Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться распознавать объединение, пересечение и дополнение множеств, изображать их на диаграммах Эйлера — Венна и находить результат операций для заданных конечных множеств.
- Сформировать представление о множестве, его элементах и знаках принадлежности, объединения, пересечения и дополнения.
- Научить выполнять операции над множествами на конкретных примерах и объяснять полученный результат словами.
- Развивать умение сравнивать математические объекты, выделять общее и различное, проверять решение по диаграмме.
- Формировать аккуратность записи, готовность сотрудничать и уверенность при объяснении решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию объектов и ситуаций из повседневной жизни.
- Понимают ценность точной классификации объектов при принятии решений и анализе информации.
- Развивают уверенность в возможности разобраться в новой теме через последовательные действия и самопроверку.
- Осознают ответственность за собственный вклад при работе в паре или группе.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки объектов и объединяют объекты по заданному условию.
- Читают математическую запись и переводят её в словесное описание.
- Строят и используют диаграммы Эйлера — Венна как модель отношений между множествами.
- Планируют решение, сверяют его с условием и исправляют ошибки по эталону.
- Аргументированно представляют результат обсуждения в паре.
Предметные
- Знать смысл понятий «множество», «элемент множества», «объединение», «пересечение», «дополнение».
- Уметь использовать обозначения $A \cup B$, $A \cap B$ и $\overline{A}$ или $U\setminus A$.
- Уметь находить объединение и пересечение конечных множеств по их перечислению и диаграмме.
- Уметь находить дополнение множества до универсального множества $U$.
- Уметь объяснять результат операции обычными словами и проверять его по принадлежности элементов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения операций над множествами для упорядочивания и анализа информации.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение, не отказываясь от решения после первой ошибки.
- Оценивают собственную уверенность в выполнении каждого вида операции.
- Уважительно относятся к иному способу рассуждения одноклассника.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и составляют последовательность действий для её достижения.
- Используют алгоритм: определить универсальное множество, выписать элементы, проверить условие принадлежности.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и находят конкретное место ошибки.
- Формулируют, какая помощь необходима для дальнейшей работы.
Познавательные УУД
- Сравнивают множества и классифицируют элементы по признакам.
- Моделируют операции с помощью кругов Эйлера — Венна.
- Устанавливают различие между словами «или» и «и» в математическом контексте.
- Извлекают информацию из записи множества и диаграммы.
- Формулируют вывод о принадлежности элемента результату операции.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: один строит диаграмму, другой проверяет элементы.
- Задают уточняющие вопросы о выборе элемента в объединение или пересечение.
- Объясняют решение полными фразами, используя математические термины.
- Согласовывают общий ответ и корректно обсуждают найденные ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с обозначениями множеств $A$, $B$, универсального множества $U$ и кругами Эйлера — Венна.
- Распечатать карточки с множествами для работы в парах: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней: базовые задания на перечисление элементов и повышенные задания с диаграммами.
- Распечатать лист самооценки «Я могу...» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или мел: один цвет для объединения, второй для пересечения, третий для дополнения.
- Вывести на доску памятку: объединение — «все элементы из $A$ или $B$»; пересечение — «общие элементы»; дополнение — «элементы $U$, не входящие в $A$».
- Подготовить магниты или стикеры с числами и названиями элементов для размещения внутри диаграмм.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, доску и раздаточные листы; учебники учащиеся используют без указания конкретных страниц.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл разделения объектов на группы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам предстоит научиться не просто считать объекты, а точно описывать, какие объекты относятся к одной или нескольким группам." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
3 мин | Учитель показывает на экране две группы: школьники, занимающиеся спортом, и школьники, посещающие музыкальную школу. Реплика: "Представьте, что мы составляем список участников школьного мероприятия. В одну группу попали спортсмены, в другую — музыканты. Как назвать всех ребят, которые попали хотя бы в одну группу? А кого выделить отдельно, если нас интересуют только те, кто занимается и спортом, и музыкой?" Учитель фиксирует ответы и называет приём «Проблемный вопрос». | Обсуждают ситуацию в парах 30 секунд, отвечают: "Всех из обеих групп" и "тех, кто входит в обе группы". Формулируют, что один человек может входить сразу в две группы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что с группами объектов можно выполнять разные действия. Сейчас выясним, как такие действия называются в математике и как их записывать."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: вспомнить понятия множества, элемента и универсального множества, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $A=\{1,3,5,7\}$ и спрашивает: "Что обозначает запись? Как назвать числа 1 и 4 по отношению к множеству $A$? Какие знаки нам понадобятся?" При необходимости напоминает: "$1\in A$, а $4\notin A$." | Читают запись, отвечают: "A — множество нечётных чисел от 1 до 7; 1 принадлежит A, 4 не принадлежит A". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите множество букв слова «математика». Какие буквы не нужно повторять? Обсудите с соседом и объясните почему." | Индивидуально записывают $M=\{м,а,т,е,и,к\}$, затем сравнивают записи в парах и объясняют, что повторяющиеся элементы множества записываются один раз. |
2 мин | Учитель показывает прямоугольник с числами от 1 до 10 и спрашивает: "Если мы рассматриваем только эти числа, как назвать всю область возможных элементов? Что произойдёт, если множество содержит 2, 4 и 6?" | Называют универсальное множество, записывают пример $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ и $A=\{2,4,6\}$. |
Запись в тетрадях
Множество — совокупность объектов, объединённых общим признаком. Объект множества называется элементом. Универсальное множество $U$ содержит все рассматриваемые элементы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как задаётся множество и как проверяется принадлежность элемента. Теперь попробуем выполнить новое действие и обнаружим, какого правила нам пока не хватает."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при описании общих и всех элементов двух множеств и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{3,4,5,6\}$. Реплика: "Попробуйте за минуту записать множество всех чисел, которые находятся хотя бы в одном из множеств. Теперь отдельно запишите числа, которые есть и в A, и в B. Не торопитесь: если ответы в парах различаются, отметьте место сомнения." | Записывают предполагаемые ответы: $\{1,2,3,4,5,6\}$ и $\{3,4\}$, сравнивают результаты в парах. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какая операция оставляет только общие элементы? Какая собирает элементы из двух множеств? Как можно изобразить это на рисунке? Чего мы ещё не умеем делать — находить элементы, которые принадлежат U, но не принадлежат A?" Учитель формулирует цель вместе с классом. | Формулируют цель: "Научиться находить объединение, пересечение и дополнение, записывать их символами и показывать на диаграммах". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение понятно: мы умеем перечислять элементы, но пока не знаем точных правил операций. Откроем эти правила по одному и сразу проверим их на примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: сформировать понятия объединения, пересечения и дополнения через модели и алгоритм действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель изображает два пересекающихся круга и говорит: "Сначала рассмотрим объединение. Объединение $A\cup B$ состоит из всех элементов, которые принадлежат A или B, причём слово «или» здесь включает возможность принадлежать обоим множествам. Запишем: $A\cup B=\{x\mid x\in A$ или $x\in B\}$. Для множеств $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{3,4,5,6\}$ результат — $\{1,2,3,4,5,6\}$; повторяющиеся 3 и 4 записываем один раз." | Закрашивают оба круга, записывают $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$, проговаривают: "Объединение содержит элементы хотя бы одного множества". |
3 мин | Учитель выделяет общую часть кругов: "Пересечение $A\cap B$ состоит только из элементов, принадлежащих и A, и B одновременно. Здесь это числа 3 и 4: $A\cap B=\{3,4\}$. Запомните опорное слово: «общее»." Учитель просит проверить каждый элемент вопросом: "Он есть в A? Он есть в B?" | Закрашивают общую часть, записывают формулу и проверяют элементы 3 и 4 по двум условиям. |
4 мин | Учитель рисует прямоугольник $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ и круг $A=\{2,4,6\}$. Реплика: "Дополнение множества A до U — это все элементы универсального множества, которые не входят в A. Обозначим его $\overline{A}$ или $U\setminus A$. Значит, $\overline{A}=\{1,3,5,7,8\}$. Алгоритм прост: выписать U, убрать элементы A, проверить, что ничего не пропущено." | Строят прямоугольник и круг, располагают элементы, записывают $\overline{A}=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}$, формулируют: "Дополнение — это всё из U, что не входит в A". |
Запись в тетрадях
- $A\cup B$ — объединение: элементы, принадлежащие A или B.
- $A\cap B$ — пересечение: элементы, принадлежащие одновременно A и B.
- $\overline{A}=U\setminus A$ — дополнение A до универсального множества U.
- Для проверки элемента используем вопросы: «Он есть хотя бы в одном множестве?», «Он есть в обоих?», «Он входит в U, но не входит в A?»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть три опорных слова: «или» — объединение, «и» — пересечение, «не входит» — дополнение. Проверим правила сначала вместе, а затем вы примените их самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор операции и выполнение действий по пошаговому алгоритму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки: $A=\{2,4,6,8\}$, $B=\{4,8,12\}$, $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$. Инструкция: "В каждой паре один ученик строит диаграмму, второй контролирует перечисление элементов. Затем поменяйтесь ролями. Начните с объединения." | Распределяют роли, строят диаграмму, находят $A\cup B=\{2,4,6,8,12\}$. |
2 мин | Учитель говорит: "Теперь найдите пересечение. Каждый элемент проверяйте по двум вопросам: входит ли он в A и входит ли он в B? Не записывайте элемент только потому, что он встретился один раз." | Находят $A\cap B=\{4,8\}$ и закрашивают общую часть диаграммы. |
2 мин | Учитель продолжает: "Найдите дополнение B до U. Сначала перепишите элементы U, затем зачеркните 4, 8 и 12. Проверьте результат с диаграммой." | Находят $\overline{B}=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}$, сверяют запись с прямоугольником U. |
1 мин | Учитель проводит быструю проверку «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить все три операции, жёлтую — если нужна одна подсказка, красную — если требуется разобрать пример ещё раз." | Показывают цвет, называют затруднение: например, "путаю объединение и пересечение" или "забываю указать U для дополнения". |
Эталон решения
1. Объединение: берём элементы из A и B, повторяющиеся элементы записываем один раз: $A\cup B=\{2,4,6,8,12\}$. 2. Пересечение: оставляем только элементы, которые есть в обоих множествах: $A\cap B=\{4,8\}$. 3. Дополнение B: из $U$ убираем элементы B: $\overline{B}=U\setminus B=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете выполнять операции по алгоритму. Следующий шаг — проверить себя без подсказки и объяснить, почему каждый элемент оказался именно в таком результате."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание трёх операций и закрепить навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт базовую карточку: "Выполните задания самостоятельно. 1) $A=\{1,3,5,7\}$, $B=\{3,6,7\}$: найдите $A\cup B$ и $A\cap B$. 2) $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $C=\{2,5,8\}$: найдите $\overline{C}$. 3) Объясните одним предложением, чем объединение отличается от пересечения." Для учащихся, готовых к усложнению, предлагает: "Составьте два множества с пересечением, содержащим ровно один элемент." | Решают индивидуально: $A\cup B=\{1,3,5,6,7\}$, $A\cap B=\{3,7\}$, $\overline{C}=\{1,3,4,6,7\}$. Записывают словесное объяснение. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску и говорит: "Проверьте не только ответ, но и способ. Если ошибка есть, подчеркните именно тот шаг, где она возникла: неверно поняли слово, пропустили элемент или забыли про U. Исправление запишите рядом." | Сверяют решения, ставят условные отметки, исправляют ошибки. По желанию объясняют соседу один исправленный шаг. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что результат зависит от точного чтения условия. Осталось связать операции с реальными группами объектов и убедиться, что вы можете объяснить выбор действия."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, зафиксировать затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте галочкой утверждения, которые можете подтвердить: я нахожу объединение; я нахожу пересечение; я нахожу дополнение при заданном U; я могу объяснить решение по диаграмме. Затем завершите фразу: «Сегодня мне стало понятно...»." | Заполняют лист самооценки, формулируют один освоенный способ и одно оставшееся затруднение. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: что означает слово «или» в объединении, что означает «и» в пересечении, почему для дополнения обязательно задаётся U?" | Отвечают: "Объединение содержит элементы хотя бы одного множества; пересечение — общие элементы; дополнение определяется относительно универсального множества". Записывают задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки, правильно найдены объединение, пересечение и дополнение, использованы обозначения и приведено словесное объяснение.
- «4» — верно выполнены не менее двух операций из трёх, допущена одна неточность в перечислении или записи, ход рассуждения в целом понятен.
- «3» — верно выполнена хотя бы одна операция и показано понимание различия между объединением и пересечением при наличии исправлений по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает объединение множеств своими словами? | Проверка понимания операции и значения слова «или». |
Как определить, что элемент принадлежит пересечению? | Выявление понимания двойного условия принадлежности. |
Почему для нахождения дополнения нужно знать универсальное множество? | Проверка осознания границ рассматриваемых элементов. |
На каком шаге вы сегодня испытывали затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились выполнять три операции над множествами. Объединение собирает элементы из двух множеств, пересечение оставляет только общие элементы, а дополнение показывает элементы универсального множества, которые в данное множество не входят. Самая частая ошибка — перепутать «или» и «и» либо забыть, относительно какого множества строится дополнение. На следующем уроке мы продолжим работать с диаграммами и применим операции над множествами к задачам на подсчёт и вероятность."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для двух пар конечных множеств найти объединение и пересечение, а для двух заданных универсальных множеств найти дополнение. Для каждого результата сделать краткую проверку по условию принадлежности. | Закрепляет базовый алгоритм трёх операций; при проверке обратить внимание на отсутствие повторов и правильное использование универсального множества. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с диаграммами Эйлера — Венна: расположить элементы в нужных областях, найти $A\cup B$, $A\cap B$ и дополнение одного множества до $U$. Одно решение объяснить полным предложением. | Развивает умение переводить условие в модель и связывать рисунок с математической записью. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную жизненную задачу о двух группах людей или объектов, в которой используются объединение, пересечение и дополнение; задать множества, решить задачу и изобразить диаграмму. | Формирует умение создавать математическую модель, выбирать обозначения и аргументировать результат. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается объединение множеств?», «Какие элементы входят в пересечение?», «Что нужно указать перед нахождением дополнения?», «Как по диаграмме проверить свой ответ?»
