Дерево и правило умножения: обобщение и применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут обобщить свойства дерева и научиться применять их для проверки графов, восстановления недостающих элементов и решения комбинаторных задач по правилу умножения, выполнив не менее 4 из 5 заданий самостоятельно.
- Систематизировать признаки дерева: связность, отсутствие циклов, единственность пути между любыми двумя вершинами.
- Закрепить связь между числом вершин и числом рёбер в дереве, а также понятие висячей вершины.
- Отработать применение правила умножения при подсчёте числа вариантов последовательного выбора.
- Развивать умение аргументировать решение, работать в паре, проверять результат по критериям и использовать цифровую модель графа.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к моделированию связей и подсчёту вариантов, видят применение графов в программировании, логистике и информационных технологиях.
- Осознают ценность точного обоснования решения и готовность корректировать ошибочную гипотезу.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и ответственное отношение к результату парной работы.
- Уважительно относятся к мнению партнёра, распределяют роли и договариваются о способе проверки.
Метапредметные
- Строят и читают модели в виде графов, выделяют вершины, рёбра, пути, циклы и висячие вершины.
- Сравнивают несколько способов решения, находят логическую ошибку и формулируют доказательное объяснение.
- Планируют последовательность действий при решении задачи и осуществляют самопроверку по эталону.
- Используют интерактивную модель графа для проверки гипотезы и представляют результат в устной форме.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный ответ.
Предметные
- Знать определение дерева как связного графа без циклов и распознавать дерево по его изображению или описанию.
- Уметь объяснять единственность пути между двумя вершинами дерева и находить висячие вершины.
- Уметь применять равенство $m=n-1$, где $n$ — число вершин, а $m$ — число рёбер дерева.
- Уметь использовать правило умножения для подсчёта числа вариантов последовательного выбора.
- Уметь составлять краткое обоснование ответа, опираясь на свойства дерева и правило умножения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: уверенно различать дерево и граф с циклом.
- Связывают изучаемые модели с задачами маршрутизации, построения сетей и программирования.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и готовность объяснить решение однокласснику.
- Принимают ситуацию ошибки как возможность уточнить способ рассуждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения задачи: определить объект, выбрать свойство, выполнить вычисление, проверить ответ.
- Распределяют время между заданиями и выбирают обязательный или повышенный уровень.
- Сверяют решение с эталоном, находят расхождение и исправляют его.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки дерева и отделяют их от внешнего вида рисунка.
- Устанавливают причинно-следственную связь между отсутствием циклов и единственностью пути.
- Применяют модель $m=n-1$ для восстановления числа рёбер или вершин.
- Строят дерево вариантов и переводят его в произведение чисел по правилу умножения.
- Проверяют гипотезы с помощью рисунка, таблицы и цифровой модели.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: конструктор графа и проверяющий рассуждение.
- Формулируют вопрос к решению партнёра и отвечают с опорой на определение или свойство.
- Аргументируют, почему граф является или не является деревом.
- Согласовывают общий ответ и представляют его классу в течение одной минуты.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определениями «граф», «дерево», «путь», «цикл», «висячая вершина» и двумя контрастными рисунками: дерево и граф с циклом.
- Подготовить интерактивную модель графа на экране или в приложении для построения графов: возможность добавлять вершины и рёбра и выделять путь.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего 15–16 карточек, с заданиями трёх уровней.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на каждого ученика и два запасных экземпляра.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «распознаю дерево», «объясняю единственность пути», «применяю $m=n-1$», «использую правило умножения».
- Вывести на доску или слайд памятку: «Дерево = связный граф без циклов»; «В дереве с $n$ вершинами $m=n-1$»; «Если выборы выполняются последовательно, числа вариантов перемножаются».
- Подготовить цветные маркеры, стикеры двух цветов, таймер и карточки с обозначениями $n$ и $m$.
- Организовать проектор, ноутбук, интерактивную доску или экран; проверить работу цифровой модели до начала урока.
- Разложить на партах листы с заданиями и обеспечить свободное место для построения дерева вариантов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую ценность темы через задачу о построении сети.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему компьютерной сети без подписей: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто вспоминать определения, а проверять, как математическая модель помогает проектировать надёжные сети. Посмотрите на изображение: между устройствами есть соединения. Как понять, что сеть не содержит лишних замкнутых маршрутов и при этом все устройства связаны?» | Рассматривают схему, называют возможные идеи: «Нужно проверить все соединения», «Найти замкнутый маршрут», «Убедиться, что из каждой вершины можно попасть в другую». |
2 мин | Учитель объявляет приём «Прогноз»: «Запишите на стикере, какое свойство графа понадобится инженеру, чтобы выбрать минимальное число соединений для связи всех устройств. Через минуту сравните ответ с партнёром. Сегодня мы проверим ваши прогнозы и свяжем их с правилом умножения». | Индивидуально записывают прогноз, затем обсуждают его в паре и прикрепляют стикер к доске в одну из групп: «связность», «отсутствие циклов», «подсчёт вариантов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы назвали три направления нашей работы: связность, отсутствие циклов и подсчёт. Теперь восстановим определения и проверим, какие признаки действительно достаточны для дерева».
Этап 2. Актуализация знаний и взаимопроверка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать основные понятия и выявить затруднения перед обобщением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на экране четыре изображения графов и говорит: «Работаем приёмом “Светофор”. Поднимите зелёную карточку, если уверены, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если не можете объяснить. На каждом рисунке определите, есть ли цикл и связен ли граф». | Поднимают карточки, называют номера графов с циклами и объясняют: «В первом есть замкнутый маршрут», «В третьем две части не соединены». |
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-карточку с утверждениями: «В дереве между любыми двумя вершинами существует ровно один путь»; «В любом дереве число рёбер равно числу вершин»; «Граф без циклов всегда является деревом». Инструкция: «Отметьте верные утверждения и исправьте неверные». | В парах отмечают утверждения. Исправляют второе: «В дереве число рёбер на одно меньше числа вершин». Для третьего добавляют условие связности. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками. Проверяющий не просто ставит знак, а задаёт вопрос: какое определение подтверждает ваш ответ?» Учитель фиксирует на доске ключевые слова. | Проверяют карточку партнёра, задают вопросы и формулируют определения: «Дерево — связный граф без циклов», «Висячая вершина имеет степень 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что одного отсутствия циклов недостаточно: граф должен быть связным. Теперь поставим задачу, которая позволит объединить все свойства в одну систему рассуждений».
Этап 3. Постановка проблемы и планирование решения (4 мин)
Цель этапа: сформулировать общий алгоритм распознавания дерева и применения его свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает граф с 8 вершинами и 7 рёбрами, а рядом — граф с 8 вершинами и 7 рёбрами, но двумя несвязанными частями: «Оба рисунка имеют одинаковые числа $n=8$ и $m=7$. Можно ли сразу сказать, что оба графа — деревья? Почему числа сами по себе не дают полного ответа?» | Сравнивают рисунки и отвечают: «Нет, второй граф несвязный», «Нужно проверить связность и отсутствие циклов». |
2 мин | Учитель предлагает составить алгоритм: «Работайте методом “Снежный ком”. Сначала каждый назовите один шаг проверки, затем объединитесь в пары и выберите общий порядок. В конце сформулируем алгоритм на доске». | Составляют алгоритм: 1) проверить связность; 2) проверить отсутствие циклов; 3) при необходимости использовать $m=n-1$; 4) проверить наличие висячей вершины; 5) объяснить вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм проверки готов. Далее мы применим его к нескольким моделям и увидим, как свойства дерева помогают быстро находить ответ без перебора всех вариантов».
Этап 4. Обобщение свойств дерева с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: обобщить свойства дерева через исследование цифровой модели и доказательные рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает интерактивную модель и говорит: «Сейчас проверим свойство единственности пути экспериментально. Я выделю вершины A и F. В модели можно двигать рёбра, но нельзя добавлять цикл. Найдите путь между вершинами и объясните, почему второго пути быть не может». | На модели прослеживают путь A–C–D–F, формулируют: «Если появился бы второй путь, два пути вместе образовали бы цикл, а в дереве циклов нет». |
3 мин | Учитель добавляет на экран дерево с 7 вершинами: «Посчитаем рёбра. Попробуйте получить общее правило. Что происходит с числом рёбер, если к одной вершине добавляется новая висячая вершина? Начинаем с одной вершины и последовательно присоединяем новые». | Наблюдают последовательность: 1 вершина — 0 рёбер, 2 — 1, 3 — 2, 4 — 3. Делают вывод: «При $n$ вершинах $m=n-1$». |
3 мин | Учитель предлагает найти висячую вершину: «В конечном дереве не может быть только вершин степени 2 или больше. Представьте, что вы начинаете движение из любой вершины и каждый раз идёте дальше. Почему движение обязательно закончится в вершине степени 1?» Учитель просит одного ученика показать рассуждение на модели. | Обсуждают и отвечают: «Если бы все вершины имели степень не меньше 2, можно было бы продолжать движение; из-за конечности числа вершин пришлось бы повторить вершину, а это создало бы цикл». Показывают висячие вершины на модели. |
Запись в тетрадях
- Дерево — связный граф без циклов.
- В дереве между любыми двумя вершинами существует единственный путь.
- В любом конечном дереве есть хотя бы одна висячая вершина, то есть вершина степени 1.
- Если в дереве $n$ вершин, то число рёбер $m=n-1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили не набор отдельных фактов, а связанную систему: отсутствие циклов даёт единственность пути, а последовательное присоединение вершин объясняет формулу $m=n-1$. Теперь применим эти выводы к задачам».
Этап 5. Парная работа «Маршрут и дерево вариантов» (8 мин)
Цель этапа: применить свойства дерева и правило умножения в парной практической задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет выбор: «Каждая пара выбирает обычную или повышенную карточку. На обычной нужно проверить граф и вычислить число рёбер. На повышенной — дополнительно построить дерево вариантов. Распределите роли: один строит модель, второй проверяет обоснование; через четыре минуты поменяйтесь». | Выбирают уровень, распределяют роли, читают условие и выделяют данные $n$ и $m$. |
4 мин | Учитель сопровождает работу и задаёт вопросы: «В задаче 1 изображён связный граф с 9 вершинами и 8 рёбрами без циклов. Является ли он деревом? В задаче 2 турист выбирает один из 3 входов в парк, один из 4 маршрутов к озеру и один из 2 способов возвращения. Сколько последовательностей выбора возможно? Покажите дерево вариантов или произведение». | Решают: «Да, это дерево, потому что граф связен, не содержит циклов и $m=n-1=8$»; строят дерево вариантов или записывают $3=24$. |
2 мин | Учитель организует краткие выступления: «Одна пара объясняет решение через свойство дерева, другая — через правило умножения. Слушатели проверяют по двум критериям: есть формула или схема и есть пояснение, почему она применима». | Представляют решения, задают уточняющие вопросы, отмечают в листе партнёра наличие ответа, формулы и обоснования. |
Эталон решения
Для задачи о графе: $n=9$, поэтому в дереве должно быть $m=n-1=9-1=8$ рёбер. Так как по условию граф связен и не содержит циклов, он является деревом. Для задачи о выборе: на первом шаге 3 варианта, на втором для каждого первого варианта 4 варианта, на третьем для каждого сочетания 2 варианта. По правилу умножения получаем $3\cdot4\cdot2=24$ последовательности.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили граф не по внешнему виду, а по признакам, и построили подсчёт вариантов по шагам. Теперь каждый выполнит самостоятельную работу и покажет, насколько уверенно применяет оба способа».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение свойств дерева и правила умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы и говорит: «Работаем самостоятельно. Сначала выполните обязательные задания 1–3, затем выберите одно из заданий 4–5. В решении обязательно указывайте свойство или правило, на которое опираетесь. Не переписывайте только ответ». | Записывают фамилию, читают критерии и намечают порядок выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания: «1. В дереве 12 вершин. Найдите число рёбер. 2. Объясните, почему между двумя вершинами дерева не может существовать два различных пути. 3. Может ли граф с 6 вершинами и 5 рёбрами быть не деревом? Приведите условие, при котором ответ отрицательный. 4. Для кода выбирают одну из 4 букв, одну из 3 цифр и один из 2 символов. Сколько кодов? 5. Постройте дерево вариантов для выбора напитка из 2 видов, десерта из 3 видов и размера порции из 2 вариантов». | Решают индивидуально: $m=12-1=11$; объясняют возникновение цикла; указывают, что граф может быть несвязным; вычисляют $4\cdot3\cdot2=24$; строят дерево и получают $2\cdot3\cdot2=12$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: «Проверьте не только число, но и объяснение. Если нашли ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Это не потеря результата, а коррекция способа». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, ставят рядом с каждым заданием знак «+», «±» или «–». |
Эталон решения
1) $m=n-1=12-1=11$. 2) Если бы существовали два различных пути между одними и теми же вершинами, объединение этих путей содержало бы цикл, что противоречит определению дерева. 3) Да, может: например, граф с 6 вершинами и 5 рёбрами может быть несвязным; для дерева необходима связность и отсутствие циклов. 4) $4\cdot3\cdot2=24$. 5) $2\cdot3\cdot2=12$ вариантов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, где достаточно было формулы, а где требовалось полное обоснование. Осталось собрать результаты урока, оценить собственное продвижение и сформулировать, что ещё нужно потренировать».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, зафиксировать затруднения и определить индивидуальный маршрут дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «Запишите три короткие фразы: “Теперь я умею…”, “Мне нужно ещё потренировать…”, “В реальной задаче дерево помогает…”. Затем отметьте в листе самооценки, какие утверждения вы можете подтвердить примером». | Заполняют рефлексивный лист: например, «умею находить $m$ по $n$», «нужно потренировать доказательство единственности пути», «дерево помогает строить сеть без лишних соединений». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Какое условие обязательно для дерева кроме отсутствия циклов? Почему число рёбер на единицу меньше числа вершин? В какой ситуации множители перемножаются? Поднимите карточку зелёного, жёлтого или красного цвета». | Отвечают: «Связность», «Каждая новая вершина присоединяется одним ребром», «Когда выбор выполняется последовательно». Показывают карточку самооценки. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии: «Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте следующий. В каждом решении записывайте не только ответ, но и название свойства или правила. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок и перейдём к более сложным задачам на подсчёт». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, называют выбранный уровень. |
Запись в тетрадях: «Домашнее задание: выбрать уровень; в решении указывать применённое свойство дерева или правило умножения».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 4 из 5 заданий, корректно применены свойства дерева и правило умножения, приведены необходимые схемы или объяснения, исправления после самопроверки внесены осознанно.
- «4» — верно выполнены 3–4 задания, допущена одна содержательная ошибка или неточность в обосновании, но основные формулы и понятия применены правильно.
- «3» — верно выполнены обязательные задания 1–3 или не менее 3 заданий всего, однако объяснение единственности пути, условие связности или схема вариантов требуют доработки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по двум признакам быстро проверить, что граф является деревом? | Проверка осознания определения дерева и алгоритма распознавания. |
Почему в дереве между двумя вершинами не может быть двух различных путей? | Выявление понимания связи между двумя путями и появлением цикла. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в доказательстве, вычислении или построении модели. |
Где в сегодняшней работе применялось правило умножения? | Проверка переноса правила из схемы в реальный комбинаторный контекст. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы объединили свойства дерева в единую систему: дерево связно, не содержит циклов, имеет единственный путь между любыми двумя вершинами и содержит на одно ребро меньше, чем вершин. Мы также увидели, что дерево вариантов помогает не угадывать ответ, а последовательно считать выборы по правилу умножения. Типичная ошибка — использовать формулу $m=n-1$, забывая проверить связность графа. На следующем уроке мы разберём более сложные задачи, где потребуется сочетать графовую модель с несколькими последовательными выборами».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение числа рёбер дерева по числу вершин и наоборот, одну на объяснение единственности пути, одну на подсчёт вариантов по правилу умножения с двумя последовательными выборами. | Закрепляет формулу $m=n-1$, признаки дерева и базовый алгоритм последовательного подсчёта; при проверке смотреть на запись формулы и пояснение. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач: определить, является ли данный граф деревом, найти его висячие вершины, восстановить пропущенное число рёбер и решить две задачи на правило умножения с тремя этапами выбора. | Развивает перенос свойства на новые изображения и умение строить полное обоснование; при проверке смотреть на связность, отсутствие циклов и правильный порядок множителей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о сети, маршрутах или кодах, в которой используются дерево и правило умножения, изобразить модель, решить задачу и написать проверку ответа другим способом. | Формирует умение создавать математическую модель и оценивать её корректность; при проверке смотреть на реалистичность условия, соответствие схемы вычислениям и обоснованность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое обязательное свойство отличает дерево от произвольного графа? Сколько рёбер в дереве с 15 вершинами? Сколько кодов получится при 2 вариантах первого выбора, 5 вариантах второго и 3 вариантах третьего? Почему ответ нужно записать как произведение?»
