свойства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную цель с личной потребностью научиться уверенно выполнять преобразования с корнями.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки вычислений.
- Формируют ответственное отношение к записи условий применимости математических правил.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения с одноклассниками и принимают конструктивную обратную связь.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и составляют последовательность действий для открытия свойств.
- Планируют вычисления, отмечая, где необходимо проверить знак подкоренного выражения и знаменателя.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и находят место допущенной ошибки.
- Корректируют способ решения после обсуждения контрпримера или обнаруженного ограничения.
Познавательные УУД
- Сравнивают квадраты чисел и устанавливают смысл арифметического квадратного корня.
- Выдвигают и проверяют гипотезу о вычислении корня из произведения и частного на числовых примерах.
- Моделируют связь между произведением подкоренных выражений и произведением их корней.
- Анализируют математические записи, различают верные преобразования и ошибочное применение свойства без проверки условий.
Коммуникативные УУД
- Слушают партнёра и задают уточняющие вопросы о ходе вычислений.
- Формулируют математическое утверждение и подтверждают его примером или контрпримером.
- Распределяют действия в паре: один предлагает преобразование, другой проверяет ограничения и вычисления.
- Представляют классу согласованный вывод, корректно реагируя на замечания и альтернативные способы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с квадратами чисел от 0 до 12 и карточками выражений: $\sqrt{25}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{-9}$, $\sqrt{36\cdot4}$, $\sqrt{49/7}$.
- Распечатать карточки для работы в парах — по одной на пару, всего по числу пар в классе; включить задания на проверку гипотез и поиск ошибки.
- Распечатать лист самостоятельной работы на каждого ученика: четыре задания, критерии проверки и место для самооценки.
- Подготовить отдельный лист-эталон для самостоятельной работы; показывать его только после сдачи или завершения выполнения.
- Подготовить на доске памятку с условиями свойств: $a\geq0$, $b\geq0$ для корня произведения; $a\geq0$, $b>0$ для корня частного.
- Разместить на экране практический контекст: площадь квадратной площадки равна $49\text{ м}^2$; требуется определить длину её стороны.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой обратной связи после открытия нового знания.
- Оборудование: доска, проектор или интерактивная панель, маркеры, таймер; калькуляторы не использовать, чтобы ученики проверяли вычисления через возведение в квадрат.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к вопросу о восстановлении стороны квадрата по его площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а выяснять, как математически восстановить неизвестную сторону квадрата по его площади. В конце урока вы сможете выбрать задание базового или повышенного уровня и проверить себя по понятным критериям." | Готовят тетради и письменные принадлежности, записывают дату; настраиваются на работу и выбирают удобное место для карточки самопроверки. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: «Площадь квадратной площадки равна $49\text{ м}^2$. Какова длина её стороны?» и говорит: "Представьте, что вы помогаете спроектировать площадку. Какое число, умноженное само на себя, даст 49? Можно ли получить только один ответ, если речь пока идёт о решении уравнения $x^2=49$?" | Самостоятельно думают 20 секунд, затем называют варианты: «7 и −7 дают квадрат 49»; уточняют, что длина стороны не может быть отрицательной, поэтому для площадки подходит 7 м. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже заметили важное различие между решениями уравнения и длиной реального отрезка. Вспомним, что мы знаем о квадратах чисел, и выясним, как записать подходящее значение коротко и точно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить таблицу квадратов чисел и выявить различие между квадратным уравнением и неотрицательной длиной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Посмотрите на доску: записаны числа 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 и 49. Устно назовите числа, квадраты которых дают эти значения. Если затрудняетесь, используйте соседнюю подсказку — квадраты чисел от 0 до 7. Почему для каждого положительного квадрата есть два числа с таким квадратом?" | Соотносят квадраты и числа: «0 — это квадрат 0, 1 — квадрат 1, 4 — квадрат 2, 9 — квадрат 3, 16 — квадрат 4, 25 — квадрат 5, 36 — квадрат 6, 49 — квадрат 7»; приводят пары противоположных чисел для положительных квадратов. |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд запишите ответ самостоятельно: чем отличаются ответы на вопросы ‘решить $x^2=25$’ и ‘найти длину стороны квадрата площадью $25$’? Затем минуту обсудите формулировку с соседом. После этого несколько пар представят вывод." Учитель фиксирует на доске слова «два корня уравнения» и «неотрицательное значение». | Записывают индивидуальный ответ, обсуждают его с соседом и формулируют классу: «Уравнение $x^2=25$ имеет корни 5 и −5, а длина стороны равна только 5». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что возведение в квадрат может скрыть знак исходного числа. Значит, для нового обозначения нам нужно точно договориться, какой именно корень мы выбираем и для каких чисел он существует."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить ограничения извлечения квадратного корня в действительных числах и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Сравните выражения $\sqrt{16}$, $\sqrt{0}$ и $\sqrt{-16}$. Какое число в квадрате даст 16? Какое число в квадрате даст 0? Найдётся ли действительное число, квадрат которого равен −16? Объясните не только ответ, но и причину." Учитель предлагает проверить последнее утверждение через знак квадрата любого действительного числа. | Отвечают: «Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому числа, квадрат которого равен −16, нет»; предполагают, что корень из нуля равен нулю. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы сократического диалога: "Если корень должен быть неотрицательным, какой ответ выберем для 16 — 4 или −4? Как назовём этот корень? Какое условие наложим на число под знаком корня? Чему нам ещё предстоит научиться, кроме вычисления корней квадратов известных чисел?" Затем фиксирует цель и план: определение, условия, открытие свойств, самостоятельная проверка. | Формулируют вывод: «Арифметический корень из 16 — 4; под корнем должно быть неотрицательное число». Предлагают цель урока: научиться понимать определение и применять свойства при вычислениях. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблему и цель мы сформулировали: нужно отличать арифметический корень от двух корней уравнения и научиться преобразовывать выражения без нарушения условий. Теперь проверим, можно ли извлекать корень из произведения и частного по отдельности."
Этап 4. Открытие нового знания. Свойства корня (12 мин)
Цель этапа: вывести определение арифметического квадратного корня и свойства корня произведения и частного, зафиксировав условия их применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Запишите в тетрадь определение: арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Обозначаем его $\sqrt a$. Посмотрите на примеры: $\sqrt{25}=5$, потому что $5^2=25$; $\sqrt0=0$. Почему нельзя записать $\sqrt{-9}$ как действительное число? Скажите определение своими словами, не заучивая его механически." | Записывают определение и примеры; объясняют: «Арифметический корень неотрицателен, а квадрат действительного числа не может быть отрицательным»; своими словами пересказывают смысл определения. |
5 мин | Учитель записывает пары выражений: $\sqrt{9\cdot4}$ и $\sqrt9\cdot\sqrt4$; $\sqrt{25\cdot16}$ и $\sqrt{25}\cdot\sqrt{16}$. "Вычислите каждую пару отдельно. Совпали ли результаты? Проверьте ещё один пример по карточке: $\sqrt{4\cdot9}$. Какую гипотезу можно предложить? А какие условия надо поставить на числа под корнем?" Учитель просит пару учеников объяснить вывод и записывает формулу. | В парах вычисляют: $\sqrt{36}=6$ и $3\cdot2=6$; $\sqrt{400}=20$ и $5\cdot4=20$. Формулируют гипотезу: «Корень из произведения равен произведению корней», указывают условия $a\geq0$ и $b\geq0$. |
3 мин | Учитель записывает $\sqrt{36/4}$ и $\sqrt{36}/\sqrt4$, затем спрашивает: "Сравните результаты. Что изменится, если знаменатель будет равен нулю? Можно ли делить на ноль? Запишем свойство частного только с тем условием, которое действительно необходимо." На доске появляются формулы свойств и ограничения. | Вычисляют оба выражения: $3$ и $6/2=3$; поясняют, что знаменатель не может быть нулём. Записывают условия $a\geq0$, $b>0$ для свойства корня частного. |
Запись в тетрадях
- Арифметическим квадратным корнем из числа $a\geq0$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
- При $a\geq0$ и $b\geq0$: $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$.
- При $a\geq0$ и $b>0$: $\sqrt{\frac a b}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.
- В действительных числах квадратный корень из отрицательного числа не определён.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два свойства и обязательно записали условия, без которых формулы применять нельзя. Теперь потренируемся проговаривать каждый шаг и будем проверять не только ответ, но и допустимость преобразования."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить новые свойства на вычислениях и связать арифметический корень с геометрическим смыслом площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем в парах. Решите два выражения, проговаривая условия: $\sqrt{9\cdot16}$ и $\sqrt{81/9}$. Сначала можно вычислить подкоренное выражение целиком, а затем применить свойство для проверки. Один участник объясняет решение, второй следит за тем, чтобы каждый корень извлекался из неотрицательного числа и знаменатель не был нулевым." Учитель приглашает одну пару показать решение на доске. | Решают: $\sqrt{9\cdot16}=\sqrt9\cdot\sqrt{16}=3\cdot4=12$; $\sqrt{81/9}=\sqrt{81}/\sqrt9=9/3=3$. Проверяют также непосредственным вычислением подкоренных выражений. |
3 мин | Учитель возвращает реальный контекст: "Площадь квадратной площадки равна $49\text{ м}^2$. Составьте способ найти её сторону и укажите, почему ответом не может быть −7 м. Где ещё специалисту может понадобиться переход от площади к длине стороны — например, в строительстве или проектировании?" | Записывают $s=\sqrt{49}=7\text{ м}$ и объясняют: «Сторона — длина, поэтому берём неотрицательное значение». Называют возможные области применения: расчёт плитки, планирование помещения, проектирование площадки. |
Эталон решения
Для площадки $S=49\text{ м}^2$. У квадрата $S=s^2$, значит $s^2=49$. Поскольку длина стороны неотрицательна, $s=\sqrt{49}=7\text{ м}$. Отрицательное значение не подходит геометрическому смыслу длины.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили свойства и увидели, что корень нужен не только для формальных упражнений: он помогает восстановить длину по площади. Перейдём к самостоятельной работе, чтобы каждый проверил, насколько уверенно умеет действовать без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа «Арифметический квадратный корень» (8 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить понимание определения, области существования корня и применения свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Я раздаю лист самостоятельной работы. На нём четыре задания; за каждое полностью верное решение начисляется один балл. Запишите ход вычислений, а в заданиях на свойства укажите проверку условий. Можно начать с любого номера. Работаем самостоятельно, калькулятор не используем." | Получают лист, читают задания и критерии, выбирают порядок выполнения, подписывают работу. |
6 мин | Учитель вывешивает условия: «1. Вычислите $\sqrt{64}$ и объясните выбор знака. 2. Определите, имеет ли смысл в действительных числах $\sqrt{-4}$. 3. Вычислите $\sqrt{25\cdot4}$, применив свойство произведения. 4. Вычислите $\sqrt{100/4}$, применив свойство частного». "Следите за точностью записи. Если сомневаетесь, вспомните определение и проверьте найденное значение возведением в квадрат. Я не подсказываю ответ, но помогу уточнить формулировку условия." | Индивидуально выполняют четыре задания; записывают пояснение к $\sqrt{64}$, отмечают отсутствие действительного значения у $\sqrt{-4}$, применяют свойства к произведению и частному. |
1 мин | Учитель собирает листы или предлагает отложить ручки и говорит: "Подчеркните то задание, в котором вы увереннее всего, и поставьте знак вопроса рядом с тем, которое хотите разобрать. Сейчас сверим решения с эталоном и отметим, что нужно поправить." | Подчёркивают наиболее уверенное решение, отмечают затруднение знаком вопроса, передают листы либо готовятся к самопроверке. |
Эталон решения
1. $\sqrt{64}=8$, так как $8\geq0$ и $8^2=64$. 2. $\sqrt{-4}$ не определён в множестве действительных чисел, так как квадрат действительного числа неотрицателен. 3. $\sqrt{25\cdot4}=\sqrt{25}\cdot\sqrt4=5\cdot2=10$; оба подкоренных множителя неотрицательны. 4. $\sqrt{100/4}=\sqrt{100}/\sqrt4=10/2=5$; знаменатель положителен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали уверенными, а где важно ещё раз проверить условие свойства. Сверим ответы и разберём не личные ошибки, а типичные места, где может сбиться любой решающий."
Этап 7. Самопроверка, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: дать ученикам возможность сопоставить работу с эталоном, оценить достижение цели и выбрать посильный уровень домашней практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает эталон на доске и говорит: "Сверьте каждое действие, а не только итоговое число. Если ответ отличается, найдите первый шаг, где разошлись решения: вычисление, знак корня или условие свойства. Исправление обозначьте другим цветом и поставьте себе от 0 до 4 баллов по критериям." | Сверяют четыре ответа с эталоном, отмечают ошибки другим цветом, подсчитывают баллы и записывают, какое правило нужно повторить. |
2 мин | Учитель предлагает «Светофор» и билет на выход: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно применить оба свойства; жёлтую — если нужна ещё одна тренировка; красную — если пока трудно объяснить условия. На маленьком листке ответьте: какое условие свойства корня частного нельзя забывать и почему?" | Показывают карточку самооценки и сдают билет на выход с ответом: «Знаменатель должен быть положительным, потому что делить на ноль нельзя, а подкоренные выражения должны быть допустимы». |
1 мин | Учитель показывает варианты домашней работы: "Обязательный уровень выполняют все; для дополнительной практики можно выбрать средний, а продвинутый — по желанию. Запишите выбранный вариант. Перед выходом ответьте соседу на контрольный вопрос: чем арифметический корень отличается от двух корней уравнения $x^2=a$ при $a>0$?" | Записывают домашнее задание выбранного уровня и устно формулируют: «Арифметический корень один и неотрицательный; уравнение при положительном $a$ имеет два корня, противоположных по знаку». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы определили смысл арифметического квадратного корня, вывели свойства и проверили себя в самостоятельной работе. Сохраните билет на выход как подсказку о том, что повторить. На следующем уроке продолжим преобразования выражений с квадратными корнями."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все четыре задания самостоятельной работы, правильно объяснён выбор неотрицательного корня, условия свойств указаны и вычисления записаны последовательно.
- "4" — верно выполнены три задания из четырёх; допущена несущественная вычислительная или оформительская ошибка, не искажающая понимание определения и свойств.
- "3" — верно выполнены два задания из четырёх; ученик узнаёт смысл арифметического корня, но нуждается в дополнительной тренировке применения свойств или записи их условий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем арифметический квадратный корень отличается от корней уравнения $x^2=25$? | Проверка понимания определения и различения понятий. |
Какое условие свойства корня произведения или частного вы проверяли особенно внимательно? | Выявление осознанности при применении формул и возможных затруднений. |
Какое задание самостоятельной работы оказалось для вас самым трудным и на каком шаге возник вопрос? | Диагностика конкретного места затруднения для последующей коррекции. |
Какой способ помог вам проверить ответ: определение, возведение в квадрат или применение свойства? | Осознание используемых стратегий самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен и существует в действительных числах только для неотрицательного подкоренного числа. Вы открыли свойства корня произведения и частного и проверили, что в математике важны не только формулы, но и условия их применения. Типичная ошибка — забыть проверить подкоренное выражение или знаменатель перед преобразованием. Если самостоятельная работа показала, что правило пока не стало уверенным, вернитесь к определению и проверьте вычисления возведением результата в квадрат. На следующем уроке продолжим работу с выражениями, содержащими квадратные корни."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 коротких упражнений: вычислить арифметические корни из точных квадратов, определить, существует ли корень в действительных числах для заданных целых подкоренных чисел, и решить по одному примеру на корень из произведения и частного. | Закрепляет определение и базовое применение свойств; при проверке обратить внимание на неотрицательность корня и запись условий. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на упрощение выражений вида $\sqrt{ab}$ и $\sqrt{a/b}$ с неотрицательными числами, самостоятельно выбирая порядок вычислений; к двум заданиям добавить краткое объяснение применённого свойства. | Развивает выбор рационального способа вычисления и умение аргументировать преобразование; проверить корректность условий и вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу, где по площади квадрата требуется найти длину его стороны, а также придумать один неверный пример применения свойства корня и объяснить, почему он неверен. | Формирует перенос знания в жизненный контекст, анализ ошибки и создание собственного математического примера; проверить смысл ответа и точность обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое число называют арифметическим квадратным корнем из $a$? При каком условии существует $\sqrt a$ в действительных числах? Какие условия нужны для применения свойств корня произведения и частного?
