Действительные числа. Бесконечные десятичные дроби и десятичные приближения
Цели и задачи
- Цель: сформировать понятие о действительных числах как о бесконечных десятичных дробях и научить находить их десятичные приближения с заданной точностью.
- Образовательная задача: ввести определения иррациональных и действительных чисел, научить классифицировать числа по множествам (N, Z, Q, R).
- Развивающая задача: развивать навыки алгоритмического мышления при нахождении приближенных значений корней и округлении бесконечных дробей.
- Воспитательная задача: способствовать формированию научного мировоззрения через осознание бесконечности и непрерывности числовой прямой.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критичности мышления, умения отличать обоснованные суждения от необоснованных.
- Формирование навыков анализа и оценки собственной учебной деятельности.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, классифицировать числа.
- Навык использования знаково-символических средств для представления математических объектов.
- Способность формулировать гипотезы и строить логические цепочки рассуждений.
Предметные
- Знать определение иррационального и действительного числа.
- Уметь представлять рациональное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
- Уметь находить десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение в выборе уровня сложности заданий.
- Смыслообразование через понимание практической значимости точности вычислений.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль правильности выполнения вычислений и перевода дробей.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте определения.
- Сравнение и классификация объектов по заданным критериям.
Коммуникативные УУД
- Умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы.
- Аргументация своей позиции при классификации чисел.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для сортировки чисел (наборы по 10 чисел для каждой пары учеников).
- Подготовить презентацию с визуализацией расширения числовых множеств (круги Эйлера).
- Проверить наличие калькуляторов у учеников для этапа исследования корней.
- Подготовить на доске таблицу для заполнения десятичных приближений числа корня из 2.
- Распечатать листы самооценки для этапа рефлексии (по количеству учеников).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, друзья! Сегодня мы начнем с легенды. В Древней Греции пифагорейцы верили, что всё в мире можно описать целыми числами или их отношениями. Но однажды они столкнулись с задачей: найти длину диагонали квадрата со стороной 1. По теореме Пифагора это корень из двух. Они пытались представить его в виде дроби, но потерпели крах. Легенда гласит, что Гиппас, открывший, что это число нельзя выразить дробью, был даже наказан богами. Почему это открытие так напугало древних математиков? И какими числами мы пользуемся сегодня, чтобы измерить то, что 'не измеряется'?" | Слушают учителя, настраиваются на работу. Высказывают предположения: "Возможно, они думали, что числа конечны", "Они не знали о бесконечных дробях". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы привыкли к обыкновенным дробям, но сегодня нам предстоит выйти за их пределы и познакомиться с миром, который древние греки считали хаосом."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить знания о рациональных числах и их представлении в виде десятичных дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Давайте вспомним, что мы называем рациональным числом. Любое ли рациональное число можно представить в виде десятичной дроби? Переведите в десятичную дробь числа: 3/4, 5/8, 1/3, 7/11. Что вы заметили?" | Записывают в тетрадях: 3/4 = 0,75; 5/8 = 0,625; 1/3 = 0,333...; 7/11 = 0,6363... Отвечают: "Первые два числа — конечные дроби, а последние два — бесконечные периодические". |
3 мин | "Верно. Любое рациональное число — это либо конечная, либо бесконечная периодическая дробь. А можно ли конечную дробь 0,75 считать бесконечной периодической? Как это записать?" | Предполагают: "Можно дописать нули". Записывают: 0,75 = 0,75000... Формулируют вывод: "Любое рациональное число представляется в виде бесконечной периодической дроби". |
Запись в тетрадях
Рациональные числа (Q) — это числа, представимые в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, с рациональными числами всё ясно — они всегда 'повторяются'. Но что, если дробь бесконечна, но не периодична?"
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: зафиксировать затруднение при попытке представить корень из 2 в виде периодической дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Возьмите калькуляторы или попробуйте методом подбора найти значение корня из 2. Между какими целыми числами оно лежит? А между какими десятыми? Давайте составим таблицу приближений. 1^2 = 1, 2^2 = 4. Значит, корень между 1 и 2. Пробуем 1,4^2 = 1,96; 1,5^2 = 2,25. Значит, 1,4 < корень(2) < 1,5. Продолжите этот процесс до сотых. Есть ли там период?" | Вычисляют: 1,41^2 = 1,9881; 1,42^2 = 2,0164. Отвечают: "Корень из 2 примерно 1,41... Периода не видно. Цифры идут хаотично". |
Эталон решения
1,4 < \sqrt{2} < 1,5 (приближение с точностью до 0,1)
1,41 < \sqrt{2} < 1,42 (приближение с точностью до 0,01)
1,414 < \sqrt{2} < 1,415 (приближение с точностью до 0,001)
1,41 < \sqrt{2} < 1,42 (приближение с точностью до 0,01)
1,414 < \sqrt{2} < 1,415 (приближение с точностью до 0,001)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы столкнулись с числами, которые нельзя записать как периодическую дробь. Как же их назвать?"
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятия иррациональных и действительных чисел, рассмотреть примеры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Числа, которые представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными. Приставка 'ир-' означает отрицание. То есть 'не рациональные'. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Обозначается буквой R. Посмотрите на экран — здесь схема 'матрешка': натуральные входят в целые, целые в рациональные, а те — в действительные. Приведите примеры иррациональных чисел, кроме корней." | Зарисовывают схему множеств. Предлагают варианты: "Число Пи", "0,1011011101111... (где количество единиц растет)". |
7 мин | "Теперь обсудим, как работать с такими числами. Мы не можем записать их полностью. Поэтому мы используем десятичные приближения. Есть два вида: с недостатком (когда мы берем число меньше данного) и с избытком (больше данного). Давайте возьмем число Пи = 3,14159... Найдите его приближения с точностью до 0,001." | Работают в тетрадях. Записывают: с недостатком — 3,141; с избытком — 3,142. Сравнивают результаты. |
Запись в тетрадях
- Иррациональные числа — бесконечные непериодические десятичные дроби.
- Действительные числа (R) = Рациональные (Q) + Иррациональные (I).
- Десятичное приближение с недостатком — отбрасывание хвоста дроби.
- Десятичное приближение с избытком — прибавление единицы к последнему разряду приближения с недостатком.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы знаем, что любое число на числовой прямой — это либо периодическая, либо непериодическая дробь. Давайте попрактикуемся в их различении."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить умение классифицировать числа и находить приближения через активную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Применим прием 'Сортировка'. У вас на партах конверты с числами: -5; 0; 1/2; корень(3); 3,(14); -корень(7); 10,121314... Распределите их в две колонки: Рациональные и Иррациональные. Обсудите в паре, почему вы сделали такой выбор." | Работают в парах. Распределяют карточки. Аргументируют: "Корень из 7 не извлекается нацело и не имеет периода, значит иррациональное. 3,(14) — период есть, значит рациональное". |
3 мин | "Теперь проверим по цепочке. Называйте число и его категорию. Если не согласны — поднимайте красную карточку 'Светофора'." | Ученики по очереди называют числа. Класс сигнализирует карточками в случае расхождения мнений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, мы научились видеть структуру числа. Переходим к самостоятельной проверке навыков."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения темы и умение находить приближения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Выполните небольшую работу на листках. Задание 1: Запишите число 5/6 в виде бесконечной дроби. Задание 2: Для числа корень(5) ≈ 2,23606... найдите десятичные приближения с недостатком и избытком до сотых. Задание 3: Верно ли, что любое целое число является действительным? Ответ обоснуйте по ПОПС-формуле." | Индивидуально решают задачи. Пишут обоснование: "Я считаю, что да (Позиция), потому что целые числа входят в рациональные, а те в действительные (Обоснование)...". |
2 мин | "Посмотрите на эталон на доске. Отметьте свои успехи знаком '+'. Если есть ошибки — обведите их, мы разберем их позже." | Сверяют ответы с доской, проводят самооценку. |
Эталон решения
1) 5/6 = 0,8333... = 0,8(3).
2) До сотых: с недостатком 2,23; с избытком 2,24.
3) Да, так как Z ⊂ Q ⊂ R.
2) До сотых: с недостатком 2,23; с избытком 2,24.
3) Да, так как Z ⊂ Q ⊂ R.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что большинство справилось с приближениями. Это важный навык для инженеров и ученых, где точность определяет успех."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осознание учеником своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Наш урок подходит к концу. Заполните листы самооценки: что было самым трудным? Какое открытие вы сегодня сделали? Запишите домашнее задание. Спасибо за работу!" | Заполняют листы рефлексии. Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — все задания самостоятельной работы выполнены верно, приведено полное логическое обоснование в задании с ПОПС-формулой.
- "4" — допущена одна ошибка в вычислениях или неполно дано обоснование в третьем задании.
- "3" — верно выполнено только одно задание из трех или допущены грубые ошибки в определении вида дроби.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем главное отличие рационального числа от иррационального? | Проверка усвоения ключевого понятия урока (периодичность). |
Какое действие при нахождении приближений вызвало затруднение? | Выявление операционных трудностей (округление, избыток/недостаток). |
Где в реальной жизни нам может понадобиться знание о приближенных значениях? | Связь с практикой и функциональной грамотностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы расширили границы нашего числового мира. Мы узнали, что бесконечность может быть не только в космосе, но и внутри обычного корня из двух. Вы отлично поработали с классификацией и приближениями. На следующем уроке мы научимся сравнивать эти 'неуловимые' числа между собой и выполнять с ними действия. Помните, что математика — это язык, на котором написана книга природы, и сегодня вы выучили еще несколько важных букв этого алфавита."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить перевод 3-х обыкновенных дробей в десятичные и найти приближения с недостатком и избытком для корней из 3 и 10 до сотых. | Закрепление базового алгоритма нахождения приближений и повторение связи Q и бесконечных дробей. |
Средний (повышающий) | Составить список из 5 иррациональных чисел, встречающихся в природе или науке (например, золотое сечение), и записать их первые 5 знаков. | Развитие познавательного интереса и навыка поиска информации. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать, что сумма рационального и иррационального числа всегда является иррациональным числом. | Развитие навыков математического доказательства и логического вывода. |
