Множества, подмножества и операции над множествами. Диаграммы Эйлера
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут обозначать множества и их элементы, определять отношение принадлежности и подмножества, изображать объединение и пересечение на диаграммах Эйлера и решать задачу на подсчёт элементов двух множеств.
- Образовательная задача: ввести и использовать понятия множества, элемента множества, подмножества, объединения и пересечения.
- Развивающая задача: развивать умение переводить условие задачи в диаграмму, выделять общую часть и проверять подсчёт элементов.
- Развивающая задача: формировать навыки самостоятельной работы, самопроверки и аргументированного объяснения решения.
- Воспитательная задача: поддерживать уважительный диалог и ответственное отношение к собственной работе и результатам одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математическая модель помогает упорядочивать сведения о реальных объектах и группах людей.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ выполнения задания и отвечать за свой выбор.
- Уважительно относятся к отличающимся ответам одноклассников и проверяют выводы аргументами.
- Поддерживают учебную мотивацию через связь темы с обработкой данных в повседневной жизни и профессиях.
Метапредметные
- Извлекают из текстового условия данные о двух группах и их общей части.
- Представляют отношения между множествами с помощью кругов Эйлера и подписей.
- Планируют последовательность решения задачи на подсчёт элементов и проверяют результат.
- Сопоставляют собственное решение с эталоном, обнаруживают и исправляют ошибку.
- Аргументируют вывод в паре, используя математические обозначения и точные формулировки.
Предметные
- Знают, что множество — совокупность объектов, а каждый объект этой совокупности называется элементом множества.
- Используют обозначения принадлежности элемента множеству и включения одного множества в другое.
- Определяют объединение как множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, и пересечение как множество общих элементов.
- Изображают два множества диаграммой Эйлера и выделяют на ней объединение и пересечение.
- Решают задачу на подсчёт элементов двух множеств с учётом элементов, входящих в оба множества.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и соотносят её с умением работать с данными о группах объектов.
- Выбирают уровень дополнительного задания, оценивая собственную готовность.
- Проявляют настойчивость при поиске и исправлении ошибки в подсчётах.
- Осознают практическую ценность точной классификации объектов.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной задачи и обозначают план её достижения.
- Следуют алгоритму построения диаграммы и распределения элементов по областям.
- Сверяют ответ с эталоном и объясняют, на каком шаге возникло расхождение.
- Корректируют решение, если обнаружен повторный подсчёт общих элементов.
Познавательные УУД
- Классифицируют объекты по заданному признаку и описывают состав множества.
- Сравнивают объединение и пересечение по составу элементов и изображению.
- Моделируют условие задачи кругами Эйлера и переводят модель в числовое выражение.
- Используют смысловое чтение, выделяя числа и отношения между группами в условии.
- Проверяют подсчёт альтернативным способом — сложением частей диаграммы.
Коммуникативные УУД
- В парах распределяют роли решающего и проверяющего, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы о том, входит ли объект в каждое из множеств.
- Обосновывают расположение общих элементов и уважительно обсуждают расхождения.
- Представляют решение классу, используя понятия «объединение», «пересечение» и «подмножество».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде определения множества, элемента, подмножества, объединения и пересечения; обозначения продублировать словами.
- Подготовить демонстрационную диаграмму из двух пересекающихся кругов и отдельные цветные маркеры для выделения общей части и объединения.
- Распечатать по одной на пару карточке с классификацией школьных кружков; подготовить один экземпляр эталона для показа после обсуждения.
- Распечатать самостоятельную работу на каждого ученика, всего по числу учеников класса, и подготовить отдельный лист с ответами для самопроверки.
- Подготовить карточки трёх уровней для добровольного дополнительного задания — по одной на выбор каждого ученика.
- Подготовить стикеры двух цветов для быстрой самооценки и листочки для билета на выход — по одному на ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа диаграммы; при отсутствии оборудования начертить её заранее на доске.
- Подготовить маркеры или мел двух цветов и таймер для парной работы и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и заинтересовать проблемой двойного подсчёта при описании пересекающихся групп.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня мы будем не только узнавать новые обозначения, но и строить модель, которая помогает не запутаться в группах объектов. В конце урока вы сможете выбрать дополнительную задачу подходящего уровня». | Готовят тетради и ручки; записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: «В классе 12 учеников посещают шахматный кружок, 9 — театральный, а 4 посещают оба. Сколько учеников посещают хотя бы один кружок?» «Подумайте полминуты, затем обсудите с соседом. Почему простое сложение может дать неверный результат? Пока не называйте окончательный ответ — попробуем построить удобную модель». | Самостоятельно обдумывают условие 30 секунд, обсуждают в паре; предполагают: «Четыре ученика посчитаются дважды»; фиксируют затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одни и те же ученики могут относиться сразу к двум группам. Чтобы ответить точно, нужно научиться обозначать множества и показывать их общую часть».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о группировке объектов и выявить, какие обозначения потребуются для описания множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Назовите примеры групп объектов, которые можно описать одним признаком: например, чётные числа, города России, ученики, занимающиеся спортом. Что объединяет объекты внутри каждой группы?» Учитель записывает на доске ответы и подчёркивает общий признак. | Называют примеры: «чётные числа», «домашние животные», «ученики, изучающие музыку»; поясняют общий признак. |
3 мин | «Рассмотрим числа 2, 4 и 6 как одну группу. Если число 4 входит в эту группу, как это можно сказать словами? А если число 5 не входит? Как проверить, является ли один набор частью другого?» Учитель записывает ответы словами, не вводя пока формальную запись, и отмечает вопросы учеников. | Обсуждают в парах 1 минуту, отвечают: «4 относится к группе», «5 не относится»; предлагают сравнить состав наборов и называют затруднение: нет краткого математического обозначения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем группировать объекты по признаку, но для краткой записи и изображения отношений нужны точные понятия. Сформулируем, чему именно предстоит научиться».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу через затруднение в подсчёте пересекающихся групп и наметить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вернёмся к задаче о кружках. Если сложить 12 и 9, что произойдёт с четырьмя учениками, посещающими оба кружка? Если просто вычесть 4, кого мы посчитаем? Как показать группы так, чтобы общие участники оказались видны?» Учитель выслушивает несколько версий и рисует два непересекающихся круга. | Отвечают: «Общие ученики посчитаются два раза»; замечают, что в рисунке пока не обозначена общая область; предлагают пересечь круги. |
3 мин | «Сформулируйте цель урока так, чтобы в конце можно было проверить, достигли ли мы её. Какие шаги помогут решить задачу? Запишем план: определить, что такое множество и его элементы; научиться обозначать подмножество; построить диаграмму двух множеств; потренироваться находить объединение, пересечение и считать элементы». Учитель фиксирует формулировку на доске. | Предлагают цель: «Научиться изображать отношения между множествами и считать элементы без повторов». Записывают план и уточняют, чем объединение отличается от общей части. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: нам нужна модель и точные правила работы с ней. Начнём с основных понятий, а затем применим их к задаче о кружках».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: в совместном исследовании установить смысл понятий «множество», «элемент», «подмножество», «объединение» и «пересечение» и связать их с диаграммой Эйлера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Рассмотрим множество чётных чисел, меньших 8. Назовите все его элементы. Как кратко сообщить, что число 4 входит в множество, а число 5 не входит? Учитель записывает: $A=\{2,4,6\}$, $4\in A$, $5\notin A$. Множество — совокупность объектов, выделенных по общему условию; объекты называются элементами множества». | Называют элементы: «2, 4, 6»; читают записи: «4 принадлежит A», «5 не принадлежит A»; записывают определение и пример. |
3 мин | Учитель показывает два множества: $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{1,2\}$. «Каждый элемент B входит в A. Как описать такое отношение словами?» Учитель вводит: «Если каждый элемент B принадлежит A, то B — подмножество A», и записывает $B\subseteq A$. Затем просит проверить отношение на примере множеств чётных и натуральных чисел. | Сравнивают элементы двух множеств и формулируют: «Все элементы B есть в A, значит B — подмножество A». Записывают обозначение и приводят свой пример. |
4 мин | Учитель чертит два пересекающихся круга и подписывает их A и B. «Объединение $A\cup B$ содержит элементы, принадлежащие A или B, в том числе общие. Пересечение $A\cap B$ содержит только элементы, принадлежащие одновременно A и B. Покажите на схеме, где объединение, а где пересечение. Какая часть будет общей?» Учитель выделяет объединение одним цветом, пересечение другим. | Показывают на диаграмме область обоих кругов и общую линзу; отвечают: «Объединение — оба круга целиком, пересечение — общая часть»; переносят обозначения в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Множество — совокупность объектов; объекты множества называются его элементами.
- $x\in A$ означает, что элемент $x$ принадлежит множеству $A$; $x\notin A$ — не принадлежит.
- $B\subseteq A$, если каждый элемент $B$ является элементом $A$.
- $A\cup B$ — объединение: элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств; $A\cap B$ — пересечение: элементы, принадлежащие обоим множествам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть и язык множеств, и графическая модель. Проверим, получится ли с их помощью корректно решить исходную задачу и не посчитать участников дважды».
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (6 мин)
Цель этапа: применить диаграмму Эйлера к жизненной задаче, связанной с обработкой данных и сбором сведений о группах учеников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем в парах. Условие полностью: в классе 12 учеников посещают шахматный кружок, 9 — театральный, 4 ученика посещают оба кружка. Сколько учеников посещают хотя бы один кружок? Сначала подпишите круги, затем внесите в общую часть число общих участников, а после заполните остальные области. Один из вас строит схему, второй проверяет, чтобы общие участники не были посчитаны дважды». | Строят диаграмму: в пересечении ставят 4; только в шахматном кружке — $12-4=8$; только в театральном — $9-4=5$. Складывают области: $8+4+5=17$; объясняют, что посещают хотя бы один кружок 17 учеников. |
2 мин | «Сверьте ответ с моделью на доске. Где здесь объединение? Почему нельзя сложить 12 и 9 без поправки? Такая же задача возникает при анализе опросов, например при подсчёте людей, использующих два вида транспорта или два цифровых сервиса». | Сверяют области схемы, формулируют: «В объединении учитываем каждого ученика один раз»; называют пример применения при обработке результатов опроса. |
Эталон решения
Обозначим шахматный кружок множеством $A$, театральный — множеством $B$. В пересечении $A\cap B$ находятся 4 ученика. Только шахматный кружок посещают $12-4=8$ учеников; только театральный — $9-4=5$. Тогда в объединении $A\cup B$ находятся $8+4+5=17$ учеников. Проверка: $12+9-4=17$, поскольку общих участников при сложении размеров множеств вычитаем один раз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Диаграмма помогла выделить три непересекающиеся области и получить ответ 17. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет применять обозначения и выполнять подсчёт».
Этап 6. Самостоятельная работа «Операции над множествами» (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание принадлежности, подмножества, объединения, пересечения и подсчёта элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждому карточку и говорит: «Работайте самостоятельно. В заданиях 1–3 всем нужно выполнить обязательную часть; затем выберите дополнительное задание по готовности. Объяснения можно записывать коротко, но диаграмму и вычисления показывайте. Через семь минут появится эталон для самопроверки». | Получают карточки, читают условия и выбирают порядок выполнения. |
7 мин | На карточке: 1) $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ — выпишите $A\cup B$ и $A\cap B$. 2) Для $C=\{2,4\}$ и $D=\{1,2,3,4,5\}$ определите, верно ли $C\subseteq D$, и обоснуйте. 3) В школьном опросе 16 учеников выбрали настольные игры, 11 — головоломки, 5 — оба варианта. Сколько выбрали хотя бы один вариант? Начертите диаграмму. Дополнительно: придумайте два множества, у которых пересечение состоит из двух элементов. Учитель следит за временем и не подсказывает ответ, задаёт только вопросы о ходе решения. | Самостоятельно записывают: $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, $A\cap B=\{3,4\}$; обосновывают $C\subseteq D$; строят диаграмму, находят только настольные игры: 11, только головоломки: 6, объединение: 22. При желании выполняют дополнительное задание. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: «Проверьте каждое задание другим цветом. Если нашли ошибку, не стирайте первоначальный ответ: поставьте рядом исправление и подпишите, на каком шаге изменили решение. Покажите цветной стикер: зелёный — уверен, жёлтый — хочу разобрать один шаг, красный — нужна помощь». | Сверяют ответы с эталоном, исправляют ошибки и поднимают стикер выбранного цвета. |
Эталон решения
1) Элементы обоих множеств без повторов: $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Общие элементы: $A\cap B=\{3,4\}$. 2) $C\subseteq D$, поскольку 2 и 4 входят в $D$. 3) В пересечении 5 учеников; только настольные игры выбрали $16-5=11$, только головоломки — $11-5=6$. Объединение содержит $11+5+6=22$ ученика, или $16+11-5=22$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие действия уже получаются уверенно, а где важно не торопиться. Завершим урок самооценкой и проверим, можем ли мы сформулировать главный способ решения своими словами».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные понятия, выявить оставшиеся затруднения и зафиксировать посильную траекторию домашней практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Заполните билет на выход. Первое: своими словами объясните, чем пересечение отличается от объединения. Второе: назовите шаг, который помог не посчитать участника двух кружков дважды. Третье: отметьте, что пока требует тренировки. Сдайте листок при выходе — по ответам я подготовлю начало следующего урока». | Индивидуально записывают ответы: «Пересечение — общие элементы, объединение — элементы хотя бы одного множества»; называют вычитание общих элементов или распределение по областям диаграммы; указывают затруднение. |
3 мин | Учитель показывает варианты домашней работы: «Обязательный уровень выполняют все. Повышающий и дополнительный можно выбрать по готовности; если сомневаетесь, начните с базового и решите, готовы ли добавить ещё одно задание. Перед выходом ответьте устно: если в двух группах есть общие участники, где они находятся на диаграмме?» | Записывают выбранный вариант домашней работы; отвечают: «В пересечении кругов»; сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три обязательных задания самостоятельной работы, правильно записаны объединение и пересечение, обосновано включение подмножества, диаграмма и подсчёт не содержат ошибок.
- «4» — верно выполнены два из трёх обязательных заданий; допущена не более чем одна ошибка в обозначениях или подсчёте, которую ученик исправил при самопроверке.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно обязательное задание; ученик распознаёт общую часть или принадлежность, но нуждается в подсказке при полном подсчёте по диаграмме.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем объединение множеств отличается от их пересечения? | Проверить осознание смыслового различия операций. |
Как на диаграмме Эйлера найти участников, входящих сразу в две группы? | Проверить понимание расположения общих элементов. |
На каком шаге задачи на подсчёт вы проверяли себя особенно внимательно? | Выявить возможные затруднения в алгоритме решения. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценить субъективную уверенность и самостоятельность выбора. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы познакомились с множеством, его элементами и подмножеством, а также научились различать объединение и пересечение. Мы увидели, что диаграмма Эйлера помогает наглядно представить группы и не учитывать общие элементы дважды. Типичная ошибка — сложить количества двух групп, не вычтя участников пересечения. Проверьте дома, что можете объяснить эту поправку не только формулой, но и по диаграмме. На следующем уроке продолжим применять множества к задачам на сбор и анализ данных».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания: выписать объединение и пересечение двух конечных множеств; определить, является ли одно множество подмножеством другого; построить диаграмму для двух групп и указать общую часть. | Закрепить определения и обозначения; проверить, что общие элементы не повторяются в объединении. |
Средний (повышающий) | Решить 2 текстовые задачи на подсчёт элементов двух пересекающихся групп, в каждой построить диаграмму и записать вычисления двумя способами. | Закрепить перевод текстового условия в модель и проверку результата формулой подсчёта. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать жизненную задачу об опросе или двух видах занятий с непустым пересечением, подобрать согласованные числа, построить диаграмму и подробно объяснить решение. | Развивать математическое моделирование, самостоятельное конструирование задачи и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: что означает $x\in A$? Какое условие нужно выполнить, чтобы $B$ было подмножеством $A$? Где на диаграмме находится $A\cap B$ и почему при подсчёте объединения общую часть учитывают только один раз?
