Отклонение значения от среднего арифметического
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить отклонение каждого значения от среднего арифметического, интерпретировать знак и величину отклонения, а также применять алгоритм при анализе набора данных.
- Сформировать представление об отклонении как разности между отдельным значением и средним арифметическим набора данных.
- Научиться вычислять среднее арифметическое, находить отклонения и проверять, что сумма отклонений набора равна нулю.
- Развивать умение анализировать таблицы данных, объяснять математическое решение и аргументировать выводы в паре и группе.
- Формировать ответственное отношение к работе с числовой информацией и понимание практического значения статистических показателей.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к использованию статистики в спорте, медицине, экономике и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают необходимость точного и честного представления числовых данных.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать способ проверки результата и принимать обоснованное решение.
- Уважительно относятся к мнению одноклассников при обсуждении способов решения.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают данные из таблицы, устанавливают связь между средним значением и отклонением, формулируют закономерность.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность вычислений, выполняют самопроверку и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: объясняют ход решения, задают уточняющие вопросы, сравнивают результаты работы в паре.
- Используют математическую речь и простую цифровую или табличную модель для анализа набора данных.
Предметные
- Знать смысл понятия «отклонение значения от среднего арифметического».
- Уметь находить среднее арифметическое набора чисел и вычислять отклонение по формуле $d_i=x_i-\bar{x}$.
- Уметь объяснять, что положительное отклонение означает превышение среднего, а отрицательное — значение ниже среднего.
- Уметь проверять вычисления по свойству: сумма отклонений всех значений от среднего арифметического равна нулю.
- Уметь применять понятие отклонения к данным из реальной ситуации и формулировать вывод.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения отклонения для анализа результатов наблюдений и измерений.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Оценивают собственный вклад в совместное решение статистической задачи.
- Формируют привычку проверять достоверность собственного числового вывода.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм: найти среднее, вычесть среднее из значения, интерпретировать знак.
- Сверяют промежуточные вычисления с эталоном и находят арифметические ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью самооценки и контрольных вопросов.
Познавательные УУД
- Сравнивают отдельные значения со средним и классифицируют отклонения на положительные, отрицательные и нулевые.
- Моделируют ситуацию таблицей «значение — отклонение».
- Выявляют закономерность нулевой суммы отклонений.
- Анализируют практические данные и делают вывод на основе знака и модуля отклонения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные ответы с использованием терминов «среднее», «отклонение», «выше» и «ниже».
- Распределяют роли при работе в группе и согласуют общий результат.
- Аргументируют выбор решения и корректно задают вопросы одноклассникам.
- Разрешают расхождения в вычислениях через повторную проверку, а не через спор.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с данными о времени выполнения пяти одинаковых заданий: 8, 10, 12, 9, 11 минут.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать листы групповой работы с таблицами «значение — отклонение»: по одному листу на группу из 4 человек, всего 8 листов.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: по одному набору на ученика.
- Вывести на доску памятку: $ bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$ и $d_i=x_i-\bar{x}$.
- Подготовить отдельный слайд или плакат со свойством: сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю.
- Подготовить эталон решения для самопроверки и бланк краткой самостоятельной работы.
- Подготовить маркеры, магниты, таймер на 3 минуты и калькуляторы по желанию учащихся.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску; при отсутствии оборудования использовать доску и распечатанные таблицы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую потребность сравнивать отдельные данные со средним значением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске данные о времени выполнения пяти заданий: 8, 10, 12, 9, 11 минут. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не с отвлечёнными числами, а с данными, похожими на те, которые встречаются в спорте, программировании и исследовательской работе. Посмотрите на набор чисел и определите, какое время можно считать обычным для этой группы». | Записывают данные в тетрадь, называют варианты: «10 минут», «около 10 минут», объясняют, что отдельные результаты отличаются друг от друга. |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Два ученика выполнили задание за 8 и 12 минут. Оба результата отличаются от среднего, но как точно измерить это отличие? Можно ли одним числом показать, кто быстрее, а кто медленнее среднего результата? Сегодня мы найдём способ». | Формулируют предположения: «Нужно вычесть среднее из результата», «У одного отличие будет со знаком плюс, у другого — со знаком минус». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одного среднего значения недостаточно: важно понять, как каждый результат расположен относительно него. Сейчас вспомним, как находить среднее арифметическое и сравнивать числа».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм нахождения среднего арифметического и навыки сравнения чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Самостоятельно вычислите среднее арифметическое чисел 8, 10, 12, 9, 11. У вас 40 секунд. Затем обсудите результат с соседом и назовите последовательность действий». Учитель фиксирует на доске формулу и просит объяснить каждое действие. | Вычисляют: $(8+10+12+9+11):5=50:5=10$. В парах проговаривают алгоритм: «Сложить все значения и разделить сумму на количество значений». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Какие числа выше среднего 10? Какие ниже? Как определить расстояние от числа до среднего? Чем отличаются числа 8 и 12 относительно среднего?» | Отвечают: «12 выше среднего на 2, 8 ниже среднего на 2». Предполагают, что знаки должны быть разными, хотя расстояние по модулю одинаковое. |
Запись в тетрадях
Среднее арифметическое: $ bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$. Для данных 8, 10, 12, 9, 11: $ bar{x}=10$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Среднее арифметическое для нашего набора равно 10. Мы умеем определять, какие значения выше или ниже среднего, но пока не записывали это отличие единым математическим способом. Поставим учебную задачу».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести понятие отклонения и сформулировать алгоритм его нахождения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два выражения: $8-10=-2$ и $12-10=2$. «Сравните эти записи. Что показывает число −2? Что показывает число 2? Почему знак важен, хотя расстояние до среднего в обоих случаях равно 2? Сформулируйте название такого различия». | Обсуждают в парах, отвечают: «−2 показывает, что 8 меньше среднего на 2», «2 показывает, что 12 больше среднего на 2». Предлагают термин «отклонение». |
2 мин | Учитель принимает формулировки и записывает цель: «Найти отклонение значения от среднего можно вычитанием среднего из значения». «Составьте план урока: что сначала, что затем и как проверить себя?» | Формулируют план: «Найти среднее, вычесть его из каждого значения, объяснить знак, проверить сумму отклонений». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы поставили цель: научиться находить и объяснять отклонения. Дальше проверим гипотезу на всей таблице данных и самостоятельно сформулируем свойство».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу отклонения и установить свойство суммы отклонений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам лист с таблицей и говорит: «Работаем в группах по четыре человека. Распределите роли: вычислитель, записывающий, проверяющий и докладчик. Для каждого значения найдите отклонение от среднего 10 по правилу: из значения вычитаем среднее. Заполните все строки». | Заполняют таблицу: 8 → $8-10=-2$; 10 → $10-10=0$; 12 → $12-10=2$; 9 → $9-10=-1$; 11 → $11-10=1$. Докладчик готовит объяснение знаков. |
3 мин | Учитель просит группы сравнить результаты и задаёт вопросы: «Какие отклонения отрицательные? Какие положительные? Что означает нулевое отклонение? Найдите сумму всех полученных отклонений». | Отвечают: «Отрицательные отклонения соответствуют значениям ниже среднего; положительные — выше среднего; нулевое означает совпадение со средним». Вычисляют $-2+0+2-1+1=0$. |
3 мин | Учитель организует эвристическую беседу: «Почему сумма получилась нулевой? Можно ли считать это случайностью? Запишите общий вид отклонения значения $x_i$ от среднего $\bar{x}$. Как сформулировать открытое свойство?» | Формулируют: «Отклонение равно $d_i=x_i-\bar{x}$», «Сумма всех отклонений от среднего равна нулю». Объясняют, что значения выше и ниже среднего взаимно уравновешиваются. |
Запись в тетрадях
Отклонение значения $x_i$ от среднего арифметического $ bar{x}$: $d_i=x_i-\bar{x}$. Если $d_i>0$, значение выше среднего; если $d_i<0$, значение ниже среднего; если $d_i=0$, значение равно среднему. Для любого набора данных сумма отклонений равна нулю: $d_1+d_2+\dots+d_n=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли формулу и свойство, которое помогает проверять вычисления. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем каждый самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать вычисление и интерпретацию отклонений с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задачу: «Температура воздуха в течение пяти дней была равна 6, 8, 10, 7 и 9 °C. Найдите среднюю температуру и отклонение температуры каждого дня от среднего». Учитель решает первый шаг вместе с классом, остальные шаги передаёт ученикам. | Вычисляют среднее: $(6+8+10+7+9):5=40:5=8$ °C. Находят отклонения: $-2, 0, 2, -1, 1$ °C. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: «Обменяйтесь тетрадями. Проверьте среднее, знак каждого отклонения и сумму отклонений. Запишите две сильные стороны решения и один совет, если нашли неточность». | Проверяют решение партнёра, отмечают корректные вычисления, исправляют ошибки. Формулируют вывод: «Температура 10 °C была выше средней на 2 °C, а 6 °C — ниже средней на 2 °C». |
Эталон решения
1. Находим среднее: $ bar{x}=\frac{6+8+10+7+9}{5}=\frac{40}{5}=8$ °C. 2. Находим отклонения: $6-8=-2$, $8-8=0$, $10-8=2$, $7-8=-1$, $9-8=1$. 3. Проверяем: $-2+0+2-1+1=0$. Значит, вычисления согласуются со свойством суммы отклонений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает в реальной ситуации: мы не только вычислили числа, но и объяснили их смысл. Теперь проверим, сможете ли вы выполнить полный цикл без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня. «Выберите один вариант: базовый — данные 4, 6, 8, 10; средний — данные 12, 15, 9, 8, 11; повышенный — сравните два набора результатов и определите, у какого набора выбранное значение дальше от среднего. В каждом варианте найдите среднее, отклонения и их сумму». | Индивидуально записывают решение, обозначают среднее и отклонения, проверяют знаки. Выбирают уровень самостоятельно. |
3 мин | Учитель выводит эталон: для базового набора среднее 7, отклонения $-3,-1,1,3$. «Сверьте не только ответ, но и порядок действий. Если есть ошибка, подчеркните место и исправьте другой цветной ручкой». Затем проводит «Светофор». | Сверяют решение с эталоном, исправляют вычисления. Поднимают зелёную карточку при уверенном владении алгоритмом, жёлтую при частичном понимании, красную при необходимости помощи. |
Эталон решения
Для базового варианта: $ bar{x}=\frac{4+6+8+10}{4}=7$. Отклонения: $4-7=-3$, $6-7=-1$, $8-7=1$, $10-7=3$. Проверка: $-3-1+1+3=0$. Отрицательные значения расположены ниже среднего, положительные — выше.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство уже умеет выполнять алгоритм самостоятельно. Если у вас возникла ошибка, это не неудача, а подсказка, какой шаг нужно потренировать. Завершим урок осмыслением результата и свяжем его с практикой».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, выявить затруднения и зафиксировать домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает «Одноминутку»: «Закончите три фразы: “Отклонение — это…”, “Положительный знак означает…”, “Для проверки я могу…”». Учитель собирает ответы и быстро группирует их на доске. | Письменно завершают фразы: «Отклонение — разность значения и среднего», «положительный знак означает превышение среднего», «сумма отклонений должна быть нулевой». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Как найти отклонение? Что означает отрицательное отклонение? Почему сумма отклонений равна нулю? Как понять, что вычисление содержит ошибку?» | Отвечают: «Нужно из значения вычесть среднее», «значение ниже среднего», «отклонения выше и ниже среднего уравновешиваются», «проверить сумму». |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень или более высокий, если готовы. Важно не просто получить числа, а подписать смысл хотя бы двух отклонений и выполнить проверку». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают в листе самооценки уровень уверенности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились измерять, насколько отдельное значение отличается от среднего, и увидели, как знак отклонения передаёт направление этого отличия. На следующем уроке мы продолжим анализировать разброс данных и сравним наборы, у которых средние значения могут совпадать».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдено среднее арифметическое, правильно вычислены все отклонения, объяснены их знаки, сумма отклонений проверена и равна нулю.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна арифметическая неточность или неполно сформулирован один вывод; после проверки ошибка исправлена.
- «3» — найдено среднее или не менее половины отклонений, понятен общий способ действий, но есть две и более ошибки в знаках или вычислениях.
- Ниже базового уровня — решение начато, но не определён средний показатель либо отсутствует связь между значением и его отклонением.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое отклонение значения от среднего арифметического? | Проверка осознания нового понятия и корректности определения. |
Что показывает знак «плюс» или «минус» в отклонении? | Выявление понимания положения значения относительно среднего. |
На каком шаге алгоритма вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверите правильность набора найденных отклонений? | Проверка усвоения свойства нулевой суммы отклонений. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились сравнивать каждое значение не на глаз, а с помощью точного показателя — отклонения от среднего. Запомните: отклонение вычисляется как значение минус среднее, поэтому знак нельзя терять. Типичная ошибка — находить только расстояние до среднего и забывать, было значение выше или ниже. На следующем уроке мы продолжим исследовать разброс данных и научимся сравнивать устойчивость разных наборов. Используйте этот способ и в бытовых наблюдениях: анализируйте результаты, но всегда проверяйте вычисления».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 набора данных по 4–5 чисел: для каждого найти среднее арифметическое, отклонения всех значений и сумму отклонений. Подписать, какие значения выше и ниже среднего. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на формулу $d_i=x_i-\bar{x}$ и знаки отклонений. |
Средний (повышающий) | Решить 2 практические задачи с данными о температуре, времени или спортивных результатах: вычислить среднее, отклонения и сформулировать по два вывода о наиболее высоком и низком результате. | Развивает применение понятия в реальном контексте; проверить точность вычислений и содержательность выводов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный набор из 6 значений с целым средним, в котором будут положительные, отрицательные и нулевые отклонения. Представить таблицу «значение — отклонение» и доказать нулевую сумму отклонений. | Развивает создание математической модели и понимание свойства; проверить, что набор соответствует всем условиям. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как вычислить отклонение значения от среднего? Что означает отрицательное отклонение? Как проверить весь набор вычислений одним действием?»
