Стандартное отклонение числового набора
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить стандартное отклонение небольшого числового набора по алгоритму, объяснять смысл полученного значения и применять показатель для сравнения разброса данных.
- Сформировать представление о стандартном отклонении как о мере разброса числовых данных относительно среднего арифметического.
- Научить выполнять вычисления по алгоритму: находить среднее арифметическое, отклонения, квадраты отклонений, среднее квадратов и квадратный корень.
- Развивать умение сравнивать числовые наборы с одинаковыми или близкими средними значениями по степени устойчивости и разброса.
- Воспитывать аккуратность вычислений, готовность проверять результат и аргументировать вывод на основе данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность статистических показателей для анализа результатов измерений, спорта, исследований и повседневных решений.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и понимание того, что статистический вывод должен опираться на данные.
- Получают опыт выбора уровня задания и оценки собственных возможностей без сравнения себя с одноклассниками.
- Проявляют интерес к применению математических методов в будущей учебной и профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Извлекают информацию из числового набора, таблицы и пошагового алгоритма.
- Планируют вычисления, распределяют действия между участниками пары и контролируют промежуточные результаты.
- Сравнивают наборы данных, формулируют вывод и подтверждают его числовым аргументом.
- Используют калькулятор для проверки арифметических действий, сохраняя в записи математическую модель решения.
Предметные
- Знать смысл стандартного отклонения как характеристики разброса числового набора.
- Уметь находить среднее арифметическое числового набора и отклонения его элементов от среднего.
- Уметь вычислять стандартное отклонение по формуле $\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$.
- Уметь сравнивать два набора данных по стандартному отклонению и формулировать содержательный вывод.
- Уметь проверять разумность результата: стандартное отклонение неотрицательно и выражается в тех же единицах, что и исходные данные.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения показателей разброса через связь с реальными измерениями и оценкой стабильности результатов.
- Осознают ценность точности, добросовестности и аргументированности математического вывода.
- Принимают право одноклассника выбрать другой способ проверки или объяснения результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют последовательность вычислений.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по чек-листу.
- Обнаруживают ошибку в среднем, квадрате отклонения или извлечении корня и корректируют решение.
- Оценивают степень освоения алгоритма по результату самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки стандартного отклонения и отличают его от среднего арифметического.
- Строят таблицу вычислений «значение — отклонение — квадрат отклонения».
- Анализируют влияние отдельного значения на разброс числового набора.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью числового набора и интерпретируют результат.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий и объясняют смысл полученного числа.
- Аргументируют выбор набора с меньшим или большим разбросом.
- Корректно предлагают исправление ошибки партнёру, опираясь на критерии, а не на личную оценку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя числовыми наборами: A: 6, 8, 10, 12, 14 и B: 9, 9, 10, 11, 11.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать чек-лист алгоритма вычисления стандартного отклонения — по одному на ученика.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной карточке на пару.
- Разместить на доске памятку: «среднее → отклонения → квадраты → среднее квадратов → корень → вывод».
- Подготовить калькуляторы по одному на пару или разрешить использование калькулятора на телефоне только на этапе проверки.
- Подготовить лист самооценки с тремя утверждениями: «Я могу найти среднее», «Я могу применить алгоритм», «Я могу объяснить смысл результата».
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и таймер на 3–5 минут.
- Проверить, что на экране или доске помещаются формула, таблица вычислений и критерии оценивания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую проблему и показать необходимость показателя разброса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске два набора результатов тренировочных бросков: A: 6, 8, 10, 12, 14; B: 9, 9, 10, 11, 11. «Представьте, что это результаты двух спортсменов. Средний результат у обоих одинаковый или почти одинаковый. Кого вы назвали бы более стабильным? Пока не вычисляйте, просто объясните первое впечатление». | Читают два набора, сравнивают значения и предполагают: «У второго спортсмена результаты ближе друг к другу, значит, он стабильнее». Записывают букву выбранного набора на стикере. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем обсудите его с соседом и приведите один числовой аргумент. Нам нужно не только выбрать набор, но и придумать способ измерить разброс». | 30 секунд размышляют индивидуально, затем обсуждают в парах. Предлагают аргументы: «В наборе A есть отклонения от среднего на 4 единицы, а в наборе B — не больше единицы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одного среднего значения недостаточно: два набора могут иметь близкие средние, но разную устойчивость. Сейчас выясним, как численно измерить такой разброс».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать среднее арифметическое и отклонение от среднего, зафиксировать затруднение в сравнении разброса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с набором 6, 8, 10, 12, 14. «Найдите среднее арифметическое и два отклонения: для 6 и для 14. Объясните, почему сумма всех отклонений от среднего равна нулю». Учитель просит одну пару записать вычисления на доске. | Выполняют вычисления: $\bar{x}=10$, отклонения крайних значений равны $-4$ и $4$. Объясняют: «Положительные и отрицательные отклонения взаимно компенсируются». |
3 мин | Учитель предлагает вопрос: «Можно ли просто сложить отклонения, чтобы получить меру разброса? Почему такой способ не сработает? Как преобразовать отклонения, чтобы знак не мешал сравнению?» Учитель фиксирует версии учеников. | Отвечают: «Сумма всегда будет нулевой, поэтому нужно возвести отклонения в квадрат или взять их модули». Формулируют затруднение: «Нужно получить одно неотрицательное число, учитывающее все отклонения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить отклонения, но их сумма не показывает разброс. Значит, нам нужен новый показатель, который учитывает квадраты отклонений и возвращается к исходным единицам измерения».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске незавершённую схему: «среднее → отклонения → ? → ? → показатель разброса». «Какую цель поставим на урок? Какие действия помогут получить одно число, характеризующее разброс? Выберите, что вам удобнее: работать по готовым шагам или восстановить алгоритм по образцу». | Формулируют цель: «Научиться находить стандартное отклонение и использовать его для сравнения наборов». Предлагают план: найти среднее, вычислить отклонения, возвести их в квадрат, найти среднее квадратов и извлечь квадратный корень. Выбирают способ работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена, а порядок действий мы почти восстановили. Теперь проверим его на конкретном наборе и объясним, почему каждый шаг необходим».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить алгоритм вычисления стандартного отклонения на простом числовом наборе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт таблицу для набора 8, 10, 12. «Работаем в парах. Сначала найдите среднее. Затем заполните три столбца: значение, отклонение от среднего, квадрат отклонения. Не переходите к следующему столбцу, пока не проверите предыдущий». Учитель напоминает: «Квадрат отрицательного числа положителен». | Заполняют таблицу: среднее равно 10; отклонения равны $-2$, $0$, $2$; квадраты отклонений равны $4$, $0$, $4$. Проверяют записи друг у друга. |
3 мин | Учитель спрашивает: «Что делаем с квадратами отклонений, чтобы получить общий показатель? Почему делим на количество значений? Почему после этого извлекаем корень?» На доске записывает формулу и выделяет каждый её элемент. | Отвечают: «Складываем квадраты и находим их среднее; делим на число элементов, чтобы показатель не зависел от размера набора; извлекаем корень, чтобы вернуться к исходным единицам». Записывают формулу $\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$. |
3 мин | Учитель предлагает применить алгоритм к наборам A и B из начала урока. «Не обязательно подробно записывать каждое действие для обоих наборов: один набор вычисляет левая часть класса, другой — правая. Затем обменяйтесь результатами и проверьте их калькулятором». | Вычисляют стандартные отклонения: для A $\sigma=\sqrt{8}\approx2{,}83$; для B $\sigma=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}89$. Формулируют вывод: «У набора B разброс меньше, поэтому результаты второго спортсмена стабильнее». |
Запись в тетрадях
Стандартное отклонение $\sigma$ — показатель разброса числового набора относительно среднего арифметического. Алгоритм: 1) найти среднее арифметическое; 2) найти отклонения каждого значения от среднего; 3) возвести отклонения в квадрат; 4) найти среднее квадратов отклонений; 5) извлечь квадратный корень. Чем меньше стандартное отклонение, тем ближе значения к среднему и тем стабильнее набор.
Эталон решения
Для набора B: $9,9,10,11,11$. Среднее: $\bar{x}=\frac{9+9+10+11+11}{5}=10$. Отклонения: $-1,-1,0,1,1$. Квадраты: $1,1,0,1,1$. Среднее квадратов: $\frac{4}{5}=0{,}8$. Стандартное отклонение: $\sigma=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}89$. Значения отклоняются от среднего примерно на 0,89 единицы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили не просто формулу, а понятный алгоритм: показатель показывает типичный масштаб отклонения значений от среднего. Теперь потренируемся выполнять этот алгоритм без подсказки учителя».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления и научиться находить ошибку в готовом решении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам задание: «Для набора 4, 5, 5, 6 найдите среднее арифметическое и стандартное отклонение. Заполните таблицу полностью. Один ученик выполняет вычисления, второй проверяет порядок действий; через две минуты поменяйтесь ролями». | Решают: $\bar{x}=5$, отклонения $-1,0,0,1$, квадраты $1,0,0,1$, среднее квадратов $0{,}5$, стандартное отклонение $\sqrt{0{,}5}\approx0{,}71$. Меняются ролями и сверяют шаги. |
3 мин | Учитель показывает ошибочное решение: для набора 2, 4, 6 ученик получил среднее 4, отклонения $-2,0,2$, затем написал $\sigma=\sqrt{-4/3}$. «Найдите конкретную ошибку и объясните, как её исправить». | Отмечают ошибку: отрицательные отклонения не были возведены в квадрат. Исправляют: квадраты равны $4,0,4$, поэтому $\sigma=\sqrt{8/3}\approx1{,}63$. Формулируют правило: «Стандартное отклонение не может быть отрицательным». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает только при аккуратном выполнении каждого шага. Особенно важно не перепутать отклонение и квадрат отклонения. Переходим к индивидуальной проверке».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение интерпретировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и поясняет выбор: «Базовый уровень обязателен для всех. Средний можно выбрать, если базовый выполнен уверенно. Продвинутый предназначен для тех, кто хочет исследовать влияние отдельного значения. Записывайте не только ответ, но и промежуточные шаги». | Выбирают карточку, записывают цель работы и начинают индивидуальное решение. |
5 мин | Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы, но не сообщает готовый ответ: «Какое среднее вы получили? Сколько значений в наборе? Проверили ли вы знак после возведения в квадрат?» На доске размещает чек-лист алгоритма. | Решают выбранное задание. Базовый вариант: найти стандартное отклонение набора 3, 3, 4, 5, 5. Средний: сравнить наборы 5, 5, 10, 10 и 7, 7, 8, 8. Продвинутый: объяснить, как изменится разброс набора 8, 9, 10, если заменить 10 на 20. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и организует самопроверку: «Поставьте рядом с каждым шагом знак плюс, если он выполнен верно, или вопросительный знак, если требуется исправление. Ошибку исправляйте другим цветом». | Сверяют среднее, отклонения, квадраты, деление на количество элементов, корень и итоговый вывод. Исправляют ошибки, подсчитывают количество верных шагов. |
Карточка | Задание | Ответ для самопроверки |
|---|---|---|
Базовый | Для набора 3, 3, 4, 5, 5 найдите среднее арифметическое, отклонения, квадраты отклонений, среднее квадратов и стандартное отклонение. Сформулируйте вывод. | Среднее $\bar{x}=4$; квадраты отклонений: 1, 1, 0, 1, 1; среднее квадратов $0{,}8$; стандартное отклонение $\sigma=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}89$. Значения отклоняются от среднего примерно на 0,89. |
Средний | Сравните наборы A: 5, 5, 10, 10 и B: 7, 7, 8, 8. Для каждого набора найдите среднее и стандартное отклонение. Какой набор стабильнее? | Для обоих наборов среднее равно 7,5. Для A: $\sigma=2{,}5$. Для B: $\sigma=0{,}5$. Стабильнее набор B, так как его стандартное отклонение меньше. |
Продвинутый | В наборе 8, 9, 10 замените значение 10 сначала на 11, затем на 20. Найдите стандартное отклонение каждого нового набора и объясните, как изменение удалённого от среднего значения влияет на разброс. | Для набора 8, 9, 11: среднее $\frac{28}{3}\approx9{,}33$, $\sigma\approx1{,}25$. Для набора 8, 9, 20: среднее $\frac{37}{3}\approx12{,}33$, $\sigma\approx5{,}31$. Чем дальше значение от остальных, тем больше разброс. |
Эталон решения
Для набора $3,3,4,5,5$: $\bar{x}=4$. Отклонения: $-1,-1,0,1,1$. Квадраты: $1,1,0,1,1$. Среднее квадратов: $\frac{4}{5}=0{,}8$. Стандартное отклонение: $\sigma=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}89$. Вывод: значения в среднем отклоняются от 4 примерно на 0,89.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Каждый сейчас увидел собственный уровень уверенности: кто-то безошибочно прошёл весь алгоритм, а кто-то обнаружил конкретный шаг для тренировки. Осталось связать показатель с практическим смыслом и сформулировать итог урока».
Этап 7. Применение и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: интерпретировать стандартное отклонение и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает практический вопрос: «Два ученика получили одинаковый средний балл 4, но стандартное отклонение результатов первого равно 0,4, а второго — 1,2. Кто учился стабильнее? Можно ли сказать, что больший показатель автоматически означает более высокий средний балл?» | Отвечают: «Стабильнее учился первый, потому что 0,4 меньше 1,2». Уточняют: «Стандартное отклонение говорит о разбросе, а не о величине среднего балла». |
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и задаёт вопросы «Что нового вы узнали? На каком шаге алгоритма нужна ещё практика? Какой вывод можно сделать, сравнивая два стандартных отклонения?» Завершает приёмом «Билет на выход»: «Запишите одну фразу: стандартное отклонение показывает...» | Заполняют лист самооценки, формулируют ответ: «Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем значения отклоняются от среднего». Отмечают зелёным, жёлтым или красным уровень уверенности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились измерять разброс числового набора и проверили, что маленькое стандартное отклонение означает большую близость значений к среднему. Теперь оформим результаты, критерии и домашнюю практику».
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать критерии успешной работы и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии проверки: «Выберите уровень осознанно. В любом варианте обязательны среднее, отклонения, квадраты отклонений, итоговый корень и содержательный вывод. Если используете калькулятор, сначала запишите математическую модель». | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы по формату записи и отмечают, какой шаг алгоритма будут проверять особенно внимательно. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все этапы вычисления в самостоятельной работе, записаны промежуточные действия, стандартное отклонение округлено разумно, сформулирован корректный вывод о разбросе.
- «4» — алгоритм в целом применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание смысла показателя.
- «3» — найдено среднее и выполнена значительная часть алгоритма, но допущены две ошибки или отсутствует полноценная интерпретация результата; ученик может исправить решение по чек-листу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает стандартное отклонение числового набора? | Проверка понимания смысла показателя, а не только механического применения формулы. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня могли ошибиться? | Выявление точек затруднения: среднее, знак отклонения, квадрат, деление или корень. |
Какой набор имеет меньший разброс: с отклонением 0,6 или с отклонением 1,8? Почему? | Проверка умения сравнивать показатели и аргументировать ответ. |
Что вы будете проверять в решении в первую очередь на следующем уроке? | Формирование навыка самоконтроля и личного плана коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить стандартное отклонение и увидели, что оно показывает степень разброса значений вокруг среднего. Запомните: сначала нужно аккуратно найти среднее, затем работать с отклонениями и только после этого извлекать корень. Типичная ошибка — оставить отрицательные отклонения без возведения в квадрат или забыть разделить сумму квадратов на число значений. На следующем уроке мы продолжим анализировать наборы данных и будем использовать несколько статистических показателей одновременно».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение стандартного отклонения числовых наборов из 4–6 целых чисел, близких по величине к среднему. Для каждой задачи записать все этапы алгоритма и итоговый вывод. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на среднее, квадраты отклонений и неотрицательность результата. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на сравнение двух числовых наборов с одинаковым средним: вычислить стандартные отклонения и определить, какой набор более стабильный. | Формирует умение интерпретировать показатель; проверить наличие сравнения и содержательного вывода, а не только двух чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных числовых набора по 5 значений с одинаковым средним, но разным стандартным отклонением. Выполнить вычисления и объяснить, как расположение значений влияет на разброс. | Развивает исследовательское и творческое мышление; проверить корректность собственных данных, вычислений и объяснения зависимости. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти среднее арифметическое набора? Почему сумму отклонений нельзя использовать как показатель разброса? Зачем возводить отклонения в квадрат? Что означает маленькое стандартное отклонение? В каких единицах измеряется стандартное отклонение?»
