Сравнение обыкновенных дробей с разными знаменателями
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться сравнивать обыкновенные дроби с разными знаменателями не менее чем в четырёх из пяти предложенных случаев, используя приведение к общему знаменателю или сравнение с единицей.
- Образовательная задача: сформулировать правило сравнения дробей с разными знаменателями и применять его при решении учебных и практических задач.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение выбирать рациональный способ решения, объяснять ход рассуждений и находить ошибки.
- Коммуникативная задача: организовать парную работу с распределением ролей, взаимной проверкой и аргументированным обсуждением ответа.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность математической записи, ответственность за общий результат и уверенность в преодолении затруднения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску способа сравнения дробей, когда устного правила «сравнить числители» недостаточно.
- Осознают ценность точного математического языка и аккуратной записи рассуждений.
- Проявляют готовность сотрудничать с одноклассником и принимать обоснованную точку зрения партнёра.
- Развивают положительную самооценку через фиксацию личного продвижения от затруднения к правильному алгоритму.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность действий при сравнении дробей.
- Выделяют существенные признаки дробей, выбирают общий знаменатель и преобразуют математическую информацию в алгоритм.
- Смыслово читают условие задачи, извлекают данные и объясняют, почему выбранный способ сравнения является корректным.
- Осуществляют взаимопроверку по критериям, обнаруживают ошибку и корректируют решение.
- Используют математическую речь для аргументации: называют знак сравнения и объясняют способ его выбора.
Предметные
- Знать, что для сравнения дробей с разными знаменателями их можно привести к общему знаменателю.
- Уметь сравнивать дроби с разными знаменателями через приведение к общему знаменателю.
- Уметь сравнивать дробь с единицей и использовать это при выборе рационального способа решения.
- Уметь записывать результат сравнения с помощью знаков $>$, $<$ и $=$ и объяснять каждый шаг.
- Уметь применять правило сравнения дробей в задаче с жизненным контекстом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности через ответ на вопрос, зачем сравнивать доли и величины в повседневных ситуациях.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения и ответственность за достоверность результата.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: научиться сравнивать дроби с разными знаменателями.
- Планируют действия: найти общий знаменатель, преобразовать дроби, сравнить числители, записать вывод.
- Проверяют решение обратным рассуждением или повторным выполнением алгоритма.
- Исправляют ошибку, если общий знаменатель выбран неверно или знак сравнения записан неправильно.
Познавательные УУД
- Сравнивают пары дробей и выявляют, почему сравнение только числителей или только знаменателей может привести к ошибке.
- Моделируют дроби на полосках бумаги и связывают рисунок с математической записью.
- Преобразуют правило в пошаговый алгоритм и применяют его к новым примерам.
- Анализируют готовое решение, находят место ошибки и обосновывают исправление.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий выполняет преобразования, проверяющий задаёт вопросы по алгоритму.
- Формулируют полный устный ответ: «Так как ..., то ...».
- Задают уточняющие вопросы и аргументированно защищают выбранный знак сравнения.
- Проводят взаимопроверку без конфликта, опираясь на критерии, а не на личную оценку партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения пяти пар дробей, включая пары $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{8}$, а также пару для поиска ошибки.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую парту, с тремя заданиями на сравнение дробей и одним заданием с ошибочным решением.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: обязательный, повышающий и дополнительный; распечатать по одному на каждого ученика и несколько запасных.
- Подготовить цветные полоски бумаги, разделённые на равные доли, для демонстрации и работы в парах; раздать по одному комплекту на парту.
- Вывесить на доску памятку: «1. Найди общий знаменатель. 2. Приведи дроби к нему. 3. Сравни числители. 4. Запиши знак и объясни вывод».
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по три комплекта на парту.
- Подготовить слайд с жизненной задачей о долях пройденного маршрута и слайд для рефлексии.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты, проектор или интерактивную доску, маркеры и магниты.
- На доске заранее оставить место для темы, алгоритма, примера $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ и итогового ответа.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность через жизненную ситуацию и создать познавательное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две полоски маршрута: на первой отмечена доля $\frac{3}{4}$, на второй — $\frac{5}{6}$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с небольшой ситуации из жизни. Два участника прошли части одного маршрута: первый — $\frac{3}{4}$ пути, второй — $\frac{5}{6}$. Как быстро определить, кто прошёл больше, не переводя дроби в десятичные?» | Рассматривают изображение, называют данные задачи, предполагают: «Наверное, больше прошёл тот, у кого больше числитель» или «Нужно найти общий способ сравнения». |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос». «Можно ли сразу сказать, что $\frac{5}{6}>\frac{3}{4}$ только потому, что 5 больше 3? А если знаменатели разные, что именно они показывают? Сегодня нам нужно открыть способ, который будет работать для любых таких пар дробей». | Обсуждают вопрос фронтально, приводят аргументы: «Знаменатели показывают размер долей, поэтому сравнивать только числители нельзя». Формулируют ожидаемый результат урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что разные знаменатели не позволяют сравнить дроби только по числителям. Сейчас проверим, какие знания нам уже помогут, и найдём точку затруднения».
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия числителя и знаменателя, равных дробей и общего знаменателя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре полоски бумаги и карточку с вопросами. «Покажите на полоске дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4}$. Что заметили? Почему эти дроби записываются по-разному, но обозначают одну и ту же часть? Вспомните, как получить дробь, равную данной». | В парах складывают или рассматривают полоски, показывают одинаковую часть, отвечают: «$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, потому что числитель и знаменатель умножили на одно и то же число». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала подумайте самостоятельно: как превратить $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ в дроби с одинаковыми знаменателями? Запишите промежуточные шаги. Через минуту сравните записи с соседом». | Самостоятельно предлагают общий знаменатель 12, затем обсуждают в паре и записывают: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске ответы и задаёт вопрос на выявление ошибки: «Представьте, что ученик написал: $\frac{3}{4}=\frac{3}{12}$. Согласны ли вы? Объясните, что произошло со значением дроби». | Отмечают ошибку, объясняют: «Знаменатель увеличили, а числитель не увеличили; дробь стала другой». Формулируют правило получения равной дроби. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что равные дроби получают умножением числителя и знаменателя на одно и то же число. Но пока мы выполнили это действие только в одном примере. Давайте точно сформулируем, чего нам не хватает для решения любой пары».
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: осознать причину затруднения и совместно построить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{8}$ и $\frac{5}{6}$. «Попробуйте быстро поставить знак между дробями. Какие способы приходят в голову? Почему правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями здесь не подходит? Назовите место затруднения одним предложением». | Пытаются сравнить пары, замечают разные знаменатели, формулируют: «Мы умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, но здесь сначала нужно сделать знаменатели одинаковыми». |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите цель урока одним предложением. Затем объединитесь в пары и выберите точную формулировку. Нам важно, чтобы в цели были действие и условие». Учитель принимает варианты и записывает общий план: «привести — сравнить — записать». | Записывают цель, обсуждают её в парах, предлагают: «Научиться сравнивать дроби с разными знаменателями, приводя их к общему знаменателю». Совместно формулируют план из трёх-четырёх шагов. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Причина затруднения ясна: доли имеют разные размеры. Наша задача — заменить дроби равными дробями с одинаковыми знаменателями, а затем применить известное правило. Переходим к открытию алгоритма».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести и записать алгоритм сравнения обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске решение пары $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$. «Найдём наименьший общий знаменатель чисел 4 и 6: это 12. Чтобы получить знаменатель 12 в первой дроби, умножаем числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$. Во второй дроби умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. Теперь знаменатели одинаковые. Какой знак поставим?» | Записывают преобразования, проговаривают: «$\frac{9}{12}<\frac{10}{12}$, значит, $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$». Объясняют, что при одинаковых знаменателях сравнивают числители. |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: «Что делаем первым шагом? Зачем нужен общий знаменатель? Что проверяем после умножения? На каком основании ставим знак? Можно ли сравнивать исходные числители 3 и 5 без преобразования?» Учитель формулирует ответы класса в памятку. | Отвечают: «Сначала ищем общий знаменатель; затем получаем равные дроби; проверяем правильность умножения; сравниваем числители; без преобразования исходные числители сравнивать нельзя». |
3 мин | Учитель предлагает второй пример и особый случай: $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$. «Можно ли здесь заметить ответ быстрее? Приведите $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8. Сравните получившиеся дроби и объясните вывод». Затем показывает на экране алгоритм из четырёх шагов. | Преобразуют: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, сравнивают $\frac{5}{8}<\frac{6}{8}$ и делают вывод $\frac{5}{8}<\frac{3}{4}$. Переписывают алгоритм и формулируют его своими словами. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями: 1) привести дроби к общему знаменателю; 2) сравнить числители полученных дробей; 3) поставить такой же знак между исходными дробями; 4) проверить, что преобразования выполнены верно». Пример: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$, поэтому $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм открыт: общий знаменатель делает доли сопоставимыми. Теперь проверим его в совместной работе, где каждый шаг нужно будет проговорить партнёру».
Этап 5. Физкультминутка «Дроби движутся» (2 мин)
Цель этапа: снять зрительное и статическое напряжение, сохранив связь двигательной активности с математическим содержанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку. «Встаньте рядом с партами. Если я называю дробь, равную единице, поднимите руки вверх; если дробь меньше единицы — наклонитесь вправо; если больше единицы — потянитесь влево. Начинаем: $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{9}{4}$, $\frac{2}{8}$. После каждого движения проговорите свой выбор». | Выполняют движения и проговаривают: «$\frac{3}{5}<1$», «$\frac{7}{7}=1$», «$\frac{9}{4}>1$», «$\frac{2}{8}<1$». Возвращаются к рабочим местам, готовят карточки для парной работы. |
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через совместное решение и взаимное объяснение каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет правила pair_work. «В каждой паре один ученик становится решающим, второй — проверяющим. Решающий выполняет преобразования вслух, проверяющий сверяет каждый шаг с памяткой и задаёт вопрос: “Почему выбран именно этот общий знаменатель?” Затем поменяйтесь ролями». | Распределяют роли, читают критерии: найден общий знаменатель, дроби преобразованы верно, знак обоснован. |
3 мин | Учитель предлагает задания: сравнить $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$; $\frac{7}{10}$ и $\frac{2}{3}$. «Не ограничивайтесь знаком. Запишите равные дроби и полный вывод. Я подойду к двум парам и попрошу объяснить решение». | В парах решают задания, проговаривают: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$, значит $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$; $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$, $\frac{2}{3}=\frac{20}{30}$, значит $\frac{7}{10}>\frac{2}{3}$. |
3 мин | Учитель вводит проверку «Две звезды и пожелание». «Обменяйтесь карточками. Найдите у решения партнёра два корректных шага и одну рекомендацию. Например: “Верно найден общий знаменатель; аккуратно выполнено умножение; проверь запись знака”». Учитель разбирает типичную ошибку на доске: $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{12}$ сравнили по числителям. | Проверяют карточку партнёра, записывают две сильные стороны и одну рекомендацию. Исправляют ошибочное рассуждение: приводят дроби к знаменателю 36, получают $\frac{16}{36}<\frac{15}{36}$? Обнаруживают, что $16>15$, поэтому $\frac{4}{9}>\frac{5}{12}$. |
Эталон решения
Для сравнения $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{12}$ наименьший общий знаменатель равен 36. Получаем $\frac{4}{9}=\frac{16}{36}$ и $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$. Так как $16>15$, то $\frac{16}{36}>\frac{15}{36}$, следовательно, $\frac{4}{9}>\frac{5}{12}$. Ошибка была в неверной интерпретации сравнения числителей 16 и 15.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы не только получили знаки, но и доказали их через общий знаменатель. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней. «Все выполняют обязательные задания 1–3. Если справитесь раньше, переходите к повышенному заданию 4, а затем к дополнительному. Работайте самостоятельно, запись должна позволять проверить каждый шаг». | Получают листы, читают задания и критерии, выбирают темп работы. |
5 мин | Учитель предлагает обязательные задания: 1) сравнить $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$; 2) сравнить $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$; 3) вставить знак в $\frac{11}{15}\ \square\ \frac{3}{5}$. Для тех, кто готов, повышенное: сравнить $\frac{7}{8}$ и $\frac{11}{12}$ двумя способами. Учитель наблюдает, не подсказывая готовый ответ, задаёт направляющий вопрос: «Какой общий знаменатель поможет сопоставить доли?» | Индивидуально выполняют задания. Возможные записи: $\frac{3}{7}=\frac{27}{63}$, $\frac{4}{9}=\frac{28}{63}$, поэтому $\frac{3}{7}<\frac{4}{9}$; $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$, $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, поэтому $\frac{5}{12}>\frac{7}{18}$; $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$, поэтому $\frac{11}{15}>\frac{3}{5}$. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и проводит самопроверку. «Проверьте не только итоговый знак, но и три позиции: общий знаменатель, множители, сравнение числителей. Отметьте зелёным полностью верное решение, жёлтым — решение с одной исправленной ошибкой, красным — место, которое пока требует помощи». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, отмечают уровень понимания карточкой «Светофор». |
Эталон решения
$\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$: общий знаменатель 63; $\frac{3}{7}=\frac{27}{63}$, $\frac{4}{9}=\frac{28}{63}$, значит $\frac{3}{7}<\frac{4}{9}$. $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$: общий знаменатель 36; $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$, $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, значит $\frac{5}{12}>\frac{7}{18}$. $\frac{11}{15}$ и $\frac{3}{5}$: $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$, поэтому $\frac{11}{15}>\frac{3}{5}$. Для повышенного задания: $\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$, $\frac{11}{12}=\frac{22}{24}$, значит $\frac{7}{8}<\frac{11}{12}$; также обе дроби можно сравнить с единицей по расстоянию до 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять индивидуально. Ошибки, которые вы исправили цветом, — это не неудача, а подсказка, какой шаг нужно потренировать. Завершим урок применением знания к жизненной ситуации и рефлексией».
Этап 8. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в практической задаче, оценить достижение цели и сформулировать личный результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает задачу: «В понедельник турист прошёл $\frac{5}{8}$ маршрута, а во вторник — $\frac{7}{12}$ такого же по длине маршрута. В какой день он прошёл большую часть маршрута? Запишите решение с объяснением». Учитель напоминает: «Сначала определите, какие дроби сравниваются, затем выберите общий знаменатель». | Записывают краткое условие, приводят дроби к знаменателю 24: $\frac{5}{8}=\frac{15}{24}$, $\frac{7}{12}=\frac{14}{24}$, делают вывод: «В понедельник турист прошёл большую часть маршрута». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно сравнить две дроби с разными знаменателями и объяснить знак; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если затрудняетесь найти общий знаменатель. Одним предложением объясните свой выбор соседу». | Показывают карточку, объясняют партнёру свой уровень: «Мне нужна тренировка в выборе общего знаменателя» или «Я могу выполнить все шаги и проверить результат». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы для выхода: «Что нового узнали? Какой шаг алгоритма нельзя пропускать? Какая ошибка встречается чаще всего? Где в жизни можно сравнивать доли?» Учитель принимает ответы и фиксирует на доске ключевые формулировки. | Отвечают: «Нужно привести дроби к общему знаменателю»; «нельзя сравнивать только исходные числители»; приводят примеры: доля выполненной работы, пройденный маршрут, часть времени или продукта. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами обнаружили затруднение, вывели алгоритм, проверили его в паре и применили самостоятельно. Теперь зафиксируем критерии успеха, домашнюю работу и вопрос, который поможет вам проверить себя перед выходом».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, в каждом решении указан общий знаменатель, преобразования записаны корректно, знаки сравнения обоснованы; повышенное задание выполнено полностью или приведён рациональный способ сравнения.
- «4» — верно выполнены не менее двух из трёх обязательных заданий, алгоритм выбран правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — выполнено хотя бы два обязательных задания с частичным применением алгоритма; общий знаменатель найден или указано направление преобразования, но требуется помощь в завершении сравнения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о сравнении дробей с разными знаменателями? | Выявление осознания основного способа: приведение к общему знаменателю. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным и почему? | Выявление точек затруднения: поиск общего знаменателя, умножение или выбор знака. |
Как вы проверяли, что получили равную дробь? | Проверка понимания сохранения значения дроби при умножении числителя и знаменателя на одно число. |
Сможете ли вы объяснить решение партнёру без записи учителя? | Субъективная оценка самостоятельности и готовности переносить алгоритм на новое задание. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились сравнивать дроби, у которых знаменатели различаются. Главное правило — сначала сделать дроби сопоставимыми, приведя их к общему знаменателю, и только потом сравнивать числители. Будьте внимательны: самая частая ошибка — изменить знаменатель и забыть изменить числитель тем же множителем. Дома закрепите алгоритм на нескольких примерах, а на следующем уроке мы используем сравнение дробей при решении более сложных задач».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 заданий на сравнение обыкновенных дробей с разными знаменателями: в каждом примере привести дроби к общему знаменателю, записать промежуточные равенства и поставить знак $>$, $<$ или $=$. | Закрепляет обязательный алгоритм; при проверке смотреть на правильность общего знаменателя, множителей и итогового знака. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания, в которых дроби сравниваются в жизненном контексте: доля выполненной работы, часть пройденного пути или количество израсходованного продукта; к каждому записать краткий ответ словами. | Формирует математическую и читательскую грамотность; при проверке смотреть, связаны ли вычисленный знак и словесный вывод с условием. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две пары дробей с разными знаменателями, одна из которых сравнивается через общий знаменатель, а вторая — удобнее через сравнение с единицей; решить их и письменно объяснить выбор способа. | Развивает выбор рациональной стратегии и создание собственного математического задания; при проверке смотреть на корректность примеров и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Почему нельзя сравнивать дроби с разными знаменателями только по числителям? Как получить общий знаменатель для $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$? Какой знак получится при сравнении $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$? Назовите четыре шага алгоритма».
