Числовые множества. Примеры множеств из алгебры и геометрии
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел, устанавливать отношения включения между ними и приводить не менее двух примеров множеств из алгебры и геометрии.
- Сформировать представление о числовых множествах $N$, $Z$, $Q$, $R$ и связи между ними.
- Научиться классифицировать числа по принадлежности одному или нескольким числовым множествам и записывать результат с помощью символов принадлежности и включения.
- Развивать умение извлекать информацию из схем, рассуждать по аналогии и аргументировать свой ответ.
- Воспитывать точность математической речи, уважение к иной точке зрения и готовность самостоятельно выбирать способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к языку математики как инструменту описания объектов науки, техники и повседневной жизни.
- Осознают ценность точной классификации объектов при решении учебных и практических задач.
- Развивают самостоятельность, принимая выбор уровня задания и оценивая собственный результат.
- Корректно воспринимают аргументы одноклассников при обсуждении принадлежности числа множеству.
Метапредметные
- Извлекают информацию из определения, таблицы и схемы вложенности числовых множеств.
- Сравнивают объекты по заданному признаку и формулируют вывод о включении одного множества в другое.
- Планируют решение классификационной задачи, проверяют результат и исправляют ошибки.
- Используют математическую символику для краткой записи рассуждений и аргументированного ответа.
Предметные
- Знать обозначения и содержательный смысл множеств натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.
- Уметь определять, принадлежит ли число множеству $N$, $Z$, $Q$ или $R$.
- Уметь устанавливать отношения $N\subset Z\subset Q\subset R$ и объяснять их на примерах.
- Уметь приводить примеры множеств из алгебры и геометрии: множество корней уравнения, множество координат точек, множество длин отрезков.
- Владеть математической речью при чтении записей вида $x\in Q$ и $A\subset B$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться быстро и обоснованно классифицировать числа.
- Осознают связь математической классификации с описанием объектов в информатике, физике и инженерии.
- Проявляют ответственное отношение к записи определений и символов.
- Оценивают собственное продвижение без сравнения себя с другими учениками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока по проблемному вопросу.
- Планируют алгоритм определения принадлежности числа множеству.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место ошибки.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром и формулируют итоговый вывод.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по нескольким признакам.
- Строят и читают модель вложенности числовых множеств.
- Преобразуют словесное описание множества в математическую запись.
- Выделяют существенные признаки рациональных и иррациональных чисел.
- Приводят контрпример, если утверждение о множествах неверно.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: объясняющий и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о способе классификации числа.
- Аргументируют ответ с помощью определения или конкретного примера.
- Согласуют общую схему и уважительно относятся к альтернативному решению.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой $N\subset Z\subset Q\subset R$, определениями множеств и примерами чисел.
- Распечатать карточки с числами $-7$, $0$, $\frac{3}{5}$, $-2{,}4$, $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{49}$ и $0{,}121212...$ — по одной карточке на парту.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые на классификацию чисел, повышающие на поиск ошибки, дополнительные на составление собственного множества.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одному мини-эталону на парту.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для построения на доске кругов числовых множеств.
- Вывести на экран изображения координатной прямой, графика функции и геометрических фигур для межпредметной связи.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Оставить на доске место для записи темы, ключевых символов и ответов на проблемный вопрос.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в деятельность и показать практический смысл классификации чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране четыре записи: $5$, $-3$, $\frac{2}{7}$, $\sqrt{2}$. «Ребята, сегодня мы начнём с короткой сортировки. Представьте, что вы проектируете программу для измерительного прибора и должны распределить числа по группам. Что общего у этих записей и чем они различаются?» | Рассматривают записи, называют числа и предполагают: «Они все являются числами, но записаны по-разному»; «Некоторые целые, а некоторые дробные или коренные». |
2 мин | Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, по какому признаку можно распределить эти числа. Важно не угадать ответ, а назвать признак». После обсуждения учитель фиксирует варианты на доске. | Сначала формулируют признак индивидуально, затем обсуждают в паре и сообщают варианты: «по наличию дробной части», «по возможности записать в виде дроби», «по расположению на числовой прямой». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одни и те же числа можно объединять по общему признаку. Сегодня мы выясним, какие числовые множества существуют и как они связаны между собой».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные представления о видах чисел и координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: «Назовите натуральные числа. Входит ли ноль в используемое нами множество натуральных чисел? Какие числа называются целыми? Как связаны положительные и отрицательные числа с координатной прямой?» Учитель отмечает на доске ответы и уточняет используемое в классе соглашение: $N=\{1,2,3,...\}$. | Отвечают: «Натуральные числа используются при счёте»; «Целые включают положительные числа, отрицательные числа и ноль»; «Чем правее точка на координатной прямой, тем больше её координата». |
3 мин | Учитель раздаёт карточки и просит определить, какие из чисел можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m\in Z$, $n\in N$. «Работайте в парах: для каждого числа назовите способ обоснования, а не только ответ». | Распределяют $4$, $-6$, $0{,}5$, $\frac{7}{9}$ и $0{,}333...$ в группу рациональных; объясняют: «Целое число можно представить как дробь со знаменателем 1», «конечная и периодическая десятичная дробь является рациональной». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили натуральные и целые числа и признак рационального числа. Но пока не ответили, куда поместить число $\sqrt{2}$ и как показать все группы одной схемой».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске утверждение: «Любое действительное число является рациональным». «Согласны ли вы с этим утверждением? Приведите аргумент или контрпример. Почему знания о рациональных числах недостаточно для классификации всех точек числовой прямой?» | Обсуждают утверждение и находят контрпример: «Нет, $\sqrt{2}$ нельзя представить в виде дроби двух целых чисел». Формулируют затруднение: «Нужно ввести более широкое множество». |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары и выберите общую формулировку, после этого две пары объединятся и составят план». Учитель фиксирует план: определить множества, построить схему, применить её к алгебре и геометрии. | Формулируют цель: «Научиться различать числовые множества и устанавливать связи между ними». Предлагают шаги: «вспомнить определения, построить схему, решить классификационные задания, привести геометрические и алгебраические примеры». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: нам нужно расширить известную систему чисел и научиться читать отношения между множествами. Переходим к открытию нового знания».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия числовых множеств и отношения их вложенности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске четыре вложенных области и комментирует: «Множество натуральных чисел обозначают $N$: $1,2,3,...$. Множество целых чисел обозначают $Z$: отрицательные числа, ноль и положительные числа. Множество рациональных чисел обозначают $Q$: числа, представимые в виде $\frac{m}{n}$, где $m\in Z$, $n\in N$. Запишите определения и следите, почему каждая следующая группа шире предыдущей». | Записывают определения, приводят примеры: $3\in N$, $-4\in Z$, $\frac{5}{8}\in Q$. Формулируют: «Каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным». |
3 мин | Учитель продолжает: «Множество действительных чисел обозначают $R$. Оно включает рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби двух целых чисел; примеры — $\sqrt{2}$ и $\pi$. Поэтому получаем цепочку $N\subset Z\subset Q\subset R$. Символ $\subset$ читается “является подмножеством”». Учитель просит прочитать цепочку двумя способами. | Читают: «$N$ является подмножеством $Z$», «все натуральные числа входят в множество целых». Записывают цепочку и объясняют её на примере числа $7$. |
3 мин | Учитель связывает тему с алгеброй и геометрией: «В алгебре мы рассматриваем множество корней уравнения. Например, множество решений уравнения $x^2=4$ есть $\{-2;2\}$. В геометрии координаты точек на прямой образуют множество действительных чисел, а длины отрезков — положительные действительные числа. Какие ещё множества встречаются в геометрии?» | Записывают примеры и предлагают: «множество вершин треугольника», «множество точек окружности», «множество длин сторон». Различают числовые и нечисловые множества: «Вершины — это точки, а длины — числа». |
Запись в тетрадях
Записать: $N=\{1,2,3,...\}$ — натуральные числа; $Z$ — целые числа; $Q$ — рациональные числа, представимые в виде $\frac{m}{n}$; $R$ — действительные числа. Основная цепочка: $N\subset Z\subset Q\subset R$. Примеры: множество корней уравнения $x^2=4$ — $\{-2;2\}$; множество длин отрезков — положительные действительные числа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы построили систему числовых множеств и увидели, что алгебра и геометрия постоянно используют такие множества. Теперь проверим новое знание на конкретных числах».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать чтение символов принадлежности и классификацию чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с числами $-7$, $0$, $\frac{3}{5}$, $-2{,}4$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{49}$. «В парах определите, к каким множествам принадлежит каждое число. Используйте полную цепочку от $N$ до $R$ и обязательно объясните два спорных случая: $0$ и $\sqrt{49}$». | Заполняют таблицу принадлежности. Объясняют: «$-7\in Z$, $-7\in Q$, $-7\in R$; $\sqrt{49}=7$, поэтому $\sqrt{49}\in N$; $\sqrt{2}\in R$, но $\sqrt{2}\notin Q$». |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Приём “Две звезды и пожелание”: найдите два верных обоснования и одну запись, которую нужно уточнить». Учитель показывает эталон на доске. | Проверяют работу другой пары, отмечают два корректных обоснования и формулируют пожелание: «В записи нужно указать, что $0$ не входит в принятое сегодня множество $N$». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы повышенного уровня: «Верно ли, что если число принадлежит $Q$, то оно принадлежит $R$? Верно ли обратное? Приведите пример или контрпример». | Отвечают: «Первое утверждение верно, потому что $Q\subset R$; обратное неверно, например $\sqrt{2}\in R$, но $\sqrt{2}\notin Q$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили определения и увидели, что одна запись может принадлежать нескольким вложенным множествам. Теперь каждый проверит, насколько уверенно умеет действовать самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма классификации чисел и умение находить ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор карточки: «Выберите базовый или повышенный вариант. Базовый вариант содержит классификацию чисел, повышенный — ещё и анализ ошибок. Работайте самостоятельно, время — 4 минуты». | Выбирают уровень и записывают выбранный вариант в тетради. |
4 мин | Учитель выдаёт задания. Базовый вариант: определить все множества для $12$, $-\frac{4}{9}$, $\sqrt{3}$, $0$. Повышенный вариант: найти ошибки в записях $\sqrt{25}\in Z$, $-\frac{2}{3}\in N$, $\pi\in Q$ и исправить их. Учитель напоминает: «Сначала назовите признак, затем поставьте символ». | Решают индивидуально. В базовом варианте получают: $12\in N,Z,Q,R$; $-\frac{4}{9}\in Q,R$; $\sqrt{3}\in R$, но не $Q$; $0\in Z,Q,R$. В повышенном варианте исправляют: $\sqrt{25}=5$, поэтому $5\in N,Z,Q,R$; $-\frac{2}{3}\notin N$, но принадлежит $Q$ и $R$; $\pi\notin Q$, но принадлежит $R$. |
3 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку: «Проверьте не только ответ, но и объяснение. Одной галочкой отметьте верное, вопросительным знаком — место, которое нужно разобрать. Поднимите зелёную карточку, если всё понятно, жёлтую — если нужна консультация». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают уровень понимания карточкой. Двое учеников объясняют у доски по одному спорному примеру. |
Эталон решения
Для числа $-\frac{4}{9}$: оно представлено отношением двух целых чисел при ненулевом натуральном знаменателе, поэтому $-\frac{4}{9}\in Q$. Так как $Q\subset R$, получаем $-\frac{4}{9}\in R$. Число не является целым и натуральным, поскольку имеет ненулевую дробную часть. Для $\sqrt{3}$: число не представляется дробью двух целых чисел, значит $\sqrt{3}\notin Q$, но является действительным: $\sqrt{3}\in R$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает: сначала распознаём вид числа, затем определяем самое узкое множество и по цепочке добавляем более широкие множества. В заключительной части свяжем числовые множества с геометрическими и алгебраическими объектами и оценим результат».
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить понятие числового множества в контексте алгебры, геометрии и рефлексии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три ситуации: «В алгебре множество решений уравнения $x^2-9=0$; на координатной прямой множество координат точек отрезка $[-2;4]$; в геометрии множество возможных длин стороны треугольника с двумя сторонами 3 см и 5 см. Определите, какие числа описывают эти множества». | Решают и обсуждают: «Корни уравнения — $\{-3;3\}$, это подмножество $Z$»; «координаты точек отрезка — действительные числа от $-2$ до $4$»; «длина третьей стороны должна удовлетворять $2<x<8$, поэтому это множество положительных действительных чисел». |
2 мин | Учитель организует приём «Одноминутная запись»: «Запишите одно новое понятие, один пример и один вопрос, который ещё требует пояснения. Затем выберите один из двух вопросов для ответа: “Где в жизни нужна классификация чисел?” или “Почему координаты точек прямой считают действительными числами?”» | Заполняют три строки и формулируют ответы: «В программировании тип числа определяет допустимые операции»; «каждой точке прямой соответствует действительное число». |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки с пунктами «Я различаю $N,Z,Q,R» и «Я могу привести пример множества из алгебры или геометрии». «Поставьте знак “+”, если умеете выполнить действие без помощи, и знак “?” — если нужна тренировка». | Заполняют лист самооценки, называют личное затруднение и формулируют индивидуальную цель: «потренироваться отличать иррациональные числа от рациональных». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не просто выучили обозначения, а использовали их для описания корней, координат и длин. Осталось зафиксировать общий вывод и получить задание для самостоятельного закрепления».
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: оформить итог урока и сообщить дифференцированное домашнее задание. Итог и домашнее задание объявляются в пределах этапа рефлексии.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно классифицированы все числа самостоятельной работы, исправлены все три ошибки повышенного варианта или приведены полные обоснования базового варианта.
- «4» — допущена одна неточность в принадлежности числа или объяснении, но цепочка $N\subset Z\subset Q\subset R$ применена верно.
- «3» — правильно определены не менее половины принадлежностей, однако есть затруднения с числами $0$, $\sqrt{3}$ или $\pi$; основная идея вложенности множеств понята.
- Ниже «3» — требуется повторить определения числовых множеств и выполнить дополнительные тренировочные примеры с опорой на схему.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связях между $N$, $Z$, $Q$ и $R$? | Проверка осознания основной схемы вложенности числовых множеств. |
Какой пример оказался самым сложным: $0$, корень, периодическая дробь или число $\pi$? | Выявление точек затруднения в распознавании вида числа. |
Какой пример множества из алгебры или геометрии вы можете объяснить самостоятельно? | Проверка переноса понятия в межпредметный контекст. |
Какое действие вы выполните в следующий раз, если сомневаетесь в принадлежности числа множеству? | Проверка сформированности алгоритма самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы построили систему числовых множеств $N\subset Z\subset Q\subset R$ и научились читать её как математическую карту. Особенно важно помнить: действительное число не обязательно рационально, поэтому $\sqrt{2}$ и $\pi$ являются контрпримерами к обратному утверждению. Мы увидели, что множества описывают корни уравнений, координаты точек и возможные длины. На следующем уроке продолжим работать с числовыми множествами и будем использовать их свойства при решении более сложных задач».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на определение принадлежности чисел множествам $N$, $Z$, $Q$, $R$, включая натуральные, отрицательные, дробные, нулевое число и квадратные корни; для каждого ответа записать краткое обоснование. | Закрепляет определения и алгоритм классификации; при проверке обратить внимание на запись $0$, целых отрицательных чисел и корней из квадратов. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: найти множество корней двух квадратных уравнений, определить множество координат точек заданного отрезка и описать множество возможных длин третьей стороны треугольника с двумя известными сторонами. | Формирует перенос знаний в алгебру и геометрию; проверить границы промежутков, знаки неравенств и принадлежность полученных чисел $R$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример числового множества из алгебры и собственный пример из геометрии, указать элементы или условие принадлежности и объяснить, какие из множеств $N$, $Z$, $Q$, $R$ могут их содержать. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценить точность условия, корректность символики и полноту объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает запись $x\in Q$? Почему $N\subset Z$? Приведите пример действительного, но не рационального числа. Какое числовое множество описывает множество корней уравнения $x^2=16$?»
