Рассеивание числовых данных и отклонения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут находить отклонения отдельных значений от среднего арифметического, объяснять, почему сумма отклонений равна нулю, и сравнивать разброс двух небольших наборов данных по размаху и среднему модулю отклонений.
- Образовательная задача: повторить вычисление среднего арифметического и применить его для анализа числовых наборов.
- Развивающая задача: научиться сопоставлять данные, выделять отклонения от среднего и обосновывать вывод о степени рассеивания.
- Развивающая задача: развивать умение проверять вычисления, представлять результаты в таблице и обсуждать разные способы решения.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к выводам на основе данных и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к использованию числовых данных для описания жизненных ситуаций, например результатов тренировок или времени в пути.
- Ученик понимает, что вывод о типичном значении данных не всегда описывает разброс отдельных результатов.
- Ученик проявляет готовность проверять собственные выводы и менять их при обнаружении ошибки.
- Ученик уважительно относится к альтернативным способам сравнения наборов данных.
Метапредметные
- Ученик извлекает числовую информацию из таблицы и организует её в последовательность вычислений.
- Ученик сравнивает наборы данных по нескольким признакам и объясняет, почему одного среднего значения недостаточно.
- Ученик планирует вычисления, сверяет результат с условием и исправляет найденные неточности.
- Ученик формулирует вывод по данным и подкрепляет его вычислениями, а не только впечатлением.
Предметные
- Ученик знает, что отклонение значения от среднего арифметического можно вычислить как разность «значение минус среднее».
- Ученик находит отклонения для каждого значения набора и проверяет, что их сумма равна нулю.
- Ученик различает размах данных и отклонения отдельных значений от среднего.
- Ученик вычисляет средний модуль отклонений в небольшом наборе данных и использует его для сравнения разброса.
- Ученик объясняет, почему при сравнении наборов с одинаковым средним важно учитывать рассеивание значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Ученик соотносит изучение статистических характеристик с задачами повседневной жизни и возможными профессиональными ситуациями.
- Ученик проявляет познавательный интерес к вопросу, почему одинаковое среднее не означает одинаковые данные.
- Ученик оценивает собственную готовность применять новый способ вычислений.
- Ученик принимает необходимость точной проверки результата при работе с данными.
Регулятивные УУД
- Ученик формулирует цель исследования наборов данных и составляет план вычислений.
- Ученик распределяет действия: находит среднее, вычисляет отклонения, проверяет их сумму и сравнивает показатели разброса.
- Ученик контролирует знаки отклонений и арифметические действия.
- Ученик сопоставляет полученный результат с эталоном и корректирует решение.
- Ученик оценивает, достигнута ли цель урока, по критериям самооценки.
Познавательные УУД
- Ученик выделяет среднее арифметическое как опорную точку для описания набора чисел.
- Ученик моделирует отклонение разностью значения и среднего, сохраняя знак результата.
- Ученик анализирует связь между положительными и отрицательными отклонениями.
- Ученик сравнивает размах и средний модуль отклонений как разные способы описания разброса.
- Ученик формулирует вывод на основе таблицы вычислений и проверяемых данных.
Коммуникативные УУД
- Ученик задаёт уточняющие вопросы о порядке вычисления отклонений и показателей разброса.
- Ученик объясняет партнёру, почему отклонения могут быть положительными и отрицательными.
- Ученик аргументирует сравнение наборов, ссылаясь на конкретные вычисления.
- Ученик распределяет работу в паре и проверяет вычисления партнёра без подмены его решения.
- Ученик корректно обсуждает расхождения в ответах и предлагает способ проверки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде два набора результатов, полученных в пяти тренировочных попытках: А — 6, 8, 10, 12, 14; Б — 8, 9, 10, 11, 12.
- Распечатать карточки с этими наборами и пустой таблицей для вычисления среднего, отклонений, модулей отклонений и их среднего — по одной карточке на пару, всего 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на ученика, всего 30 карточек; предусмотреть дополнительный вопрос повышенного уровня.
- Подготовить по одному листу с эталоном вычислений на парту, закрытому до момента самопроверки.
- Вывести на доску шпаргалку-напоминание: среднее арифметическое; отклонение = значение − среднее; размах = наибольшее значение − наименьшее значение.
- Подготовить цветные карточки или стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для проверки понимания после открытия нового способа.
- Подготовить таймер для парной работы и самостоятельного задания.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для показа таблиц; при отсутствии оборудования записать данные и формулы на обычной доске.
- До урока проверить вычисления для примеров: у обоих наборов среднее равно 10; отклонения А равны −4, −2, 0, 2, 4, а Б — −2, −1, 0, 1, 2.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников сравнением двух наборов с одинаковым средним значением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращает внимание на данные на доске: «Здравствуйте, ребята. Сегодня будем не просто считать, а разбираться, что именно рассказывают о ситуации несколько чисел. Посмотрите на два набора результатов тренировочных попыток. В обоих случаях среднее значение равно 10. Как вы думаете, можно ли по одному среднему сказать, какая серия результатов была более ровной? Пока не спешите с окончательным выводом — сначала зафиксируйте первое предположение». | Проверяют готовность к уроку, читают наборы А и Б, записывают в тетради короткое предположение: «набор Б ровнее» или «по среднему определить нельзя». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала подумайте самостоятельно в течение 30 секунд, затем одну минуту обсудите с соседом, чем отличаются результаты. Не ограничивайтесь фразой “числа разные”: найдите, насколько отдельные значения удалены от 10. Послушаем две пары и запишем на доске разные аргументы». | Самостоятельно формулируют гипотезу, обсуждают её в паре и предлагают классу ответы: «В наборе А крайние значения дальше от 10»; «Средние одинаковые, но разброс разный». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одинаковое среднее ещё не говорит, насколько значения удалены от него. Проверим, какие знания помогут нам исследовать это различие точно».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить способ нахождения среднего арифметического и выявить, достаточно ли его для описания набора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске набор А и спрашивает: «Напомните, как находится среднее арифметическое нескольких чисел. Что именно складываем и на что делим? Покажите вычисление для результатов 6, 8, 10, 12, 14. Почему в этом примере нужно разделить именно на пять?» | Называют правило и вычисляют: (6 + 8 + 10 + 12 + 14) : 5 = 10. Объясняют: «Сложили все пять результатов и разделили на их количество». |
3 мин | Учитель предлагает сравнить наборы: «Теперь проверьте среднее набора Б: 8, 9, 10, 11, 12. Посмотрите на размах: найдите разность между наибольшим и наименьшим значением в каждом наборе. Какой набор по этому признаку более рассеян? А может ли размах описать, как расположены все значения, а не только крайние?» Учитель фиксирует на доске ответы без оценки гипотез. | Вычисляют среднее набора Б: 10. Находят размах А: 14 − 6 = 8; размах Б: 12 − 8 = 4. Предполагают: «А рассеян сильнее»; замечают, что размах использует только крайние числа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы повторили среднее и размах. Но пока не рассмотрели расстояние каждого результата от среднего и не договорились, как учитывать направление этого отклонения».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и спланировать открытие способа описания отклонений от среднего.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращает внимание на результат 6 в наборе А: «Среднее равно 10. На сколько результат 6 отличается от 10? А результат 14? В одном случае число меньше среднего, в другом — больше. Как одним вычислением показать не только расстояние, но и направление? Предложите запись, в которой результат ниже среднего будет иметь один знак, а выше среднего — другой». | Предлагают вычисления 6 − 10 = −4 и 14 − 10 = 4; формулируют: «Нужно вычитать среднее из каждого значения». |
3 мин | Учитель организует короткий «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, что нужно выяснить, затем объединитесь в пары и выберите самый важный вопрос. Пара соседней паре передаст свой вопрос, после чего класс сформулирует общий план. На доске появятся три пункта: найти отклонения, проверить их сумму, сравнить разброс». Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как сравнить рассеивание, если среднее у наборов одинаковое?» | Записывают вопрос индивидуально, обсуждают его в парах и формулируют общий план: «Найти разность каждого значения и среднего; проверить знаки и сумму; сравнить величины отклонений». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наша цель — научиться находить отклонения и использовать их для сравнения рассеивания. Начнём с набора А и проверим, какой закономерности подчиняются полученные разности».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть способ вычисления отклонений от среднего и понять, почему их знаковая сумма равна нулю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с таблицей и говорит: «Заполните первую строку для набора А. Среднее у нас уже найдено: 10. Для каждого результата вычислите значение минус среднее. Записывайте знак обязательно. Какое отклонение у результата 6? А у 14? Не называйте только расстояние: знак показывает, выше или ниже среднего находится значение». | В парах заполняют строку отклонений для А: для 6 получают −4, для 8 — −2, для 10 — 0, для 12 — 2, для 14 — 4. Объясняют: «Отрицательное отклонение — ниже среднего, положительное — выше». |
3 мин | Учитель выводит таблицу на доску и спрашивает: «Сложите отклонения набора А. Что получилось? Почему, как вы думаете? Проверьте набор Б тем же способом: не нужно заново искать среднее, используйте уже известное значение 10. Посмотрите, повторяется ли закономерность». | Складывают −4 + (−2) + 0 + 2 + 4 = 0. Вычисляют отклонения набора Б: −2, −1, 0, 1, 2; проверяют сумму −2 − 1 + 0 + 1 + 2 = 0. |
2 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: «Если сумму всех значений разделить на их количество, мы получаем среднее. Значит, сумма значений равна среднему, умноженному на количество. Что получится, если из каждого значения вычесть среднее и затем сложить разности? Какую закономерность вы можете сформулировать своими словами?» Учитель записывает вывод учеников и уточняет формулировку. | Обсуждают связь среднего и суммы и формулируют вывод: «Сумма отклонений значений от среднего арифметического равна нулю». |
2 мин | Учитель показывает на доске два способа рассмотреть величину рассеивания: «Знаки отклонений важны, но при сложении положительные и отрицательные значения компенсируют друг друга. Чтобы оценить типичное расстояние до среднего, сначала возьмём модули отклонений, а затем найдём их среднее. Сравните наборы: в А среднее модулей равно (4 + 2 + 0 + 2 + 4) : 5 = 2,4; в Б — (2 + 1 + 0 + 1 + 2) : 5 = 1,2. Какой вывод подтверждают эти числа?» | Записывают вычисления и заключают: «Средний модуль отклонений в наборе А больше, поэтому результаты А в среднем дальше от среднего значения, чем результаты Б». |
Запись в тетрадях
- Отклонение значения x от среднего арифметического x̄: x − x̄.
- Положительное отклонение означает, что значение выше среднего; отрицательное — ниже среднего.
- Сумма отклонений всех значений от их среднего арифметического равна нулю.
- Средний модуль отклонений находят так: складывают модули всех отклонений и делят сумму на количество значений.
- Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений; средний модуль отклонений учитывает расстояние от среднего для каждого значения.
Эталон решения
Набор А: x̄ = (6 + 8 + 10 + 12 + 14) : 5 = 10. Отклонения: 6 − 10 = −4; 8 − 10 = −2; 10 − 10 = 0; 12 − 10 = 2; 14 − 10 = 4. Сумма отклонений: −4 − 2 + 0 + 2 + 4 = 0. Средний модуль отклонений: (4 + 2 + 0 + 2 + 4) : 5 = 2,4. Набор Б: x̄ = 10; отклонения −2, −1, 0, 1, 2; средний модуль отклонений (2 + 1 + 0 + 1 + 2) : 5 = 1,2. Следовательно, по этому показателю набор А рассеян сильнее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли отклонение как разность значения и среднего и заметили, что знаки отклонений взаимно компенсируются. Для сравнения типичного удаления от среднего мы использовали модули. Теперь применим этот способ в новой ситуации и объясним результат партнёру».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление отклонений и среднего модуля отклонений с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает классу задачу: «Время, за которое участник прошёл пять тренировочных дистанций, составило 9, 10, 11, 10 и 10 минут. Найдите среднее время, затем отклонение каждого результата от среднего и средний модуль отклонений. Работайте в парах: один ученик проговаривает вычисления, второй проверяет знаки и записывает таблицу; затем поменяйтесь ролями». | Находят среднее: (9 + 10 + 11 + 10 + 10) : 5 = 10 минут. Записывают отклонения −1, 0, 1, 0, 0 и средний модуль (1 + 0 + 1 + 0 + 0) : 5 = 0,4 минуты. Партнёры сверяют знаки. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы классу: «Почему у результата 9 отклонение отрицательное? Что означает нулевое отклонение? Проверьте сумму отклонений. Можно ли сказать, что все тренировки длились ровно 10 минут? Какой показатель поможет описать фактические различия?» Учитель обращает внимание на отличие среднего значения от каждого отдельного результата. | Отвечают: «9 меньше среднего, поэтому отклонение −1»; «Нулевое отклонение означает, что результат совпал со средним»; проверяют сумму: −1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0. Формулируют: «Среднее равно 10, но отдельные результаты различались». |
Эталон решения
Среднее: (9 + 10 + 11 + 10 + 10) : 5 = 50 : 5 = 10. Отклонения по порядку: 9 − 10 = −1; 10 − 10 = 0; 11 − 10 = 1; 10 − 10 = 0; 10 − 10 = 0. Сумма: −1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0. Средний модуль отклонений: (1 + 0 + 1 + 0 + 0) : 5 = 0,4 минуты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы показали, что умеете находить и объяснять отклонения, а не только получать число в ответе. Теперь каждый проверит себя самостоятельно и выберет уровень задания».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и дать ученикам возможность выбрать посильный уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет выбор: «На карточке есть обязательное задание и задание на выбор. Сначала выполните обязательную часть: найдите среднее и отклонения набора 4, 6, 8, 10, 12. Затем выберите продолжение: вычислить средний модуль отклонений или сравнить этот набор с рядом 6, 7, 8, 9, 10. Работайте самостоятельно; если закончили раньше, обоснуйте вывод словами». | Читают карточку, выбирают дополнительный вариант и приступают к индивидуальному решению. |
6 мин | Учитель наблюдает за работой, не сообщает ответы и задаёт адресные вопросы: «Какое среднее ты используешь? Откуда появляется знак минус у первого отклонения? Чем проверишь, что таблица заполнена верно? Если затрудняешься, сравни каждый результат с 8 и поставь рядом разность». Учитель отмечает, кому требуется поддержка, и напоминает, что можно сверить порядок действий со шпаргалкой на доске. | Находят среднее 8; записывают отклонения −4, −2, 0, 2, 4; проверяют сумму. Вычисляют средний модуль 2,4 либо сравнивают с набором 6, 7, 8, 9, 10, где средний модуль равен 1,2. |
3 мин | Учитель открывает эталон для самопроверки: «Сверьте не только итог, но и каждую разность. Поставьте отметку у правильно выполненных шагов, а ошибку исправьте другим цветом. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить алгоритм; жёлтую — если нужно уточнить отдельный шаг; красную — если пока не получается начать». | Сверяют решение по эталону, исправляют ошибки и поднимают карточку самооценки. При необходимости формулируют конкретный вопрос: «Я путаю порядок вычитания» или «Не понимаю, когда нужно брать модуль». |
Эталон решения
Для набора 4, 6, 8, 10, 12: среднее равно (4 + 6 + 8 + 10 + 12) : 5 = 8. Отклонения: −4, −2, 0, 2, 4; сумма отклонений равна 0. Средний модуль отклонений: (4 + 2 + 0 + 2 + 4) : 5 = 2,4. Для набора 6, 7, 8, 9, 10 среднее равно 8, отклонения равны −2, −1, 0, 1, 2, средний модуль — (2 + 1 + 0 + 1 + 2) : 5 = 1,2. Первый набор более рассеян по среднему модулю отклонений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя и увидели, на каком шаге нужна дополнительная тренировка. Осталось собрать выводы урока и ответить на вопрос, с которого мы начали: достаточно ли одного среднего для сравнения результатов?»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить собственное продвижение и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращает класс к проблемному вопросу: «В начале урока мы сравнивали два набора с одинаковым средним. Теперь ответьте письменно на билет на выход: чем отклонение отличается от модуля отклонения и как с помощью среднего модуля сравнить рассеивание? Добавьте один вывод о наборах А и Б. У вас две минуты; затем несколько человек прочитают ответы». | Пишут билет на выход: «Отклонение — разность значения и среднего со знаком; модуль показывает расстояние; средний модуль отклонений у А равен 2,4, у Б — 1,2, значит, А рассеян сильнее». Несколько учеников зачитывают вывод. |
2 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания и говорит: «Выберите уровень с учётом своей уверенности: базовый обязателен для всех, следующий уровень помогает закрепить сравнение, продвинутый предлагает самостоятельно придумать данные. Перед выходом назовите контрольный порядок действий: среднее, отклонения, проверка суммы, модули и сравнение». | Записывают домашнее задание выбранного уровня, называют последовательность действий и сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдено среднее в самостоятельном задании, правильно вычислены все отклонения с указанием знаков, проверена их сумма и верно рассчитан средний модуль; вывод о сравнении наборов аргументирован числами.
- «4» — способ нахождения среднего и отклонений применён верно, допущена не более чем одна вычислительная ошибка или неточность в формулировке вывода; ученик умеет исправить её при самопроверке.
- «3» — ученик находит среднее и большинство отклонений с опорой на шпаргалку, но допускает ошибки в знаках или расчёте среднего модуля; после подсказки может указать, как продолжить алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как вычислить отклонение результата от среднего и что показывает его знак? | Проверка понимания определения отклонения и интерпретации знака. |
Почему сумма отклонений набора от его среднего равна нулю? | Выявление понимания закономерности, а не только запоминания правила. |
Какой набор из рассмотренных сегодня рассеян сильнее и какими числами это подтверждается? | Проверка умения сравнивать наборы и аргументировать вывод показателем. |
Какой шаг вычисления пока вызывает у вас наибольшую трудность? | Получение обратной связи для планирования повторения и адресной поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, почему двух одинаковых средних недостаточно, чтобы описать два набора данных. Вы научились находить отклонения от среднего, учитывать их знаки и сравнивать типичное расстояние от среднего с помощью модулей. Помните о распространённой ошибке: отклонение находят как значение минус среднее, а не наоборот; при расчёте среднего модуля затем берут абсолютную величину. На следующем уроке мы продолжим исследовать числовые данные и потренируемся выбирать подходящие характеристики для их описания».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания на нахождение среднего арифметического, отклонений каждого значения и проверку того, что сумма отклонений равна нулю; использовать наборы из 5–7 целых чисел. | Закрепляет порядок вычислений; при проверке обратить внимание на вычитание среднего из каждого значения и запись знаков. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на сравнение рассеивания двух наборов с одинаковым средним: для каждого найти размах и средний модуль отклонений, затем записать вывод в 2–3 предложениях. | Развивает умение сопоставлять показатели; проверить правильность модулей, деление на количество данных и обоснование вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать два набора по 5 чисел с одинаковым средним, но разным рассеиванием; вычислить отклонения и средний модуль отклонений, составить объяснение для одноклассника. | Развивает моделирование и самостоятельное применение понятия; проверить, что средние действительно равны, а показатели рассеивания различаются. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: как найти отклонение отдельного значения от среднего? Что означает отрицательный знак? Почему сумма отклонений равна нулю? Зачем при сравнении рассеивания находить модули отклонений?
