Множество, подмножество. Графическое представление множеств
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать множества и подмножества, записывать принадлежность элемента множеству с помощью символов и изображать отношения между множествами с помощью кругов Эйлера.
- Сформировать представление о множестве, его элементах и подмножестве; научить использовать записи $x \in A$ и $x \notin A$.
- Научить сравнивать множества по составу элементов и устанавливать, является ли одно множество подмножеством другого.
- Развивать логическое мышление, умение классифицировать объекты, строить математическую модель и аргументировать вывод в паре.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за общий результат и уважение к обоснованному мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность классификации и математического языка для описания объектов в учёбе, повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательный интерес к поиску общего признака и построению математических моделей.
- Принимают необходимость проверять вывод по определению, а не только по внешнему сходству объектов.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и корректно относятся к другой точке зрения.
Метапредметные
- Выделяют существенный признак объектов, классифицируют их и представляют результат в виде схемы.
- Читают и используют математические обозначения принадлежности и включения множеств.
- Формулируют гипотезу, проверяют её на примерах и объясняют обнаруженную ошибку.
- Планируют последовательность действий, осуществляют взаимопроверку и корректируют запись по критериям.
- Используют устную математическую речь для аргументации вывода в паре и при обсуждении с классом.
Предметные
- Знать смысл понятий «множество», «элемент множества», «подмножество».
- Уметь приводить примеры множеств и описывать их перечислением элементов или общим признаком.
- Уметь записывать принадлежность элемента множеству с помощью символов $\in$ и $\notin$.
- Уметь устанавливать отношение включения множеств и записывать его с помощью символа $\subseteq$.
- Уметь изображать множество и его подмножество с помощью кругов Эйлера и объяснять полученную схему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осуществляют смыслообразование через понимание практической роли классификации и систематизации.
- Проявляют готовность самостоятельно выбрать уровень задания и довести работу до результата.
- Осознают связь точной математической записи с ответственностью за достоверность вывода.
- Развивают уверенность в возможности объяснить собственное решение одноклассникам.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель: научиться различать принадлежность элемента и включение множеств.
- Планируют алгоритм проверки того, является ли одно множество подмножеством другого.
- Сверяют решение с определением и графической моделью.
- Обнаруживают ошибку в знаке или схеме и самостоятельно исправляют её.
- Оценивают степень освоения материала по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак объектов и объединяют объекты в множество.
- Сравнивают состав двух множеств, находят общее и различное.
- Преобразуют словесное описание в символическую запись и круговую схему.
- Строят рассуждение по определению подмножества и приводят контрпример.
- Анализируют неверное утверждение и объясняют, на каком шаге допущена ошибка.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ с использованием математических терминов.
- Распределяют роли в паре: составитель схемы и проверяющий.
- Аргументируют решение фразой «множество является подмножеством, потому что...».
- Слушают объяснение партнёра и задают уточняющий вопрос.
- Согласовывают итоговую схему и корректно сообщают о найденной неточности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения с примерами классификации: виды транспорта, числа, геометрические фигуры, школьные предметы.
- Записать на доске дату, тему и обозначения $\in$, $\notin$, $\subseteq$; оставить место для алгоритма проверки подмножества.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего по числу пар класса.
- Подготовить набор карточек с названиями и изображениями объектов для мотивационного задания — один комплект на группу из четырёх человек.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры двух цветов, линейки и листы формата А4 для построения кругов Эйлера.
- Вывести на экран определения множества, элемента множества и подмножества, а также образец кругов Эйлера.
- Подготовить таймер на 1, 3 и 5 минут для парных и индивидуальных заданий.
- Организовать на доске таблицу «Словами — символами — схемой» для обобщения материала.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость объединять объекты по признаку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится умение замечать общий признак и точно его описывать. Работать можно будет индивидуально и в паре, а в некоторых заданиях вы сами выберете уровень сложности." | Проверяют готовность к уроку, открывают тетради и записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на экране изображения велосипеда, автобуса, автомобиля и самолёта: "Представьте, что вы составляете каталог для транспортного приложения. Как объединить эти объекты? Какие объекты попадут в одну группу? Можно ли одну группу расположить внутри другой? Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»: 30 секунд подумайте, минуту обсудите, затем две пары объяснят решение." | Самостоятельно выделяют признаки, обсуждают их в парах и формулируют ответы: "Это виды транспорта"; "Наземный транспорт можно поместить в множество всех видов транспорта". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем объединять объекты по общему признаку, но пока описываем это только словами. Сегодня научимся давать таким группам точные математические названия, записывать отношения символами и изображать их на схеме."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать умения классифицировать объекты и выявить различие между элементом и группой элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-набор: числа $1$, $2$, $3$, $5$, $8$ и карточки «чётные числа», «простые числа», «числа меньше 6». Реплика: "Распределите числа по подходящим группам. Один и тот же объект может оказаться в нескольких группах. Объясните, по какому признаку вы его помещаете." | Распределяют карточки и проговаривают: "$2$ — простое и чётное число; $5$ — простое и меньше 6; $8$ — чётное число". |
3 мин | Учитель записывает на доске утверждения: "$3$ — число меньше 6" и "$3$ — множество чисел меньше 6". Спрашивает: "Какое утверждение описывает отдельный объект, а какое — группу? Почему эти записи нельзя считать одинаковыми?" | Сравнивают утверждения и отвечают: "$3$ — отдельный элемент, а множество чисел меньше 6 — группа элементов"; называют затруднение: "Нам не хватает специальных обозначений для этих отношений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы различили отдельный объект и группу объектов, но пока не умеем кратко записывать их связь. Теперь сформулируем цель и план открытия новых обозначений."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и последовательность действий на уроке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует две записи: $5$ и $A=\{1,3,5,7\}$. "Как одним знаком показать, что число 5 входит в группу $A$? Как показать, что число 2 в неё не входит? Предложите гипотезы. Не бойтесь ошибиться: сейчас важен поиск." | Предлагают варианты обозначений, обсуждают их и формулируют вопрос: "Как записать принадлежность элемента множеству?" |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "Сначала выясним, что такое множество и элемент, затем введём знаки принадлежности, после этого разберём подмножество и построим круги Эйлера. В конце каждый проверит себя по новой схеме." | Записывают тему и план урока, формулируют цель: "Научиться описывать множества, определять подмножества и изображать их графически". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена, план определён. Дальше мы не просто запишем определения, а выведем их на конкретных примерах и проверим схемой."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия множества, элемента, принадлежности и подмножества, связать словесное, символическое и графическое представления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: $A=\{2,4,6,8\}$. "Множество — это совокупность объектов, объединённых по определённому признаку. Объекты множества называют его элементами. Число 4 является элементом множества $A$, поэтому пишем $4\in A$ и читаем «4 принадлежит множеству A». Число 5 не является его элементом: $5\notin A$. Обратите внимание: знак относится к элементу и множеству, а не к двум множествам." | Записывают определения и примеры, читают записи вслух: "$4\in A$ — 4 принадлежит A; $5\notin A$ — 5 не принадлежит A". |
3 мин | Учитель показывает множества $B=\{1,2,3\}$ и $C=\{1,2,3,4,5\}$. "Каждый элемент B входит в C. Значит, B является подмножеством C. Записываем $B\subseteq C$. Если хотя бы один элемент B не входит в C, запись невозможна. Проверьте это утверждение поэлементно." | Составляют таблицу проверки: $1\in C$, $2\in C$, $3\in C$. Формулируют вывод: "Все элементы B входят в C, поэтому $B\subseteq C$". |
3 мин | Учитель рисует большой круг C и внутри него малый круг B: "Круг Эйлера показывает отношения между множествами. Большой круг изображает C, малый — B. Если множество B является подмножеством C, его круг полностью находится внутри круга C. Как из схемы понять, что записано $B\subseteq C$?" | Переносят схему в тетрадь, подписывают множества и объясняют: "Внутренний круг B не выходит за границы C, значит каждый элемент B входит в C". |
Запись в тетрадях
- Множество — совокупность объектов, объединённых общим признаком.
- Элемент множества — объект, входящий в данное множество.
- $x\in A$ означает: элемент $x$ принадлежит множеству $A$; $x\notin A$ означает: элемент $x$ не принадлежит множеству $A$.
- Множество $B$ является подмножеством множества $C$, если каждый элемент $B$ принадлежит $C$: $B\subseteq C$.
- На схеме круг Эйлера подмножество изображают кругом внутри круга исходного множества.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть три взаимосвязанных способа описания: словами, символами и кругами Эйлера. Проверим, умеем ли мы применять их к новым примерам, а не только повторять определения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм определения принадлежности и подмножества через парную работу и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку базового уровня: "Для множества $A=\{0,2,4,6\}$ определите, верны ли записи $2\in A$, $5\in A$, $6\notin A$. Запишите исправленный вариант неверной записи. Сначала решите молча, затем сравните ответы в паре." | Индивидуально проверяют каждую запись, затем сверяют решения: "$2\in A$ — верно; $5\in A$ — неверно, правильно $5\notin A$; $6\notin A$ — неверно, правильно $6\in A$". |
3 мин | Учитель предлагает задание на выбор: "Вариант 1: установите, является ли $P=\{a,e\}$ подмножеством $Q=\{a,e,i,o,u\}$. Вариант 2: придумайте собственные множества, для которых выполняется $M\subseteq N$, и изобразите их кругами Эйлера. Объяснение должно содержать слово «каждый»." | Выбирают вариант, выполняют его в паре и составляют объяснение: "P является подмножеством Q, потому что каждый элемент P входит в Q". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям на доске: правильно определены элементы, использованы знаки, схема соответствует записи. "Поставьте партнёру две звезды за верные действия и одно пожелание, если запись можно сделать точнее." | Обмениваются карточками, отмечают два сильных места и формулируют одно конкретное пожелание, например: "Подпиши множество внутри круга". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверяли не только ответ, но и основание ответа. Теперь перейдём к самостоятельной работе: каждый покажет, может ли применить алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов записи принадлежности, включения и графического представления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите посильный уровень. Уровень 1: для $A=\{1,3,5,7\}$ запишите два верных утверждения с $\in$ и два с $\notin$. Уровень 2: определите, является ли $B=\{2,4\}$ подмножеством $C=\{1,2,3,4,5\}$, и изобразите отношения кругами Эйлера. Уровень 3: найдите ошибку в рассуждении: «$D=\{1,2,3\}$ не является подмножеством $E=\{1,2,3,4\}$, потому что множества не равны». Исправьте вывод." | Выбирают уровень и выполняют задание индивидуально. В сложном варианте записывают: "Ошибка в том, что подмножества не обязаны быть равными; каждый элемент D входит в E, поэтому $D\subseteq E$". |
3 мин | Учитель выводит эталон: "$1\in A$, $3\in A$, $2\notin A$, $8\notin A$; $B\subseteq C$, так как $2\in C$ и $4\in C$; в третьем задании вывод неверен". "Сверьте работу, подчеркните место ошибки и поставьте себе отметку по критериям." | Сверяют ответы с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, фиксируют результат и отмечают в листе самооценки: «могу записать принадлежность», «могу проверить подмножество», «могу построить схему». |
Эталон решения
1) Для $A=\{1,3,5,7\}$ подходят, например, записи $1\in A$, $5\in A$, $2\notin A$, $8\notin A$. 2) В множестве $B=\{2,4\}$ каждый элемент входит в $C=\{1,2,3,4,5\}$, поэтому $B\subseteq C$; на схеме круг $B$ располагается внутри круга $C$. 3) Равенство множеств не требуется: подмножество может содержать меньше элементов, поэтому $D\subseteq E$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, что главное действие — проверить каждый элемент меньшего множества. Осталось связать новое знание с другими примерами и выяснить, где оно может пригодиться."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы представления множеств, осмыслить результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к примеру с транспортом: "Покажите, как представить словами и кругами Эйлера множество всех видов транспорта и его подмножество наземного транспорта. Какой знак обозначит принадлежность автомобиля множеству наземного транспорта?" | Формулируют ответ: "Наземный транспорт — подмножество всех видов транспорта; автомобиль принадлежит множеству наземного транспорта, поэтому $автомобиль\in Н$". |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёная карточка — могу самостоятельно проверить подмножество, жёлтая — нужна ещё тренировка, красная — пока путаю принадлежность и включение. Поднимите карточку и назовите одно действие, которое получилось." | Поднимают карточки, называют результат: "Я научился изображать подмножество кругом внутри круга" или "Мне нужно потренироваться выбирать знак $\in$". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на три вопроса: что означает $x\in A$; при каком условии $B\subseteq C$; как на схеме изображают подмножество? Сдайте билет при выходе и запишите домашнее задание." | Заполняют билет на выход, записывают домашнее задание, сдают лист учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за группой объектов математическое множество, различать элемент и множество, проверять подмножество и отображать его кругами Эйлера. На следующем уроке мы продолжим работать с отношениями между множествами и научимся использовать их при решении задач."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — без ошибок выполнены все задания выбранного уровня, правильно использованы знаки $\in$, $\notin$, $\subseteq$, схема кругов Эйлера соответствует условию, объяснение содержит обоснование через каждый элемент.
- "4" — допущена одна неточность в символической записи или оформлении схемы, но понятия элемента и подмножества различены, основное рассуждение верно.
- "3" — правильно выполнена хотя бы часть заданий: распознаны отдельные элементы множества, но допущены две и более ошибки в знаках, проверке включения или графическом представлении; исправления выполнены после самопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $x\in A$? | Проверить осознание смысла принадлежности элемента множеству. |
Как доказать, что $B\subseteq C$? | Выявить понимание алгоритма проверки подмножества. |
Чем на рисунке отличается элемент от подмножества? | Проверить различение объекта и группы объектов в графической модели. |
Какое действие оказалось самым сложным и почему? | Выявить индивидуальные точки затруднения и необходимость коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать группы объектов математически: словами, символами и кругами Эйлера. Особенно важно не путать знак принадлежности элемента $\in$ со знаком включения множеств $\subseteq$. При проверке подмножества всегда задавайте себе вопрос: входит ли каждый элемент меньшего множества в большее? На следующем уроке мы продолжим исследовать отношения между множествами и применим их к задачам на классификацию и обработку данных."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить 3 множества, каждое записать перечислением элементов; для каждого множества привести по два утверждения с $\in$ и $\notin$; начертить одну пару множеств, где одно является подмножеством другого. | Закрепить понятия множества и элемента, отработать выбор знака и аккуратное оформление кругов Эйлера. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на определение, является ли одно конечное множество подмножеством другого; каждое решение обосновать проверкой всех элементов и представить одну ситуацию схемой. | Сформировать алгоритм проверки подмножества и научиться переводить словесное условие в графическую модель. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать реальный пример вложенных множеств из области спорта, программирования, профессий или школьных предметов; записать его символически, изобразить кругами Эйлера и составить два вопроса для одноклассника. | Развить умение самостоятельно создавать математическую модель и объяснять её другому человеку. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: "Как называется объект, входящий в множество? Как записать, что число 7 не принадлежит множеству A? Как проверить, является ли одно множество подмножеством другого? Где на схеме должен находиться круг подмножества?"
