Формула корней квадратного уравнения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выводить и применять формулу корней квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$, находить дискриминант и проверять полученные корни подстановкой.
- Сформировать представление о дискриминанте как величине, определяющей число корней квадратного уравнения.
- Научить решать квадратные уравнения по алгоритму: привести к стандартному виду, определить $a$, $b$, $c$, вычислить $D$, выбрать формулу и выполнить проверку.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, анализировать преобразования и объяснять выбор способа решения.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность аргументировать решение и уважительно обсуждать разные стратегии одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритмов точного расчёта для дальнейшего изучения математики, физики, информатики и технических профессий.
- Проявляют познавательный интерес к самостоятельному выводу формулы, а не только к её запоминанию.
- Принимают ответственность за оформление решения и проверку результата.
- Оценивают собственный прогресс и формулируют индивидуальное затруднение.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют существенные данные, преобразуют выражения, устанавливают связь между дискриминантом и числом корней.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют решение по алгоритму, контролируют вычисления и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: объясняют ход рассуждения в паре, задают уточняющие вопросы и аргументированно сравнивают способы решения.
- Работают с математической записью как с информационной моделью и используют самопроверку подстановкой.
Предметные
- Знать стандартный вид квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, условие $a\ne0$ и формулу дискриминанта $D=b^2-4ac$.
- Знать формулы корней квадратного уравнения при $D\ge0$: $x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}$.
- Уметь определять количество корней по знаку дискриминанта.
- Уметь решать не менее трёх квадратных уравнений по формуле корней и проверять один из результатов подстановкой.
- Уметь записывать ответ с учётом случая $D<0$, когда действительных корней нет.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения формулы как инструмента решения задач, которые нельзя удобно решить разложением на множители.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня тренировочного задания.
- Формируют установку на проверку результата и ответственное отношение к математической записи.
- Осознают, что ошибка в одном коэффициенте меняет весь результат, поэтому точность является частью математической культуры.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока и последовательность действий при решении квадратного уравнения.
- Сверяют промежуточные вычисления с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма по критериям и намечают способ коррекции.
- Распределяют время между вычислением дискриминанта, корней и проверкой.
Познавательные УУД
- Преобразуют квадратное уравнение к стандартному виду и выделяют коэффициенты $a$, $b$, $c$.
- Анализируют вывод формулы через выделение полного квадрата.
- Сравнивают случаи $D>0$, $D=0$ и $D<0$, строят причинно-следственную связь между знаком дискриминанта и количеством корней.
- Моделируют алгоритм решения в виде последовательности шагов и применяют его к новым примерам.
Коммуникативные УУД
- Формулируют объяснение решения так, чтобы партнёр мог воспроизвести каждый шаг.
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают вопросы о знаках и коэффициентах без оценки личности партнёра.
- Аргументированно защищают вывод о числе корней по значению дискриминанта.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным уравнением $2x^2-3x-2=0$, схемой выделения полного квадрата и алгоритмом решения.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые уравнения с целыми корнями, уравнения с иррациональными корнями и задание на анализ ошибки — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки для работы в парах с уравнениями $x^2-5x+6=0$, $2x^2+3x-2=0$, $3x^2-6x+1=0$ — по одному комплекту на парту.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывесить на доске памятку: стандартный вид, $D=b^2-4ac$, формулы корней, три случая знака $D$.
- Подготовить маркеры двух цветов для выделения коэффициентов и знаков.
- Организовать проектор или интерактивную доску для показа преобразований и таймера.
- Подготовить эталон решения для самопроверки и отдельный слайд с типичными ошибками: пропуск скобок, неверный знак $-b$, забытый знаменатель $2a$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать потребность в новом способе решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня вы будете не просто применять готовое правило, а попробуете понять, откуда оно появляется и почему работает." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $2x^2-3x-2=0$: "Представьте, что это расчётная модель в инженерной задаче. Какие способы решения квадратных уравнений вы уже знаете? Подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Что делать, если разложение на множители не получается быстро?" | Вспоминают разложение на множители и теорему Виета, обсуждают в парах, формулируют затруднение: "Нужен общий способ решения любого квадратного уравнения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем решать отдельные квадратные уравнения удобными способами, но нам нужен универсальный инструмент. Сейчас выясним, как его вывести."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить преобразования, необходимые для вывода формулы корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ и спрашивает: "Как называется такое преобразование? Как связаны коэффициент при $x$ и число в скобках?" | Отвечают: "Это выделение полного квадрата; число в скобках равно половине коэффициента при $x$". |
2 мин | Учитель предлагает устно преобразовать выражение $x^2-8x+16$ и напоминает: "Назовите формулу квадрата суммы или разности. Не ограничивайтесь ответом, проговорите знак." | Записывают $(x-4)^2$, объясняют выбор знака. |
2 мин | Учитель предлагает определить коэффициенты в уравнениях $3x^2-5x+1=0$ и $-x^2+4x-7=0$: "Как не перепутать коэффициент $a$ и свободный член? Выделите их цветом." | Выделяют $a$, $b$, $c$, называют: в первом случае $a=3$, $b=-5$, $c=1$; во втором $a=-1$, $b=4$, $c=-7$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили стандартный вид, коэффициенты и выделение полного квадрата. Теперь применим эти знания к общему уравнению и увидим, какая величина возникнет в результате."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и спроектировать способ её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$: "Попробуйте получить выражение для $x$. Сначала разделим обе части на $a$, затем перенесём свободный член. Какой следующий шаг позволит превратить левую часть в квадрат?" | Предлагают разделить на $a$, получить $x^2+\frac ba x=-\frac ca$, затем добавить квадрат половины коэффициента при $x$. |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Как выразить корни через коэффициенты $a$, $b$, $c$ и заранее определить, будут ли действительные корни? Сформулируйте цель урока и план действий." | Формулируют цель: "Вывести формулу корней и научиться решать по ней уравнения"; называют шаги: преобразовать, вычислить особую величину, найти корни, проверить. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: вывести универсальную формулу и применить её осознанно. Переходим к математическому открытию, где каждый знак будет иметь значение."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу корней квадратного уравнения и установить роль дискриминанта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель последовательно записывает на доске: $ax^2+bx+c=0$; $x^2+\frac ba x+\frac ca=0$; $x^2+\frac ba x=-\frac ca$. Затем говорит: "Добавим к обеим частям квадрат половины коэффициента при $x$: $\left(\frac b{2a}\right)^2$. Что образуется слева?" | Переписывают преобразования, отвечают: "$\left(x+\frac b{2a}\right)^2$". |
3 мин | Учитель показывает: $\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ и объясняет: "Выражение в числителе встречается во всех квадратных уравнениях. Обозначим его буквой $D$ и назовём дискриминантом. Почему под корнем должно стоять неотрицательное число?" | Записывают $D=b^2-4ac$, объясняют: "Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому при $D<0$ действительных корней нет". |
3 мин | Учитель завершает вывод: "Извлекаем квадратный корень и выражаем $x$: $x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}$, $x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}$. Сравните случаи $D>0$, $D=0$, $D<0$ и сформулируйте правило." | Записывают формулы и формулируют: при $D>0$ два корня, при $D=0$ один корень $x=\frac{-b}{2a}$, при $D<0$ действительных корней нет. |
Запись в тетрадях
Стандартный вид: $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$. Дискриминант: $D=b^2-4ac$. При $D>0$: $x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}$, $x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}$. При $D=0$: $x=\frac{-b}{2a}$. При $D<0$: действительных корней нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула получена не механически: она выросла из выделения полного квадрата. Теперь проверим её на конкретном уравнении и научимся не терять знаки."
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм решения уравнения с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель разбирает уравнение $2x^2-3x-2=0$: "Сначала назовите коэффициенты. Затем вычислим дискриминант, найдём корни и выполним проверку. Я намеренно проговариваю знаки: $b=-3$, поэтому $-b=3$." Учитель фиксирует каждый шаг на доске. | Называют $a=2$, $b=-3$, $c=-2$; вычисляют $D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=25$; находят $x_1=2$, $x_2=-\frac12$; проверяют один корень подстановкой. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Решите $x^2-5x+6=0$. Один ученик вычисляет, второй проверяет знаки и оформление. Через две минуты сравним решения." | Решают в парах: $D=1$, $x_1=3$, $x_2=2$; объясняют, почему в знаменателе стоит $2a=2$. |
Эталон решения
Для $2x^2-3x-2=0$: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$. $D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$. Тогда $x_1=\frac{3+5}{4}=2$, $x_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12$. Проверка: $2\cdot2^2-3\cdot2-2=8-6-2=0$; $2\cdot\left(-\frac12\right)^2-3\cdot\left(-\frac12\right)-2=\frac12+\frac32-2=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если внимательно определить коэффициенты и сохранить знаки. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а уровень задания можно выбрать."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять формулу и определить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит вам работать с усилием, но без случайного угадывания. На карточке сначала выпишите $a$, $b$, $c$, затем $D$, корни и ответ." | Выбирают карточку и записывают выбранный уровень. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: $x^2-7x+12=0$ и $x^2+2x-8=0$. Средний: $2x^2+x-3=0$ и $3x^2-5x+2=0$. Продвинутый: $3x^2-2x+5=0$ и найдите ошибку в решении уравнения $x^2-4x-5=0$, где указано $D=36$, $x_1=5$, $x_2=-1$. | Индивидуально решают два задания, оформляют алгоритм полностью. Для продвинутого задания устанавливают, что первый пример имеет $D<0$, а указанное решение второго проверяют и подтверждают. |
3 мин | Учитель открывает эталон: для базовых уравнений $x=3,4$ и $x=2,-4$; для среднего задания ответы $x=1,-\frac32$ и $x=1,\frac23$. "Сверьте не только ответ, но и каждую строку. Отметьте место расхождения и исправьте его другим цветом." | Сверяют решения, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: "могу определить коэффициенты", "могу вычислить $D$", "могу найти и проверить корни". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, на каком шаге алгоритма нужна точность. Осталось связать знак дискриминанта с количеством решений и сформулировать личный вывод."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить его освоение и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если можете решить уравнение по формуле без подсказки, жёлтую — если нужна памятка, красную — если пока не понимаете отдельный шаг. Объясните соседу, что именно вызвало затруднение." | Показывают карточку, называют конкретный шаг: "Мне нужно внимательнее определять $b$" или "Я уверенно вычисляю дискриминант". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите формулу дискриминанта, укажите число корней при $D=0$ и решите устно, сколько корней имеет $x^2+4x+7=0$." | Записывают $D=b^2-4ac$; отвечают: при $D=0$ один корень; для $x^2+4x+7=0$ получают $D=-12$ и делают вывод: действительных корней нет. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении обязательны коэффициенты, дискриминант, формула корней и ответ." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели формулу корней квадратного уравнения и увидели, что дискриминант заранее сообщает количество действительных корней. Проверьте себя по билету на выходе и сохраните исправления как личную памятку."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены оба выбранных уравнения, корректно определены $a$, $b$, $c$, вычислен дискриминант, записаны формулы корней и выполнена проверка хотя бы одного корня.
- "4" — решены оба уравнения, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- "3" — правильно выполнено одно уравнение или в обоих определены коэффициенты и дискриминант, но допущены ошибки при нахождении корней.
- Ниже «3» — алгоритм записан неполностью, не определены коэффициенты или отсутствует осмысленная попытка проверки; требуется индивидуальная коррекция.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения квадратного уравнения теперь можете выполнить без подсказки? | Выявление освоенных действий и степени самостоятельности. |
Где сегодня возникло затруднение: при определении коэффициентов, вычислении $D$ или использовании формулы? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему при $D<0$ квадратное уравнение не имеет действительных корней? | Проверка понимания смысла дискриминанта, а не только запоминания правила. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами восстановили путь от общего квадратного уравнения к формуле его корней. Важно помнить: самая частая ошибка возникает не в самой формуле, а при определении знака коэффициента $b$ и вычислении дискриминанта. Поэтому проверка подстановкой — часть решения, а не лишняя запись. На следующем уроке мы продолжим решать квадратные уравнения и рассмотрим, как выбирать наиболее удобный способ решения в разных случаях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ по формуле корней, включая случаи $D>0$ и $D=0$. Для каждого уравнения записать коэффициенты, дискриминант, корни и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на знаки коэффициентов, вычисление $D$ и знаменатель $2a$. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений, среди которых есть уравнение с дробными коэффициентами и уравнение, которое сначала нужно привести к стандартному виду; выполнить проверку одного корня в каждом втором решении. | Развивает перенос алгоритма на изменённые условия; проверять преобразование к стандартному виду и аккуратность дробных вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 3 задания на анализ: определить число корней без нахождения самих корней по знаку $D$, найти ошибку в готовом решении и составить собственное квадратное уравнение с заданными корнями $2$ и $-3$. | Формирует анализ, оценку и создание математической модели; проверять обоснование вывода и соответствие составленного уравнения заданным корням. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как записывается дискриминант? Что означает знак $D$? Какие два числа нужны для вычисления каждого корня? Как вы проверите найденный результат?"
