Дерево вероятностей и операции над событиями
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться представлять двухшаговый случайный эксперимент в виде дерева, различать независимые и несовместные события и применять правила умножения и сложения вероятностей в простых задачах.
- Сформировать представление о дереве исходов, условной вероятности, объединении и пересечении событий, противоположном событии и диаграмме Эйлера.
- Научиться выбирать подходящую формулу для нахождения вероятности события и обосновывать последовательность решения.
- Развивать умение анализировать условие, строить математическую модель, проверять результат и объяснять его одноклассникам.
- Воспитывать ответственное отношение к обоснованию выводов, готовность сотрудничать и уважать различные стратегии решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к вероятностным моделям, связанным с играми, исследованиями и практическими решениями.
- Осознают необходимость аргументировать выводы, а не ограничиваться интуитивным предположением.
- Принимают право одноклассника на другой способ рассуждения при условии его математического обоснования.
- Оценивают собственную готовность применять формулы вероятности в новой ситуации.
Метапредметные
- Извлекают из условия существенную информацию и представляют её в виде дерева исходов, таблицы или диаграммы.
- Сравнивают события по признакам независимости и совместимости, устанавливают связи между понятиями.
- Планируют решение, выбирают формулу, выполняют самопроверку и корректируют ошибочный шаг.
- Формулируют ответ, используют математическую терминологию и аргументируют решение в паре или группе.
Предметные
- Знать смысл условной вероятности, независимых, несовместных, противоположных событий, объединения и пересечения событий.
- Уметь строить дерево исходов двухшагового случайного эксперимента и находить вероятности конечных ветвей.
- Уметь применять правило умножения для независимых событий и формулу сложения для несовместных и совместных событий.
- Уметь использовать диаграммы Эйлера для изображения объединения и пересечения событий.
- Уметь находить вероятность противоположного события по формуле $P(\overline{A})=1-P(A)$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение задачи и оценивают, какой способ представления информации оказался наиболее понятным.
- Формируют смыслообразование через связь вероятностных рассуждений с анализом данных и будущими профессиональными задачами.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа оформления решения.
- Осознают ценность точного языка при описании неопределённых ситуаций.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют последовательность действий для решения вероятностной задачи.
- Планируют построение дерева или диаграммы до выполнения вычислений.
- Сверяют ответ с условием и оценивают, лежит ли вероятность в пределах от 0 до 1.
- Обнаруживают ошибку в выборе формулы и исправляют её по критериям самопроверки.
Познавательные УУД
- Моделируют случайный эксперимент с помощью дерева исходов и диаграммы Эйлера.
- Выделяют признаки независимых и несовместных событий, сравнивают области пересечения и объединения.
- Преобразуют текстовую информацию в формулу, схему и таблицу вероятностей.
- Устанавливают причинно-следственную связь между условием задачи и выбором правила умножения или сложения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе: читатель условия, построитель схемы, вычислитель, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о смысле события и выбранной формуле.
- Объясняют решение, используя термины «пересечение», «объединение», «условная вероятность».
- Сравнивают решения и корректно формулируют замечания по критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску со схемой двух подбрасываний монеты, пустым деревом исходов и двумя пересекающимися кругами Эйлера.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить цветные маркеры и стикеры двух цветов для обозначения событий, объединения и пересечения.
- Распечатать для каждой пары лист с таблицей: «Событие — схема — подходящая формула — ответ».
- Подготовить карточку с памяткой: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ для независимых событий, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, $P(\overline{A})=1-P(A)$.
- Вывести на доску проблемную ситуацию: «Из урны дважды достают шар с возвращением. Как найти вероятность получить ровно один красный шар?».
- Подготовить таймер, маркеры для доски и листы для билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Организовать рабочие места для пар и заранее обозначить на доске три маршрута выбора: обязательный, повышающий и дополнительный.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практический смысл моделирования случайного эксперимента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора или устного счёта. Сегодня вы сможете выбрать обязательный или повышенный маршрут задания. Важно не угадать ответ, а показать, почему он верен." | Проверяют готовность, записывают дату, занимают места в парах. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В урне лежат красные и синие шары. Мы дважды достаём шар с возвращением. Как быстро перечислить все варианты и найти вероятность получить ровно один красный шар? Можно считать перебором, а можно построить модель. Какой способ будет надёжнее?" Учитель называет приём «Проблемный вопрос». | Высказывают предположения: "Нужно перечислить варианты КК, КС, СК, СС"; "Удобно нарисовать ветви". Формулируют затруднение: "Нужно учитывать оба шага эксперимента". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что случайный эксперимент можно представить не только списком исходов, но и схемой последовательных выборов. Сейчас выясним, как такая схема помогает применять правила вероятности."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить базовые понятия вероятности и подготовить учащихся к открытию новых правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам лист «Событие — вероятность»: "Вспомните, что называют случайным событием, достоверным и невозможным событием. Запишите по одному примеру. Затем сравните ответы с соседом." | Индивидуально записывают определения, затем обсуждают в парах и формулируют: "Случайное событие может произойти или не произойти; достоверное произойдёт всегда; невозможное не произойдёт никогда". |
3 мин | Учитель записывает на доске события для броска кубика: $A$ — выпало чётное число, $B$ — выпало число больше 4. Спрашивает: "Какие исходы входят в каждое событие? Есть ли общий исход? Как найти вероятность каждого события?" | Записывают $A=\{2,4,6\}$, $B=\{5,6\}$, называют общий исход 6 и находят $P(A)=\frac{3}{6}$, $P(B)=\frac{2}{6}$. Отмечают, что события могут пересекаться. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что событие состоит из исходов и что два события могут иметь общую часть. Теперь построим модель последовательного эксперимента и увидим, как связаны отдельные ветви дерева."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при вычислении вероятности составного события и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к задаче об урне: "Пусть вероятность красного шара при одном извлечении равна $0{,}6$, а синего — $0{,}4$. Как найти вероятность последовательности «красный, затем синий»? Сложить $0{,}6$ и $0{,}4$ или выполнить другое действие? Объясните выбор." | Предполагают: "Нужно умножить, потому что должны произойти оба шага"; часть учеников называют $0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24$, но пока не могут полно объяснить правило. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске два вопроса: "Как изображать последовательные исходы? Как выбирать между сложением и умножением?" Затем предлагает сформулировать цель: "Закончите фразу: сегодня я научусь..." | Формулируют цель: "строить дерево исходов", "находить вероятность пересечения и объединения событий", "различать независимые и несовместные события". Записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: нам нужно отличать последовательное наступление событий от выбора одного из событий. Построим инструменты, которые сделают это различие видимым."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: открыть способы представления составного эксперимента и вывести правила умножения и сложения вероятностей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует пустое дерево: "Начальная точка имеет две ветви: красный и синий шар. От каждой ветви проведём второй шаг. Получаем четыре конечных исхода: КК, КС, СК, СС. Вероятность каждой ветви первого шага равна $0{,}6$ или $0{,}4$, а вероятность конечного пути получается умножением вероятностей ветвей. Почему?" | В парах дорисовывают дерево, подписывают вероятности ветвей и конечных путей: $P(КК)=0{,}36$, $P(КС)=0{,}24$, $P(СК)=0{,}24$, $P(СС)=0{,}16$. Формулируют: "Для последовательности нужны оба исхода, поэтому вероятности перемножаются". |
4 мин | Учитель вводит понятие независимости: "Если результат первого извлечения с возвращением не меняет состав урны, второе извлечение не зависит от первого. Для независимых событий действует правило умножения: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Если результат первого шага меняет условия второго, используем условную вероятность: $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$." | Записывают определения и формулы. На примере объясняют: "$P(B|A)$ — вероятность события B при условии, что A уже произошло". Сравнивают извлечение с возвращением и без возвращения. |
4 мин | Учитель рисует два пересекающихся круга Эйлера: "Пересечение $A\cap B$ — общая часть, то есть произошли оба события. Объединение $A\cup B$ — всё, что относится хотя бы к одному событию. Поэтому при пересечении кругов общую часть нельзя посчитать дважды: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Если события несовместны, их общая часть пуста и формула упрощается: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$." | На стикерах отмечают область пересечения и объединения. Записывают формулы, приводят пример несовместных событий: "При броске кубика выпадет 2 или 5". Записывают формулу противоположного события: $P(\overline{A})=1-P(A)$. |
Запись в тетрадях
- Дерево исходов показывает последовательные шаги случайного эксперимента.
- Для независимых событий: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
- Для зависимых событий: $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$.
- Для любых событий: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
- Для несовместных событий: $P(A\cap B)=0$, поэтому $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
- Для противоположного события: $P(\overline{A})=1-P(A)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть карта понятий: дерево помогает увидеть последовательность, умножение — совместное наступление, сложение — выбор хотя бы одного события, а диаграмма Эйлера показывает их отношения. Проверим эти правила на конкретных ситуациях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить выбирать модель и формулу при решении типовых задач с проговариванием рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку парам: "Решите задачу и проговорите каждый шаг. В коробке 3 белых и 2 чёрных шара. Дважды достают шар с возвращением. Найдите вероятность получить сначала белый, затем чёрный шар. Постройте нужную ветвь дерева." | Строят ветвь Б—Ч и вычисляют $P(Б\cap Ч)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{25}$. Объясняют: "С возвращением события независимы, поэтому применяем умножение". |
2 мин | Учитель предлагает задачу: "При броске кубика событие A — выпадение чётного числа, событие B — выпадение числа 5. Найдите вероятность $A\cup B$. Совместимы ли события?" | Отмечают, что события несовместны, так как один бросок не может дать одновременно чётное число и 5. Находят $P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если различаете пересечение и объединение, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если есть затруднение. Затем объясните соседу одно правило." | Показывают карточку, формулируют соседу выбранное правило и задают уточняющий вопрос при необходимости. |
Эталон решения
В задаче с шарами обозначим $A$ — первый шар белый, $B$ — второй шар чёрный. Извлечение выполняется с возвращением, значит события независимы: $P(A)=\frac{3}{5}$, $P(B)=\frac{2}{5}$. Требуется, чтобы произошли оба события, поэтому $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{25}$. Ответ: $\frac{6}{25}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились сначала переводить условие на язык событий, затем определять, требуется ли пересечение или объединение. Теперь каждый проверит, сможет ли выбрать формулу без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение правил умножения, сложения и противоположного события.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание, затем по готовности переходите к повышенному. Перед вычислением обязательно запишите, какое событие требуется найти: пересечение, объединение или противоположное событие." | Выбирают маршрут, записывают обозначения событий и план решения. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Обязательное: "Монету бросают дважды. Найдите вероятность получить хотя бы один орёл." Повышенное: "В урне 4 красных и 3 синих шара. Два шара достают без возвращения. Найдите вероятность, что оба шара красные." Дополнительное: "Известно, что $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Найдите $P(A\cup B)$." | Решают индивидуально. В обязательном задании используют противоположное событие: $P(\text{хотя бы один орёл})=1-P(\text{два решки})=1-\frac14=\frac34$. В повышенном задании получают $\frac47\cdot\frac36=\frac27$. В дополнительном получают $0{,}6+0{,}5-0{,}2=0{,}9$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Проверьте не только число, но и модель: правильно ли обозначены события, указана ли зависимость и объяснено ли, почему выбрана формула. Ошибку отметьте знаком вопроса и исправьте другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, выделяют место ошибки, записывают исправление и оценивают себя по чек-листу: обозначил событие; выбрал формулу; выполнил вычисления; записал ответ. |
Эталон решения
Для монеты событие «хотя бы один орёл» противоположно событию «оба раза решка». Поэтому $P(\text{хотя бы один орёл})=1-P(РР)=1-\frac12\cdot\frac12=1-\frac14=\frac34$. Для шаров без возвращения события зависимы: $P(КК)=\frac47\cdot\frac36=\frac27$. Для объединения событий применяем $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}6+0{,}5-0{,}2=0{,}9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что одна и та же вероятность может находиться разными способами, если правильно распознать структуру события. Осталось обобщить алгоритм и зафиксировать, что каждый из вас теперь умеет делать самостоятельно."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новые способы решения, оценить достижение цели и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту завершите три фразы: дерево нужно, когда...; умножение применяю, если...; сложение применяю, если..." | Письменно завершают фразы: "дерево нужно для последовательных шагов"; "умножение — для совместного наступления событий"; "сложение — для объединения событий". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что означает $A\cap B$? Чем несовместные события отличаются от независимых? Как найти вероятность противоположного события?" | Отвечают: "$A\cap B$ означает наступление обоих событий"; "несовместные не могут произойти одновременно, а независимые не влияют друг на друга"; "$P(\overline A)=1-P(A)$". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный уровни выполняйте по готовности. В решении обязательно обозначайте события и указывайте использованное правило." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы построили дерево случайного эксперимента, научились видеть пересечение и объединение событий и выбирать между умножением и сложением. На следующем уроке мы продолжим работать с вероятностными моделями и уделим внимание более сложным составным событиям."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три предложенные задачи или обязательная и повышенная задачи, корректно обозначены события, построена необходимая схема, формулы выбраны и обоснованы, вычисления выполнены без ошибок.
- «4» — верно решены обязательная задача и одна задача повышенного уровня, допущена несущественная вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на выбор модели.
- «3» — верно решена обязательная задача или две части из трёх, но объяснение выбора формулы неполное; основные понятия пересечения, объединения и противоположного события различаются.
- Ниже «3» — неверно определена структура события или отсутствует обоснование решения; требуется повторная работа с деревом исходов и диаграммой Эйлера.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о дереве исходов и условной вероятности? | Выявление осознания новых способов представления последовательного эксперимента. |
Как определить, применять сложение или умножение вероятностей? | Проверка понимания различия между объединением и пересечением событий. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в выборе модели и формулы. |
Насколько уверенно вы сможете решить похожую задачу самостоятельно? | Субъективная оценка готовности к переносу способа решения в новую ситуацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать случайный эксперимент в понятную математическую модель. Главное — сначала определить, что должно произойти: оба события, хотя бы одно или противоположное событие, а уже затем выбирать формулу. Помните, что независимость и несовместность — разные свойства: независимые события не влияют друг на друга, а несовместные не происходят одновременно. На следующем уроке мы продолжим решать составные вероятностные задачи и будем внимательнее анализировать условия."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: одну на построение дерева для двух бросков монеты или кубика, одну на правило умножения для независимых событий, одну на сложение вероятностей несовместных событий и одну на противоположное событие. Для каждой задачи записать обозначения событий и формулу. | Закрепляет базовый алгоритм распознавания структуры события; при проверке смотреть на корректность схемы, выбор формулы и ответ в пределах от 0 до 1. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: на извлечение двух предметов без возвращения, на объединение двух пересекающихся событий и на изображение событий диаграммой Эйлера. В одной задаче письменно объяснить смысл условной вероятности. | Формирует умение учитывать зависимость событий и не считать общую часть дважды; при проверке обращать внимание на различие пересечения и объединения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о последовательном случайном эксперименте с двумя шагами, построить дерево исходов, указать два события, найти вероятность их пересечения и объединения, а затем записать противоположное событие. Подготовить краткое объяснение решения для класса. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценивать корректность условия, полноту дерева, согласованность вероятностей и точность терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как обозначается пересечение событий? В каком случае вероятности перемножаются? Как изменяется формула сложения для несовместных событий? Чему равна вероятность противоположного события?»
