Арифметический квадратный корень
Цели и задачи урока
- Цель (по SMART): К концу урока учащиеся смогут сформулировать строгое определение арифметического квадратного корня, распознавать подкоренное выражение, устно вычислять значения корней из точных квадратов и применять полученные знания для решения уравнений вида x^2 = a.
- Образовательные задачи: ввести понятие арифметического квадратного корня, знака радикала и подкоренного выражения; изучить область допустимых значений для подкоренного выражения; сформировать первичные навыки извлечения квадратного корня.
- Развивающие задачи: развивать абстрактное, гипотетико-дедуктивное и логическое мышление через выявление причинно-следственных связей; формировать навыки самоконтроля, рефлексии и функциональной грамотности при решении практических задач.
- Воспитательные задачи: содействовать развитию познавательного интереса к предмету, предоставлять учащимся возможность выбора уровня сложности заданий для поддержки их учебной автономии и уверенности в себе.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию и самообразованию на основе внутренней мотивации.
- Развитие критичности мышления, умения распознавать логические ошибки и отличать доказанные факты от необоснованных предположений.
- Повышение познавательного интереса через осознание связи математической абстракции с реальной практической деятельностью (проектирование, дизайн).
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе, планировать альтернативные пути достижения целей.
- Умение создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для математических операций.
- Умение организовывать учебное сотрудничество со сверстниками, работать в парах, находить общее решение и аргументированно отстаивать свою позицию.
Предметные
- Знать и понимать определение арифметического квадратного корня, смысл знака корня и ограничения, накладываемые на подкоренное выражение.
- Уметь извлекать арифметический квадратный корень из неотрицательного числа, представленного в виде точного квадрата целого числа или дроби.
- Уметь решать простейшие уравнения вида x^2 = a, анализируя количество корней в зависимости от знака числа a.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявление устойчивого познавательного интереса к новым способам действий и поиску математических закономерностей.
- Умение адекватно оценивать свои трудности и достижения на уроке, выявлять причины успеха или неуспеха в учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения математического результата.
- Определение критериев правильности выполнения заданий, самостоятельное обнаружение и коррекция ошибок по предоставленному эталону.
Познавательные УУД
- Выделение, извлечение и структурирование необходимой информации из объяснения учителя и математического контекста, осознанное построение речевого высказывания.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, построение логической цепи рассуждений и доказательств.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации в паре и классе.
- Владение монологической и диалогической формами речи при обсуждении проблемных ситуаций, уважение к альтернативному мнению сверстников.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать раздаточный материал для работы в парах (карточки с геометрическими задачами на нахождение стороны квадрата по его площади) — 15 экземпляров (по одному на парту).
- Подготовить листы самооценки с цветовыми индикаторами (зеленый, желтый, красный) по приему 'Светофор' для каждого ученика — 30 экземпляров.
- Подготовить презентацию со слайдами, содержащими эталоны ответов для самостоятельной работы и историческую справку о происхождении знака радикала.
- Нарисовать на классной доске сетку таблицы 'Знаю — Хочу узнать — Узнал' (KWL) для фиксации этапов целеполагания и рефлексии.
- Проверить исправность мультимедийного проектора, компьютера и экрана в кабинете.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (2 мин)
Цель этапа: проверить готовность учащихся к уроку, создать рабочий настрой и эмоционально вовлечь класс через практический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, ребята! Рад вас видеть. Проверьте, пожалуйста, всё ли готово к уроку: тетради, ручки, линейки и учебники должны быть на столах. Сегодня мы примерим на себя роль инженеров-проектировщиков. Представьте, что вам поручили разработать проект квадратной площади для нового городского парка. Заказчик выставил жесткое требование: площадь этого объекта должна составлять ровно 49 квадратных метров. Как определить длину стороны площадки, чтобы строители могли выставить ограждения? А если заказчик изменит решение и потребует площадь в 50 квадратных метров? Сегодня мы откроем математический инструмент, который позволит решать такие задачи мгновенно." | Приветствуют учителя, проверяют готовность своих рабочих мест. Внимательно слушают вводную ситуацию, представляют себя в роли проектировщиков, начинают мысленно сопоставлять площадь квадрата с его стороной. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы успешно справиться с этой инженерной задачей, нам необходимо опереться на прочный фундамент уже известных математических действий. Давайте вспомним их."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знание операции возведения в квадрат и формулы площади квадрата, зафиксировать затруднение при выполнении обратной операции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем небольшую математическую разминку. Я буду называть число, а вы устно возводите его в квадрат. Итак: 6? Правильно, 36. Число 9? Верно, 81. А чему равен квадрат числа минус 4? Молодцы, 16, ведь минус на минус дает плюс. Теперь решим обратную задачу с помощью приема 'Подумай — обсуди в паре — поделись'. Перед вами на доске записаны условия трех задач. Первая: площадь квадрата равна 64 квадратных сантиметра, найдите его сторону. Вторая: площадь равна 0,25 квадратных метра, найдите сторону. Третья: площадь равна 5 квадратных дециметров, найдите сторону. Подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите с соседом по парте в течение одной минуты, как найти стороны этих квадратов." | Устно вычисляют квадраты чисел: 36, 81, 16. Переходят к работе в парах по приему 'Подумай — обсуди в паре — поделись'. Анализируют геометрические задачи, соотносят площадь с формулой S = x^2. |
2 мин | "Время вышло. Давайте поделимся вашими результатами. Какова сторона первого квадрата? Почему? Хорошо. Какова сторона второго квадрата? Отлично. А что получилось в третьем случае? Какое число при возведении в квадрат дает 5? Мы видим затруднение. Как назвать операцию, обратную возведению в квадрат, и как записать это число точным математическим символом?" | Отвечают с мест: "Для первого квадрата сторона равна 8 сантиметров, так как 8 в квадрате — это 64". "Для второго квадрата сторона равна 0,5 метра, так как 0,5 умножить на 0,5 будет 0,25". По поводу третьей задачи фиксируют затруднение: "Мы не можем подобрать целое число или обыкновенную дробь, квадрат которой равен 5. Нам неизвестно, как называется такое действие". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы обнаружили пробел в наших знаниях: мы умеем возводить число в квадрат, но не знаем официального названия и обозначения для обратного действия. Это и будет предметом нашего открытия."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения, целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать тему урока, определить цель и составить план действий с использованием таблицы KWL.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Какое математическое действие мы пытаемся выполнить? Мы ищем число по его квадрату. В математике эта операция называется извлечением корня, а само число — арифметическим квадратным корнем. Запишем тему урока в тетради: 'Арифметический квадратный корень'. Давайте воспользуемся приемом 'Таблица KWL' (Знаю — Хочу узнать — Узнал). На доске я черчу три колонки. Первую 'Знаю' мы уже заполнили: мы знаем, что такое квадрат числа и площадь квадрата. Сформулируйте теперь, что именно вы хотите узнать сегодня на уроке? Какие вопросы мы должны исследовать? Я запишу их во вторую колонку." | Записывают тему урока в тетради. Участвуют в формулировании целей урока, отвечая на вопросы учителя: "Мы хотим узнать точное определение арифметического квадратного корня. Хотим понять, как он обозначается на письме. Нам нужно узнать, из любых ли чисел можно его извлекать, и научиться вычислять его значения для разных чисел". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Прекрасно, план нашего исследования готов. Мы должны получить строгое определение, узнать правила обозначения и научиться применять этот инструмент для вычислений."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Реализация построенного проекта — открытие нового знания (12 min)
Цель этапа: ввести строгое определение арифметического квадратного корня, его символическую запись, изучить ограничения на подкоренное выражение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте проведем математическое исследование, используя 'Сократовский диалог'. Вернемся к задаче о квадрате. Мы ищем сторону квадрата x, зная его площадь a. Может ли длина стороны быть отрицательным числом? Верно, не может. Значит, мы ищем только неотрицательное число. Какому условию должно удовлетворять это число x? Его квадрат должен быть равен a. Сформулируем строгое определение: Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Обратите внимание на два важнейших условия в определении: само число должно быть неотрицательным, и его квадрат должен в точности равняться исходному числу." | Слушают учителя, отвечают на вопросы: "Нет, длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, она всегда больше или равна нулю". Формулируют вместе с учителем определение, осознавая два ключевых условия (неотрицательность результата и равенство его квадрата подкоренному числу). |
4 мин | "Для записи этого действия используется специальный знак — радикал. Посмотрите на экран. Этот символ произошел от латинской буквы 'r', начальной буквы слова 'radix', что означает 'корень'. Число, которое находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запишем это в виде формулы: √a = b. На основе нашего определения, эта запись означает одновременно два условия: во-первых, b >= 0, во-вторых, b^2 = a. Давайте проверим это на наших примерах. Почему √64 = 8? Потому что 8 больше нуля и 8 в квадрате равно 64. А теперь ответьте на толстый вопрос: имеет ли смысл выражение √(-9)? Подумайте, существует ли число, квадрат которого равен минус 9?" | Рассматривают на экране историческую справку о знаке радикала. Записывают формулу и условия в тетрадь. Отвечают на вопрос учителя: "Выражение √(-9) не имеет смысла, потому что квадрат любого числа — как положительного, так и отрицательного — всегда является неотрицательным числом. Никакое число в квадрате не может дать минус 9". |
4 мин | "Совершенно верно! Квадрат любого реального числа не может быть отрицательным. Из этого мы делаем важнейший вывод: подкоренное выражение обязательно должно быть неотрицательным, то есть a >= 0. Если a < 0, то выражение не имеет математического смысла. А теперь вернемся к нашей инженерной задаче. Если площадь равна 5, то сторона квадрата равна √5. Это точное число. Мы не можем извлечь его нацело, но это и есть точный ответ на задачу заказчика." | Делают вывод об ограничениях подкоренного выражения (a >= 0). Осознают, что √5 — это полноценное точное математическое число, выражающее длину стороны квадрата. |
Запись в тетрадях
Тема: Арифметический квадратный корень.
Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Тождество: √a = b означает, что b >= 0 и b^2 = a.
Выражение a называется подкоренным выражением, причем a >= 0.
Примеры:
1) √49 = 7, так как 7 >= 0 и 7^2 = 49.
2) √0 = 0, так как 0 >= 0 and 0^2 = 0.
3) √(-16) — не имеет математического смысла.
Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Тождество: √a = b означает, что b >= 0 и b^2 = a.
Выражение a называется подкоренным выражением, причем a >= 0.
Примеры:
1) √49 = 7, так как 7 >= 0 и 7^2 = 49.
2) √0 = 0, так как 0 >= 0 and 0^2 = 0.
3) √(-16) — не имеет математического смысла.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли новое понятие, зафиксировали его свойства и ограничения. Теперь давайте научимся применять его для вычислений и устного объяснения."
Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи (7 мин)
Цель этапа: закрепить навык извлечения квадратного корня, формировать умение аргументировать свои действия на основе строгого определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте поработаем у доски и в тетрадях. Я предлагаю вам выполнить вычисления нескольких выражений. Нам важно не просто назвать ответ, а полностью проговорить обоснование по нашему новому алгоритму. К доске пойдет один доброволец, остальные работают в тетрадях. Задание: вычислить значения выражений: √121, √0,36, √(4/25) и √(2 7/9). Пожалуйста, комментируй каждый шаг громко, чтобы весь класс слышал логику рассуждений." | Один ученик работает у доски, комментируя вычисления. Остальные записывают решения в тетрадях, проверяя свои рассуждения. Ученик у доски говорит: "Корень из 121 равен 11, так как 11 — число неотрицательное, и 11 в квадрате равно 121. Корень из 0,36 равен 0,6, так как 0,6 больше нуля и 0,6 в квадрате дает 0,36". |
3 мин | "Отлично. А теперь обратите внимание на последнее выражение со смешанной дробью √(2 7/9). Как нам поступить, если под корнем находится смешанное число? Какое правило из курса шестого класса нам нужно применить, чтобы представить число в удобном для возведения в квадрат виде? Верно, перевести в неправильную дробь. Выполни это вычисление на доске." | Класс подсказывает с мест: "Нужно перевести смешанное число в неправильную дробь". Ученик у доски записывает преобразование и комментирует: "Представим 2 7/9 в виде неправильной дроби 25/9. Корень из 25/9 равен 5/3, так как 5/3 >= 0 и (5/3)^2 = 25/9. Выделим целую часть: получаем 1 2/3". |
Эталон решения
√(2 7/9) = √((2 * 9 + 7) / 9) = √(25/9) = 5/3 = 1 2/3.
Проверка по определению:
1) 1 2/3 >= 0 — верно;
2) (5/3)^2 = 25/9 = 2 7/9 — верно.
Проверка по определению:
1) 1 2/3 >= 0 — верно;
2) (5/3)^2 = 25/9 = 2 7/9 — верно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились устно обосновывать извлечение корней из целых чисел и дробей. Теперь каждый из вас может проверить свои силы самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (11 мин)
Цель этапа: проверить уровень индивидуального усвоения темы, предоставить учащимся выбор уровня сложности для реализации их автономии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Настало время самостоятельной работы. Помня о том, что каждый из вас имеет право на свой темп и уровень сложности, я подготовил задания трех уровней. Выберите тот уровень, который считаете для себя комфортным и перспективным. Уровень А — базовый: вычислить четыре простых корня. Уровень Б — повышенный: найти значение выражения, содержащего сумму корней и умножение. Уровень В — творческий, исследовательский: решить уравнение x^2 = 36 и объяснить, почему его корни связаны с темой урока, но не совпадают с определением корня полностью. На выполнение работы у вас есть 6 минут. Приступайте." | Выбирают уровень сложности задания на карточках, самостоятельно выполняют вычисления в тетрадях. Ученики, выбравшие уровень В, анализируют разницу между корнями уравнения x^2 = 36 (числа 6 и -6) и арифметическим квадратным корнем из 36 (только число 6). |
5 мин | "Время самостоятельной работы истекло. Внимание на экран! Перед вами эталонные решения для всех трех уровней сложности. Возьмите в руки зеленые ручки или карандаши. Проверьте свои записи по эталону шаг за шагом. Если всё верно, поставьте знак плюс. Если нашли ошибку, аккуратно зачеркните и исправьте. После проверки возьмите листы самооценки 'Светофор' и поднимите карточку соответствующего цвета: зеленый — всё решено верно, желтый — одна-две мелкие ошибки, красный — возникли серьезные затруднения." | Сверяют свои решения с эталоном на экране. Проводят самопроверку, исправляют ошибки. Заполняют листы самооценки и поднимают карточки 'Светофор': большинство класса поднимает зеленые и желтые карточки, демонстрируя успешность усвоения. |
Эталон решения
Уровень А:
√100 = 10; √0,01 = 0,1; √144 = 12; √(9/16) = 3/4.
Уровень Б:
Выражение: 3 * √0,49 + √400.
Решение: 3 * 0,7 + 20 = 2,1 + 20 = 22,1.
Уровень В:
Уравнение: x^2 = 36.
Решение: Числа, квадраты которых равны 36 — это x = 6 и x = -6. Уравнение имеет два корня. Связь с темой: число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36 (√36 = 6), а число -6 является противоположным ему числом, удовлетворяющим уравнению, но не подходящим под определение арифметического корня.
√100 = 10; √0,01 = 0,1; √144 = 12; √(9/16) = 3/4.
Уровень Б:
Выражение: 3 * √0,49 + √400.
Решение: 3 * 0,7 + 20 = 2,1 + 20 = 22,1.
Уровень В:
Уравнение: x^2 = 36.
Решение: Числа, квадраты которых равны 36 — это x = 6 и x = -6. Уравнение имеет два корня. Связь с темой: число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36 (√36 = 6), а число -6 является противоположным ему числом, удовлетворяющим уравнению, но не подходящим под определение арифметического корня.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что основа темы усвоена успешно. Отдельные ошибки мы скорректируем при выполнении домашнего задания. Давайте подведем итоги нашего исследования."
Этап 7. Рефлексия учебной деятельности и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое содержание, соотнести цели урока с результатами, заполнить до конца таблицу KWL и выдать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте вернемся к нашей таблице KWL на доске. Нам осталось заполнить последнюю колонку — 'Узнал'. Что мы запишем туда по итогам сегодняшнего урока? Какое главное открытие мы совершили? С какими ограничениями познакомились? Отлично. Теперь откройте дневники и запишите домашнее задание. Как и на уроке, у вас есть выбор из трех уровней. Обязательный базовый уровень должны сделать все, а средний или продвинутый вы выбираете по желанию для развития своих навыков. Обратите внимание на контрольные вопросы на доске, они помогут вам проверить себя дома." | Формулируют ответы для третьей колонки таблицы KWL: "Узнали определение арифметического квадратного корня, научились находить его значения, поняли, что подкоренное выражение не может быть отрицательным". Записывают дифференцированное домашнее задание в дневники, оценивают свои силы для выбора уровня. |
Критерии оценивания практической работы
- Оценка '5' — учащийся без ошибок выполнил задания выбранного уровня (А, Б или В), продемонстрировал полное понимание определения арифметического квадратного корня и ограничений подкоренного выражения.
- Оценка '4' — учащийся успешно выполнил задания, но допустил одну-две вычислительные ошибки или неточности в обосновании (например, забыл указать условие неотрицательности в уровне В).
- Оценка '3' — учащийся справился только с половиной заданий базового уровня А, испытывал серьезные затруднения при извлечении корней из десятичных или обыкновенных дробей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое математическое условие при извлечении корня показалось вам самым коварным и почему? | Выявление степени осознания ограничений на подкоренное выражение и знак результата. |
В какой момент урока вы почувствовали себя максимально уверенно, а в какой возникло затруднение? | Развитие навыков метакогнитивного анализа и субъективной оценки уровня владения материалом. |
Как бы вы объяснили суть арифметического квадратного корня младшему товарищу без сложных формул? | Проверка глубины понимания сути математической операции через перевод на простой язык. |
Завершающее слово учителя
"Ребята, сегодня мы проделали отличную работу и сделали важное математическое открытие. Мы не просто узнали о существовании арифметического квадратного корня, но и поняли его глубокую связь с геометрией и окружающим миром. Теперь задача ландшафтного дизайнера с площадью в 50 квадратных метров не поставит вас в тупик — вы знаете, что сторона равна √50. На следующих уроках мы научимся оценивать такие 'некрасивые' корни и познакомимся с целым миром иррациональных чисел. Спасибо за урок, вы свободны!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Вычислить значения 8 выражений, содержащих извлечение квадратного корня из целых чисел от 0 до 400 и простых десятичных дробей (аналогично заданиям уровня А на уроке). | Закрепление базового навыка устных вычислений точных квадратов по определению корня. |
Средний (повышающий) | Найти значения 4 комбинированных выражений, где требуется сначала выполнить сложение или умножение под корнем, а также найти значения выражений вида √a + √b. | Развитие вычислительных навыков, предотвращение типичной ошибки смешения порядка действий под корнем. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить практическую задачу из области строительства или физики, решение которой сводится к вычислению арифметического квадратного корня, и решить её. | Формирование функциональной грамотности, развитие творческих способностей и исследовательской автономии. |
Контрольные вопросы для самопроверки перед выходом из класса:
1. Может ли арифметический квадратный корень из числа быть отрицательным числом?
2. При каких условиях выражение √(2x - 6) будет иметь смысл?
1. Может ли арифметический квадратный корень из числа быть отрицательным числом?
2. При каких условиях выражение √(2x - 6) будет иметь смысл?
