Предмет: Вероятность и статистика
Тема: Классические модели теории вероятностей: монета и игральная кость
Класс: 8 класс
Тип урока: открытие нового знания
Преподаватель: Хажи-Алиева Марха
Дата: 22.09.2026
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют классическую модель равновероятного опыта и научатся вычислять вероятность выпадения заданного результата при подбрасывании симметричной монеты и бросании стандартной игральной кости, решив не менее 4 из 5 практических заданий.
- Образовательная задача: ввести понятия равновероятных исходов, элементарного события, благоприятного исхода и классической вероятности события.
- Развивающая задача: сформировать умение выделять множество возможных исходов, подсчитывать общее число исходов и выбирать благоприятные исходы в практических ситуациях.
- Метапредметная задача: развивать навыки анализа условия, построения математической модели, проверки результата с помощью эксперимента и цифрового инструмента.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений, готовность аргументировать выводы и уважительно обсуждать результаты одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют познавательный интерес к описанию случайных явлений через математические модели.
- Осознают значение точного расчёта вероятности в играх, принятии решений, статистике и будущей профессиональной деятельности.
- Принимают необходимость проверки гипотезы опытом и корректно относятся к результатам, отличающимся от ожидаемых.
- Развивают самостоятельность при выборе способа проверки решения и формулировании личного вывода.
Метапредметные
- Умеют извлекать из условия информацию о числе всех возможных и благоприятных исходов.
- Строят простую математическую модель опыта с монетой или игральной костью и сопоставляют теоретическую вероятность с результатами серии испытаний.
- Формулируют предположение, проверяют его вычислением и цифровым экспериментом, выявляют причины расхождения результатов.
- Участвуют во фронтальном обсуждении, кратко объясняют ход рассуждения и используют математическую терминологию.
- Осуществляют самоконтроль по алгоритму и фиксируют затруднение, возникшее при решении задачи.
Предметные
- Знать, что при классической модели все элементарные исходы опыта равновероятны.
- Понимать смысл формулы вероятности события как отношения числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов.
- Уметь перечислять исходы броска монеты и игральной кости.
- Уметь вычислять вероятности событий «выпал орёл», «выпало чётное число», «выпало число больше 4» и аналогичных событий.
- Уметь проверять теоретический результат серией практических или цифровых испытаний и объяснять естественное расхождение частоты и вероятности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться предсказывать вероятность простого случайного события.
- Осознают связь математической модели с честными играми, статистическими прогнозами и повседневными решениями.
- Проявляют готовность признавать ошибку в подсчёте и корректировать собственное рассуждение.
- Оценивают собственную уверенность в применении формулы вероятности.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу после анализа практической ситуации с монетой и костью.
- Планируют решение по алгоритму: определить исходы, подсчитать общее число, выделить благоприятные исходы, составить отношение.
- Проверяют вычисления подстановкой смысла числителя и знаменателя в условие задачи.
- Сравнивают ожидаемый и полученный экспериментальный результат, объясняют расхождение.
- Осуществляют самооценку по сигналу «светофор» и формулируют, какая помощь им необходима.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки классической модели случайного опыта.
- Классифицируют исходы броска кости на чётные и нечётные, благоприятные и неблагоприятные.
- Моделируют опыт с помощью таблицы исходов, дроби, процента и серии повторений.
- Преобразуют текстовую ситуацию в математическую запись.
- Используют электронную таблицу или генератор случайных чисел для получения данных и сравнения частоты с теоретической вероятностью.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с указанием события, общего числа исходов и числа благоприятных исходов.
- Задают уточняющие вопросы о том, какие исходы считаются равновероятными.
- Участвуют во фронтальном обсуждении и аргументированно принимают или опровергают гипотезу.
- Слушают объяснение одноклассника и корректно указывают место возможной ошибки.
- Используют математические термины «исход», «событие», «благоприятный исход», «вероятность», «частота».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить для демонстрации симметричную монету, стандартную игральную кость и прозрачный стакан или коробку для бросков.
- Распечатать на каждого ученика карточку с алгоритмом вычисления вероятности и пятью практическими заданиями трёх уровней сложности.
- Подготовить на каждую парту по одной монете и одному игральному кубику либо организовать демонстрацию опыта перед всем классом.
- Подготовить на доске или первом экране тему урока, проблемный вопрос «Почему результат одного броска случаен, а вероятность можно вычислить заранее?» и формулу P(A)=m/n.
- Создать электронную таблицу или открыть безопасный генератор случайных чисел для серии бросков монеты и кости; заранее проверить его работу без подключения к внешним ссылкам.
- Подготовить таблицу для фиксации результатов 20 бросков монеты и 20 бросков кости: номер опыта, результат, накопленная частота.
- Подготовить слайд с множествами исходов: {орёл, решка} и {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Подготовить карточки или сигналы «зелёный — понял», «жёлтый — есть вопрос», «красный — нужна помощь» на каждого ученика.
- Использовать методические ресурсы: учебный материал по вероятности и статистике для 7–9 классов, федеральные требования к предметным результатам, собственные карточки практических заданий и электронную модель случайного опыта.
- Оборудование: компьютер учителя, проектор или интерактивная доска, доступ к локальной презентации или электронной таблице, доска, маркеры, тетради, ручки, монеты, игральные кости и секундомер.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме вычисления вероятности случайного события.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для практической работы. Сегодня нам понадобятся ещё монета и игральная кость. Мы будем не просто говорить о случайности, а проверять математическое предположение опытом. Сначала определим, можно ли заранее вычислить шанс конкретного результата." | Проверяют оборудование, записывают дату и готовятся к практической работе. |
3 мин | Учитель показывает монету и кость: "Представьте, что мы подбрасываем монету один раз. Какой результат появится? А можно ли уверенно назвать его заранее? Теперь посмотрим на игральную кость: какое число выпадет? Назвать его заранее нельзя, но можно рассчитать вероятность события. Проблемный вопрос урока: почему случайный результат нельзя предсказать точно, а вероятность можно вычислить? Запишите этот вопрос в тетрадь как задачу урока." | Предполагают: "Выпадет орёл или решка", "может выпасть любое число от 1 до 6". Формулируют различие между точным прогнозом и вероятностным прогнозом, записывают проблемный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что отдельный результат заранее неизвестен. Теперь проверим, какие знания о дробях, долях и множестве возможных результатов помогут нам перейти от догадки к расчёту."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: актуализировать представления о дроби, доле, множестве исходов и частоте результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску множества исходов: {орёл, решка} и {1, 2, 3, 4, 5, 6}. "Рассмотрите записи. Сколько всего результатов возможно при одном броске монеты? Сколько — при одном броске кости? Как записать долю одного исхода среди всех исходов? Вспомните, что показывает числитель дроби, а что показывает знаменатель." | Отвечают: "У монеты два исхода, у кости шесть". Записывают доли 1/2 и 1/6, объясняют: знаменатель показывает число всех исходов, числитель — число выбранных исходов. |
3 мин | Учитель предлагает быстро решить две ситуации: "Из шести граней кости три дают чётное число. Какую долю всех граней составляют чётные? Если в 20 бросках орёл появился 11 раз, какую частоту орла мы наблюдаем? Не смешивайте вероятность и частоту: сегодня нам важно понять их связь." Учитель фиксирует ответы на доске и просит назвать место возможной ошибки. | Решают устно: 3/6=1/2 и 11/20. Формулируют, что вероятность относится к модели до опыта, а частота описывает уже полученные результаты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем считать долю выбранных результатов и отличаем частоту от вероятности. Но пока не сформулировали общий алгоритм. Сейчас поставим цель и выведем его на конкретных опытах."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать правило классической вероятности через анализ равновероятных исходов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует две карточки: «выпал орёл» и «выпало число больше 4». "Сравните события. В первом опыте всего два равноправных исхода, во втором — шесть. Что нужно узнать, чтобы вычислить вероятность выбранного события? Попробуйте сформулировать план: что считаем сначала, что затем?" | Предлагают план: перечислить все исходы, найти благоприятные исходы, разделить число благоприятных исходов на число всех исходов. |
2 мин | Учитель обобщает ответы: "Сегодня мы научимся распознавать классическую модель, считать число всех равновероятных исходов и находить вероятность события. После этого проверим расчёт серией бросков и электронной моделью. К концу урока вы должны уметь объяснить не только ответ, но и почему именно такая дробь получилась." | Записывают цель урока и критерий успеха: могу перечислить исходы, выделить благоприятные, вычислить вероятность и сравнить её с частотой опыта. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от практического опыта перейти к математической модели. Начнём с монеты, где множество исходов невелико и легко проверяется экспериментом."
Этап 4. Открытие нового знания через практику и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу классической вероятности и применить её к монете и игральной кости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает монету и говорит: "У симметричной монеты два исхода: орёл и решка. При честном броске они считаются равновероятными. Событию «выпал орёл» благоприятствует один исход из двух. Поэтому вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов: P(A)=m/n. Здесь m=1, n=2, значит P(орёл)=1/2." | Записывают в тетрадь множество исходов, значения m и n, формулу P(A)=m/n и вывод P(орёл)=1/2. |
3 мин | Учитель переходит к кости: "Перечислим исходы броска: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Рассмотрим событие «выпало число больше 4». Благоприятные исходы — 5 и 6, их два. Всего исходов шесть. Какую вероятность получим? А если событие — «выпало чётное число», какие исходы нужно выбрать?" | Отвечают: для события «число больше 4» благоприятны 5 и 6, поэтому P=2/6=1/3. Для чётного числа выбирают 2, 4, 6 и получают P=3/6=1/2. |
4 мин | Учитель запускает на экране электронную модель 20 бросков монеты и предлагает сравнить теорию с опытом: "В модели результат каждого броска случаен. Посмотрите, сколько раз появился орёл. Полученная частота может быть не равна 1/2 — это не ошибка. Повторим опыт 100 раз и посмотрим, станет ли частота ближе к 1/2. Затем проведём 100 бросков кости и оценим частоту события «выпало чётное число»." | Наблюдают таблицу результатов, считают число орлов и частоту орла, сравнивают её с 1/2. Для кости фиксируют число чётных результатов и сравнивают частоту с 1/2, формулируют: при увеличении числа испытаний частота обычно приближается к теоретической вероятности. |
Запись в тетрадях
Классическая модель применяется, когда все элементарные исходы опыта равновероятны. Вероятность события A вычисляется по формуле: \(P(A)=\frac{m}{n}\), где \(n\) — число всех равновозможных исходов, а \(m\) — число исходов, благоприятных событию A. Для честной монеты: \(P(\text{орёл})=\frac{1}{2}\). Для игральной кости: \(P(\text{чётное число})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу не из готового правила, а из подсчёта исходов и проверили её цифровым экспериментом. Теперь применим алгоритм к нескольким событиям и проговорим каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление: «Алгоритм на доске» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления вероятности в ходе фронтального решения практических задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "Бросают стандартную игральную кость один раз. Найдите вероятность события A: выпало число меньше 3. Сначала назовите все исходы, затем благоприятные. Не называйте только дробь — объясните, откуда взялись числитель и знаменатель." | Перечисляют исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6; выделяют 1 и 2; записывают m=2, n=6, P(A)=2/6=1/3; формулируют полный ответ. |
2 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Монету подбрасывают один раз. Найдите вероятность события B: выпала решка. Что изменится, если вместо события «решка» рассмотреть событие «орёл или решка»?" Учитель обращает внимание на событие, которому благоприятны все исходы. | Записывают P(решка)=1/2. Для события «орёл или решка» указывают два благоприятных исхода из двух и получают P=2/2=1. |
2 мин | Учитель предлагает устную проверку: "Для броска кости назовите вероятность события «выпало число 7». Можно ли считать его благоприятным исходом? А вероятность события «выпало число не больше 6»? Объясните ответы через множество исходов." | Отвечают: число 7 не является исходом броска, поэтому вероятность равна 0; все исходы не больше 6, поэтому вероятность равна 1. |
Эталон решения
Для события A: «выпало число меньше 3» множество всех исходов: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), поэтому \(n=6\). Благоприятные исходы: \(\{1,2\}\), поэтому \(m=2\). Тогда \(P(A)=\frac{m}{n}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Ответ: \(\frac{1}{3}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает одинаково: сначала перечисляем все исходы, затем выделяем благоприятные, после этого составляем и сокращаем дробь. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно и выберет уровень задания по своей уверенности."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание 1, затем выберите одно из заданий 2 или 3. Записывайте не только ответ, но и множество исходов, число благоприятных исходов и формулу. Задание 1: при броске кости найдите вероятность события «выпало число, делящееся на 3». Задание 2: найдите вероятность события «выпало нечётное число». Задание 3: монету подбрасывают два раза; перечислите возможные последовательности и найдите вероятность события «орёл выпал ровно один раз»." | Индивидуально решают задания. Для задания 1 выбирают исходы 3 и 6; для задания 2 — 1, 3, 5; для задания 3 строят множество последовательностей и выделяют «орёл–решка» и «решка–орёл». |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Проверьте три позиции: перечислены ли все исходы, верно ли найдено m, правильно ли сокращена дробь. Отметьте зелёным полностью верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно исправить. Если получили другой ответ, сначала найдите расхождение в множестве исходов, а не переписывайте решение целиком." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают затруднение в листе самооценки. По желанию объясняют классу, почему в опыте с двумя бросками монеты всего четыре последовательности. |
Эталон решения
Для события «число делится на 3»: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), благоприятные исходы \(\{3,6\}\). Поэтому \(P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Для события «нечётное число»: благоприятные исходы \(\{1,3,5\}\), поэтому \(P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\). При двух бросках монеты \(\Omega=\{ОО, ОР, РО, РР\}\). Ровно один орёл выпадает в исходах ОР и РО, поэтому \(P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок возникло бы не в сокращении дроби, а при неполном перечислении исходов. Мы научились проверять себя по смыслу числителя и знаменателя. Осталось связать расчёт с реальной ситуацией и сформулировать, чему мы научились."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученный способ, связать вероятность с частотой и выявить уровень освоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает фронтальный мини-кейс: "В игре участник бросает кость и получает балл, если выпало число больше 4. Стоит ли считать игру честной, если приз связан только с числами 5 и 6? Какова вероятность получить балл? А если приз дают за чётное число? Обоснуйте ответ не личным впечатлением, а подсчётом исходов." | Рассуждают: для чисел 5 и 6 вероятность 2/6=1/3; для чётного числа вероятность 3/6=1/2. Делают вывод, что вероятность позволяет сравнить условия игры. |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и «Билет на выход»: "Покажите цвет, который отражает вашу уверенность. На листе завершите три фразы: «Я научился…», «При подсчёте вероятности важно…», «Мне нужно повторить…». Последний вопрос: почему частота при небольшой серии бросков может отличаться от вероятности?" | Показывают зелёную, жёлтую или красную карточку. Пишут ответы: «перечислять исходы и считать благоприятные», «важно не забывать общий знаменатель», «нужно повторить задачу с двумя бросками». Объясняют, что небольшая серия случайна, поэтому частота не обязана совпадать с теоретической вероятностью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от броска монеты до математической модели. Вы увидели, что случайность отдельного результата не мешает вычислять вероятность события. Теперь зафиксируем критерии оценки и домашнюю практику, чтобы способ решения стал устойчивым."
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: сообщить критерии оценивания и организовать переход к самостоятельному закреплению дома.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень и, если хотите проверить себя глубже, добавьте повышающий или дополнительный. В каждой задаче обязательно записывайте множество исходов, число всех и благоприятных исходов, формулу и краткий ответ. Перед уходом проверьте, можете ли вы объяснить, почему для честной монеты вероятность орла равна одной второй." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы и сдают билет на выход. |
