Вероятности событий при бросании игральных кубиков
Цели и задачи
- Цель: научиться вычислять вероятность случайного события в опытах с бросанием одного и двух игральных кубиков, используя таблицу элементарных исходов.
- Образовательная задача: закрепить понятие классической вероятности и алгоритм поиска благоприятствующих исходов.
- Развивающая задача: развить навыки анализа статистической информации и умение строить логические рассуждения при работе с комбинаторными таблицами.
- Воспитательная задача: сформировать понимание связи математики с историей и реальными жизненными ситуациями (играми).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе шансов на успех в случайных экспериментах.
- Умение вести конструктивный диалог в паре при выполнении практической работы.
Метапредметные
- Умение создавать и использовать знаково-символические модели (таблицы исходов) для решения задач.
- Способность классифицировать события и устанавливать причинно-следственные связи.
- Навык смыслового чтения при работе с историческими справками и условиями задач.
Предметные
- Знать определения элементарного события, благоприятствующего события и равновозможных исходов.
- Уметь составлять таблицу элементарных событий для опыта с двумя кубиками.
- Владеть навыком вычисления вероятности по формуле P(A) = m/n для дискретных случайных величин.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (понимание «зачем мне это нужно» на примере игр и прогнозов).
- Нравственно-этическая ориентация в контексте честной игры.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Самоконтроль при проверке результатов практической работы по эталону.
Познавательные УУД
- Моделирование ситуации броска кубиков через таблицу 6x6.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (благоприятствующих исходов).
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с пустыми таблицами 6x6 для каждого ученика (3 штуки на листе).
- Подготовить цветные карточки (зеленая, желтая, красная) для рефлексии (комплект на каждого).
- Подготовить 15 пар игральных кубиков (по паре на парту).
- Загрузить презентацию с историческими фактами и онлайн-симулятор броска кубиков (ICT).
- Подготовить на доске шифровку «ТРУД».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: эмоциональный настрой и проверка готовности к уроку через игровой приём.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, ребята! Рад вас видеть. Давайте проверим, готовы ли мы к работе. Посмотрите на доску, там написано слово ТРУД. Это наша шифровка на сегодня: Т — тетради, Р — ручки, У — учебники, Д — дневники. У всех всё на месте? Отлично! Сегодня мы продолжим путь в мир случайности, который начали на прошлом уроке. Как вы думаете, можно ли математически предсказать выигрыш в кости?» | Ученики проверяют наличие принадлежностей, демонстрируют их учителю. Отвечают на вопрос: «Наверное, можно посчитать шансы», «Точно предсказать нельзя, но можно оценить вероятность». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы готовы трудиться. Сегодня объектом нашего исследования станет обычный игральный кубик, который скрывает в себе строгие математические законы"».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение классического определения вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вспомним формулу классической вероятности Лапласа. Кто готов её озвучить и пояснить переменные?» Учитель записывает формулу на доске. | Ученик: «Вероятность P(A) равна отношению m к n, где n — общее число исходов, а m — число благоприятных исходов». |
3 мин | «Решим устно задачу из нашего задачника: На книжной полке стоят 20 книг, из них 3 справочника. Какова вероятность, что взятая наугад книга НЕ окажется справочником?» | Ученики рассуждают: «Всего 20 книг (n=20). Не справочников 20-3=17 (m=17). Вероятность P = 17/20 = 0,85». |
Эталон решения
$$n = 20$$
$$m = 20 - 3 = 17$$
$$P(A) = \frac{17}{20} = 0,85$$
$$m = 20 - 3 = 17$$
$$P(A) = \frac{17}{20} = 0,85$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Молодцы, базу мы вспомнили. Теперь перейдем к самому древнему инструменту теории вероятностей — игральной кости"».
Этап 3. Открытие нового знания (8 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: знакомство с историей кубика и построение модели пространства исходов для двух кубиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель включает слайд с историей (ICT): «Игральные кости известны с XX века до н.э. Их находили в Египте, в Фивах. Само название пошло от материала — костей животных. В Средневековье церковь пыталась их запретить, считая орудием гадания, но безуспешно. В математике мы используем "правильную кость". Что это значит? Сумма очков на противоположных гранях всегда равна 7. Посмотрите на свои кубики на партах, проверьте это правило». | Ученики рассматривают кубики, проверяют грани (1 против 6, 2 против 5, 3 против 4). Слушают историческую справку. |
5 мин | «Если мы бросаем один кубик, сколько всего исходов? Правильно, 6. А если два? Давайте составим таблицу. Если на первом выпало 1, на втором может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Получаются пары (1;1), (1;2) и так далее. Посмотрите на экран — вот полная таблица 6 на 6. Сколько в ней всего ячеек?» | Ученики считают: «6 строк и 6 столбцов, всего 36 исходов». Зарисовывают схематичную таблицу в тетрадь. |
Запись в тетрадях
При бросании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных событий: n = 6 × 6 = 36.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы построили карту всех возможных событий. Теперь научимся находить на ней те, что приносят нам победу"».
Этап 4. Практическая работа «Опыты с равновозможными событиями» (12 мин)
Цель этапа: отработка навыка поиска благоприятствующих исходов с использованием раздаточного материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Возьмите рабочие листы. Задание №1: Заштрихуйте в первой таблице события, где выпало одинаковое число очков. Посчитайте их количество и вычислите вероятность». | Ученики штрихуют диагональ (1;1), (2;2)... (6;6). Записывают: m=6, P=6/36=1/6. |
4 мин | «Задание №2: Во второй таблице найдите события, где сумма очков равна 7. Будьте внимательны!» | Ученики находят пары: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Замечают, что это тоже диагональ, но другая. P=6/36=1/6. |
4 мин | «Задание №3: В третьей таблице отметьте события, где сумма очков не меньше 7. Что означает "не меньше"?» | Ученики отвечают: «Это 7 и больше». Штрихуют нижнюю правую часть таблицы. Считают клетки: m=21. P=21/36=7/12. |
Эталон решения для задачи №3
Сумма 7 (6 исходов), Сумма 8 (5 исходов), Сумма 9 (4 исхода), Сумма 10 (3 исхода), Сумма 11 (2 исхода), Сумма 12 (1 исход).
$$m = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$$
$$P = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \approx 0,58$$
$$m = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$$
$$P = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \approx 0,58$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Вы отлично справились с визуализацией. Теперь давайте немного разомнемся и проверим вашу интуицию"».
Этап 5. Физкультминутка — игра «Типы событий» (2 мин)
Цель этапа: динамическая пауза с повторением классификации событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Правила игры: если я называю достоверное событие — хлопаем, невозможное — топаем, случайное — качаем головой. Поехали! 1. При броске кубика выпало 7 очков. 2. Выпало число меньше 10. 3. Выпало четное число. 4. Завтра пойдет снег из сахара. 5. Сумма очков при броске двух кубиков равна 13». | Ученики: 1. Топают. 2. Хлопают. 3. Качают головой. 4. Топают. 5. Топают. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Молодцы, размялись и вспомнили теорию. Садитесь, продолжаем решать игровые задачи"».
Этап 6. Включение в систему знаний и закрепление (10 мин)
Цель этапа: решение комплексной задачи на сравнение вероятностей и игровой сценарий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Разберем задачу про Сашу и Влада. Саша бросил два кубика, выпало 5 и 3. Сумма — 8. Теперь бросает Влад. Он выиграет, если его сумма будет БОЛЬШЕ. Найдите вероятность выигрыша Влада». | Ученики анализируют: «Владу нужно выбить 9, 10, 11 или 12. По таблице это исходы: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) — для 9; (4,6), (6,4), (5,5) — для 10; (5,6), (6,5) — для 11; (6,6) — для 12. Всего m=10. P = 10/36 = 5/18». |
5 мин | «Задача №5 из листа: Что вероятнее — что оба раза выпадет 5 очков (событие А) или что один раз выпадет 2, а другой 5 (событие С)?» | Ученики: «Для события А только один исход (5;5), P=1/36. Для события С два исхода: (2;5) и (5;2), P=2/36. Значит, событие С вероятнее в два раза!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы увидели, что в случайных играх порядок выпадения очков может удваивать шансы на успех. Это важно учитывать!"».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — все 3 таблицы на рабочем листе заполнены верно, вероятности вычислены без ошибок, решена задача про Сашу и Влада.
- «4» — допущены 1-2 ошибки в подсчете благоприятствующих исходов в таблицах, или неверно сокращена дробь при вычислении вероятности.
- «3» — верно заполнена только одна таблица, есть понимание формулы P=m/n, но допущены ошибки в логике выбора исходов «не меньше».
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой исход при бросании двух кубиков встречается чаще всего (по сумме очков)? | Проверка интуитивного понимания распределения (сумма 7). |
В чем была главная сложность при заполнении таблицы 6x6? | Выявление проблем с внимательностью или комбинаторным мышлением. |
Поднимите карточку: Зеленая — всё понял, Желтая — есть вопросы, Красная — тема не ясна. | Быстрая самооценка усвоения материала классом.Быстрая самооценка усвоения материала классом. |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня мы с вами не просто решали задачи, а прикоснулись к истории, которой более 4000 лет. Мы увидели, что за хаосом брошенных кубиков стоит четкая математическая структура — таблица из 36 исходов. На следующем уроке мы проверим наши расчеты на практике: вы принесете склеенные кубики, и мы проведем настоящий статистический эксперимент. Спасибо за работу, вы сегодня были отличными исследователями!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Склеить кубик по развертке | Подготовка инструмента для практической работы на следующем уроке. |
Средний (повышающий) | 25 бросков кубика | Провести серию испытаний и записать результаты в таблицу частот. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача «Сумма очков не менее 5» | Вычислить вероятность события P(A) для двух кубиков, используя таблицу исходов. |
Контрольный вопрос: «Как изменится общее число исходов n, если мы решим бросить не два, а три кубика?»