Отклонения и дисперсия числового набора
Цели и задачи
- Цель (SMART): К концу урока учащиеся смогут самостоятельно вычислять отклонения и дисперсию числового набора из 5-7 элементов, понимать смысл этих показателей как мер рассеивания данных.
- Образовательная задача: Сформировать понятия 'отклонение от среднего' и 'дисперсия', вывести алгоритм их вычисления.
- Развивающая задача: Развивать навыки анализа статистических данных и вычислительную культуру.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к точности вычислений и объективности выводов.
Планируемые результаты (УУД)
Личностные УУД
- Развитие логического мышления и критического отношения к информации.
- Понимание роли статистики в описании реальных процессов.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно ставить цели и планировать алгоритм решения статистической задачи.
- Осуществление самоконтроля в процессе вычислений по эталону.
Познавательные УУД
- Владение понятиями 'среднее арифметическое', 'отклонение', 'квадрат отклонения', 'дисперсия'.
- Умение извлекать информацию из таблиц и структурировать её для расчетов.
Коммуникативные УУД
- Умение представлять результаты расчетов и аргументировать свои выводы.
- Эффективное взаимодействие в парах при проверке результатов.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки с наборами данных для работы в группах (например, результаты прыжков в длину двух спортсменов).
- Распечатать бланки расчетных таблиц (столбцы: Число, Отклонение, Квадрат отклонения) — по 1 на ученика.
- Вывести на экран формулы среднего арифметического и дисперсии.
- Подготовить калькуляторы (если предусмотрено программой) или напомнить о правилах счета столбиком.
- Создать на доске заготовку для записи результатов сравнения двух наборов данных.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знание среднего арифметического и создать проблемную ситуацию, показывающую недостаточность этой меры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте! Представьте ситуацию: два стрелка сделали по 5 выстрелов. Первый попал: 8, 9, 10, 9, 9. Второй: 5, 10, 10, 10, 5. Давайте быстро найдем средний балл каждого. Что вы заметили?" | Считают устно: (8+9+10+9+9)/5 = 9 и (5+10+10+10+5)/5 = 9. Отвечают: "Средние баллы одинаковые, но результаты разные. Первый стреляет стабильнее, а второй — разбросанно". |
3 мин | "Верно! Среднее арифметическое не показывает 'разброс' или 'кучность'. Как нам математически описать эту разницу в стабильности? Сегодня мы научимся это делать с помощью отклонений и дисперсии." | Записывают тему урока в тетрадь: 'Отклонения и дисперсия числового набора'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного среднего значения мало для характеристики данных. Нам нужна мера рассеивания."
Этап 2. Открытие нового знания: Отклонения (10 мин)
Цель этапа: ввести понятие отклонения и его свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Пусть $x$ — число из набора, а $\bar{x}$ — среднее арифметическое. Разность $(x - \bar{x})$ называется отклонением. Давайте найдем отклонения для первого стрелка (8, 9, 10, 9, 9). Среднее $\bar{x}=9$. Считаем вместе: $8-9=-1$, $9-9=0$, $10-9=1$, $9-9=0$, $9-9=0$. А теперь сложите все эти отклонения. Что получилось?" | Записывают определение отклонения. Складывают: $-1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0$. Удивляются результату. |
5 мин | "Это важное свойство: сумма отклонений любого набора всегда равна нулю. Проверьте это для второго стрелка (5, 10, 10, 10, 5) самостоятельно. Почему так происходит? Потому что среднее — это 'центр масс', отклонения в плюс и минус уравновешивают друг друга." | Считают отклонения для второго набора: $5-9=-4$, $10-9=1$, $10-9=1$, $10-9=1$, $5-9=-4$. Сумма: $-4+1+1+1-4 = -5$. Ищут ошибку, пересчитывают: (5, 10, 10, 10, 5) -> сумма 40, среднее 8! Внимательно следят за расчетами учителя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Отклонение варианта $x_i$ от среднего $\bar{x}$ равно $d_i = x_i - \bar{x}$.
Свойство: $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$.
Свойство: $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сумма отклонений всегда ноль, поэтому она не может быть мерой разброса. Чтобы избавиться от минусов, математики решили возводить отклонения в квадрат."
Этап 3. Открытие нового знания: Дисперсия (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие дисперсии и алгоритм её расчета.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений. Обозначается буквой $D$. Давайте составим алгоритм: 1) Найти среднее. 2) Найти отклонения. 3) Возвести их в квадрат. 4) Найти среднее этих квадратов. Запишем формулу на доске." | Записывают формулу: $D = \frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2}{n}$. |
8 мин | "Рассчитаем дисперсию для нашего первого стрелка. У нас были отклонения: -1, 0, 1, 0, 0. Возводим в квадрат: 1, 0, 1, 0, 0. Складываем и делим на 5. Получаем $D = 0,4$. Теперь вы сами в парах рассчитайте дисперсию для второго стрелка (5, 10, 10, 10, 5), где среднее было 8." | Работают в парах. Для набора (5, 10, 10, 10, 5) при $\bar{x}=8$: Отклонения: -3, 2, 2, 2, -3. Квадраты: 9, 4, 4, 4, 9. Сумма квадратов: 30. $D = 30 / 5 = 6$. Сравнивают: $0,4 < 6$. Делают вывод: чем больше дисперсия, тем больше разброс. |
Эталон решения
Для набора $X = \{5, 10, 10, 10, 5\}$:
1. $\bar{x} = (5+10+10+10+5)/5 = 8$
2. $d = \{-3, 2, 2, 2, -3\}$
3. $d^2 = \{9, 4, 4, 4, 9\}$
4. $D = (9+4+4+4+9)/5 = 30/5 = 6$
1. $\bar{x} = (5+10+10+10+5)/5 = 8$
2. $d = \{-3, 2, 2, 2, -3\}$
3. $d^2 = \{9, 4, 4, 4, 9\}$
4. $D = (9+4+4+4+9)/5 = 30/5 = 6$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, дисперсия — это числовой показатель 'шума' или 'разброса' в данных. Чем она меньше, тем стабильнее результат."
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка навыка расчета дисперсии на новом материале.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Решим задачу из жизни. Измерили рост пяти восьмиклассников: 160, 165, 155, 170, 150 см. Найдите дисперсию этого набора. Используйте таблицу, которую я раздал." | Заполняют таблицу: 1. Считают среднее: 160. 2. Отклонения: 0, 5, -5, 10, -10. 3. Квадраты: 0, 25, 25, 100, 100. 4. $D = (0+25+25+100+100)/5 = 250/5 = 50$. |
Этап 5. Рефлексия и домашнее задание (10 мин)
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно вычислено среднее арифметическое, все отклонения и итоговая дисперсия, расчеты оформлены в таблицу.
- "4" — алгоритм соблюден, но допущена одна вычислительная ошибка в квадратах или делении.
- "3" — верно найдены только среднее и отклонения, допущена ошибка в формуле дисперсии.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
"Чему всегда равна сумма отклонений?" | Проверка усвоения ключевого свойства отклонений. |
"Зачем мы возводим отклонения в квадрат при расчете дисперсии?" | Понимание логики математического аппарата (избавление от знака). |
"В каких единицах измеряется дисперсия, если исходные данные были в см?" | Подготовка к теме 'Стандартное отклонение' (единицы измерения — см²). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за цифрами не только средний результат, но и степень его надежности. Дисперсия — это мощный инструмент, который используют и в контроле качества на заводах, и в прогнозах погоды. На следующем уроке мы узнаем, как вернуть дисперсию к исходным единицам измерения. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Для набора чисел {2, 4, 6, 8, 10} составить расчетную таблицу и вычислить дисперсию. | Закрепление алгоритма вычисления на 'красивых' числах. |
Средний | Придумать два набора данных по 5 чисел так, чтобы у них были одинаковые средние, но дисперсия первого была в 2 раза больше второго. | Развитие понимания смысла дисперсии как меры рассеивания. |
Продвинутый | Исследование: как изменится дисперсия набора, если каждое число увеличить на 10? Проверить на любом примере. | Пропедевтика свойств дисперсии (инвариантность к сдвигу). |
