Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители
Цели и задачи
- Цель (SMART): К концу урока учащиеся смогут формулировать определение квадратного трехчлена, находить его корни и раскладывать его на линейные множители по формуле a(x - x₁)(x - x₂), успешно решив не менее 3 практических заданий.
- Образовательная задача: Сформировать понятие квадратного трехчлена, вывести формулу разложения на множители и отработать алгоритм её применения.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления, умение сравнивать, обобщать и делать выводы на основе группового исследования.
- Воспитательная задача: Воспитывать культуру коллективного труда и ответственность за общий результат при работе в группах.
Планируемые результаты (ФГОС)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие логического мышления и критического отношения к результатам своей деятельности.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Навыки самоконтроля и самооценки в процессе выполнения практических заданий.
Познавательные УУД
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Владение навыками преобразования алгебраических выражений.
Коммуникативные УУД
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
- Способность аргументированно отстаивать свою точку зрения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для групповой работы (4 варианта с разными трехчленами).
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
- Вывести на экран опорную схему: определение квадратного уравнения и формулы дискриминанта.
- Подготовить демонстрационный плакат с пустой формулой разложения для заполнения в ходе урока.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (2 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем наше путешествие по миру алгебраических выражений. Посмотрите на экран. Перед вами сложная дробь. Как вы думаете, можно ли её сократить за 10 секунд? Сегодня вы узнаете секретный инструмент, который позволит вам 'щелкать' такие задачи как орехи. Готовы стать мастерами преобразований?" | Слушают учителя, настраиваются на работу, включаются в диалог, выражают готовность к изучению новой темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы овладеть этим инструментом, нам нужно вспомнить то, что мы уже умеем. Начнем с разминки."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вспомните, как называется выражение вида ax² + bx + c? Правильно, это квадратный трехчлен. А как найти его корни? Проведем блиц-опрос. Чему равен дискриминант? Какие условия должны выполняться для наличия двух корней? Решите устно уравнение x² - 5x + 6 = 0." | Отвечают на вопросы: "Квадратный трехчлен", "Через дискриминант", "D > 0". Устно решают уравнение, называют корни: 2 и 3. |
2 мин | "Молодцы. А теперь вспомните, какие способы разложения на множители мы уже знаем? Вынесение за скобки, ФСУ, группировка. Попробуйте разложить x² - 5x + 6 методом группировки прямо сейчас." | Пробуют разложить выражение в тетрадях. Сталкиваются с тем, что группировка требует времени и подбора слагаемых. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группировка сработала, но это было долго. А что если коэффициенты будут дробными или большими? Нам нужен универсальный метод."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на выражение 2x² - 5x + 2. Попробуйте разложить его на множители известными способами. Получается быстро? В чем сложность?" | Пытаются применить ФСУ или вынесение за скобки. Фиксируют затруднение: стандартные методы неудобны или не применимы напрямую. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, проблема ясна: мы не знаем универсальной формулы для разложения любого квадратного трехчлена через его корни. Сформулируем цель урока."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (2 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Какова цель нашего урока? Правильно: найти связь между корнями трехчлена и его разложением на множители. Как мы будем действовать? Предлагаю провести мини-исследование в группах." | Формулируют цель: "Узнать формулу разложения квадратного трехчлена". Соглашаются с планом исследования. |
Этап 5. Реализация проекта - Групповая работа (12 мин)
Приём: Лаборатория открытий. Класс делится на 4 группы. Каждая группа получает карточку с заданием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "В каждой группе есть квадратный трехчлен. Задание: 1. Найдите его корни. 2. Перемножьте скобки вида (x - x₁)(x - x₂). 3. Сравните результат с исходным трехчленом. Сделайте вывод о роли коэффициента 'a'." | Работают в группах. Группа 1 работает с x² - 7x + 10. Группа 2 с 2x² - 5x + 2. Группа 3 с 3x² + 5x - 2. Группа 4 с x² + 2x - 8. Проводят вычисления, обсуждают результаты. |
4 мин | "Представители групп, прошу к доске. Что вы заметили? Какая закономерность прослеживается? Запишем общую формулу." | Представители групп записывают результаты. Класс видит, что произведение (x-x1)(x-x2), умноженное на коэффициент 'a', дает исходный трехчлен. Формулируют теорему. |
Запись в тетрадях
Теорема: Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли важную формулу. Теперь проверим, как она работает на практике."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Разложим на множители трехчлен 5x² - 3x - 2. Кто пойдет к доске? Работаем по алгоритму: 1. Находим дискриминант. 2. Находим корни. 3. Подставляем в формулу. Не забудьте про коэффициент 5!" | Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Проговаривают шаги: "D = 9 - 4*5*(-2) = 49. Корни: 1 и -0,4. Разложение: 5(x - 1)(x + 0,4) или (x - 1)(5x + 2)". |
Эталон решения
Разложить: $2x^2 - 5x + 3$.
1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$
2) $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
3) $x_1 = \frac{5+1}{4} = 1.5; x_2 = \frac{5-1}{4} = 1$
4) $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1.5)(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$
1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$
2) $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
3) $x_1 = \frac{5+1}{4} = 1.5; x_2 = \frac{5-1}{4} = 1$
4) $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1.5)(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Теперь проверьте себя. На карточках три задания разного уровня сложности. Выберите два любых и решите их самостоятельно." | Выполняют задания индивидуально. Выбирают уровень сложности (базовый или повышенный). |
2 мин | "Сравните свои решения с эталоном на экране. Поставьте себе плюс, если все верно. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять, где ошиблись." | Проверяют работы по ключам на слайде. Проводят самооценку, фиксируют количество верных шагов. |
Этап 8. Включение в систему знаний (5 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "А теперь вернемся к нашей дроби из начала урока: (x² - 5x + 6) / (x - 3). Теперь вы можете её сократить? Примените формулу к числителю." | Раскладывают числитель: (x-2)(x-3). Сокращают дробь на (x-3). Получают ответ: x-2. Удивляются простоте решения. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно найдены корни и составлено разложение для всех выбранных заданий, нет вычислительных ошибок.
- "4" — Алгоритм применен верно, но допущена одна вычислительная ошибка или ошибка в знаке при подстановке корней в скобки.
- "3" — Ученик умеет находить корни трехчлена, но испытывает затруднения при записи окончательной формулы разложения (забыт коэффициент 'a' или перепутаны знаки).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу мы сегодня 'вывели' сами? | Проверка усвоения основного теоретического материала. |
В какой момент работы в группе вы почувствовали, что решение найдено? | Оценка эмоционального состояния и эффективности группового взаимодействия. |
Какую типичную ошибку можно допустить при использовании этой формулы? | Развитие критического мышления и прогнозирование ошибок (забытый коэффициент 'a'). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы проделали огромную работу и сами открыли закон, по которому 'живут' квадратные трехчлены. Эта формула — ваш ключ к решению самых сложных задач на сокращение дробей, которые встретятся вам в ОГЭ и ЕГЭ. Помните: в математике, как и в жизни, важно не только найти корни проблемы, но и уметь разложить её на простые составляющие. Спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Разложить на множители 5 квадратных трехчленов с целыми корнями. | Закрепление навыка применения формулы и алгоритма поиска корней. |
Продвинутый | Сократить 3 рациональные дроби, в которых числитель и знаменатель — квадратные трехчлены. | Отработка навыка включения нового знания в систему уже изученных преобразований. |
Контрольный вопрос: Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен, если его дискриминант меньше нуля? Почему?
