Решение текстовых задач, включающих понятия делимости, НОД и НОК
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать НОД или НОК для решения практических текстовых задач и верно решать не менее 3 задач из 4, объясняя выбор способа.
- Закрепить умение распознавать ситуации на деление на равные части и ситуации повторного совпадения событий.
- Развивать умение анализировать условие, выделять величины и составлять план решения.
- Формировать навыки сотрудничества при парной и групповой работе, аргументированного представления решения.
- Воспитывать внимательное отношение к точности вычислений и применению математики в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математического способа решения жизненной задачи.
- Осознают значение точности, ответственности и взаимопомощи при совместной работе.
- Понимают практическую пользу понятий НОД и НОК в организации времени и распределении предметов.
- Оценивают собственный вклад в командную работу и готовы корректировать ошибки.
Метапредметные
- Анализируют текст задачи, выделяют условие, вопрос и существенные данные.
- Выбирают НОД или НОК на основе смысла ситуации, а не только по ключевым словам.
- Планируют решение, проверяют результат и формулируют ответ с единицами измерения.
- Ведут диалог, распределяют роли в группе и аргументируют математическое решение.
Предметные
- Знают признаки ситуаций, в которых применяется НОД или НОК.
- Умеют решать задачи на разбиение предметов на одинаковые группы с использованием НОД.
- Умеют решать задачи на совпадение периодически повторяющихся событий с использованием НОК.
- Владеют алгоритмом записи краткого условия, решения, проверки и ответа задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за правильность вычислений и объяснение выбора способа.
- Проявляют готовность принимать другую точку зрения при обсуждении решения.
- Сохраняют учебную мотивацию через игровое соревнование и практический контекст.
- Оценивают эмоциональное состояние и степень уверенности в своих знаниях.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и планируют последовательность действий.
- Контролируют соответствие решения условию задачи.
- Находят и исправляют ошибки в вычислениях или выборе НОД и НОК.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Сравнивают задачи на НОД и НОК и классифицируют их по смыслу.
- Строят математическую модель жизненной ситуации.
- Используют таблицу делителей и кратных для проверки гипотезы.
- Формулируют вывод о связи делимости с распределением и повторением событий.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре и группе, распределяя роли: читатель, вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы по условию и способу решения.
- Аргументированно объясняют выбор НОД или НОК.
- Согласуют общий ответ и корректно обсуждают ошибки одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя маршрутами игры: «Равные команды» и «Встреча по расписанию».
- Распечатать карточки четырёх цветов: по одной карточке на каждого ученика для актуализации и по одному комплекту на группу из 4 человек.
- Подготовить жетоны или магнитные баллы для команд, маркеры, листы А4 и стикеры.
- Разместить на доске памятку: «НОД — разделить поровну; НОК — узнать, когда совпадёт снова».
- Подготовить карточки с задачами трёх уровней: базовый, повышенный и творческий.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для игровых раундов и групповой работы.
- Подготовить изображение расписаний автобусов и тренировок для межпредметной связи с физической культурой и организацией времени.
- Освободить место для короткой физкультминутки; заранее выбрать движения без инвентаря.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать игровую мотивацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы отправимся в математическое соревнование «Маршрут решений». Проверьте тетрадь, ручку и готовность работать в команде. За точное решение и хорошее объяснение команда получит жетон." | Проверяют принадлежности, объединяются в заранее определённые группы по 4 человека, распределяют роли. |
2 мин | Учитель показывает на доске две ситуации: «разложить 24 карандаша поровну» и «узнать, когда снова встретятся два расписания». Учитель спрашивает: "Как вы думаете, какое знакомое понятие поможет в каждой ситуации? Почему одного и того же действия может быть недостаточно?" | Предполагают: «В первой ситуации нужен НОД, во второй — НОК»; формулируют, что задачи требуют понимания смысла, а не механического вычисления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим, умеем ли применять НОД и НОК не в отдельных примерах, а в задачах из жизни. Сначала вспомним признаки выбора способа, а затем пройдём несколько игровых маршрутов."
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Сигнал» (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения делителя, кратного, НОД и НОК и выявить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с числами 12, 18, 24 и просит: "Запишите делители числа 18 и первые пять кратных числа 6. Работайте индивидуально, затем сравните записи с соседом." | Записывают делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30; сверяют ответы в парах. |
2 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Что называют делителем? Что называют кратным? Как найти НОД двух чисел? Как найти НОК?" На доске фиксирует краткие ответы. | Отвечают: «Делитель делит число без остатка»; «Кратное получается умножением числа на натуральное число»; называют способы нахождения НОД и НОК. |
2 мин | Учитель называет ситуации, а учащиеся показывают карточку «Д» или «К»: "Разложить 30 конфет поровну; узнать, через сколько минут снова одновременно отправятся два автобуса; нарезать ленты одинаковой максимальной длины". Просит обосновывать два ответа. | Поднимают карточки: «Д», «К», «Д»; объясняют: «Нужно разделить поровну» и «Нужно найти первое общее кратное». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили вычислительные правила. Теперь важно научиться видеть математический смысл текста: распределяем поровну — ищем НОД, ждём совместного повторения — ищем НОК."
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм выбора НОД или НОК при решении текстовой задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "В спортивной секции 24 ученика и 36 учениц. Нужно составить одинаковые по составу группы так, чтобы в каждой группе было поровну учеников и учениц, а групп получилось как можно больше. Какое число будем искать?" Учитель не сообщает способ, а задаёт вопросы: "Что должно быть общим делителем? Почему нужен наибольший?" | В парах обсуждают 1 минуту, отвечают: «Нужно найти НОД 24 и 36, потому что число групп должно делить оба количества, а групп должно быть максимально много». |
2 мин | Учитель задаёт вторую ситуацию: "Один спортсмен делает упражнение каждые 6 минут, другой — каждые 8 минут. Они начали одновременно. Через сколько минут снова начнут одновременно?" Учитель спрашивает: "Это распределение или совпадение?" | Формулируют: «Это совпадение повторяющихся событий, поэтому нужен НОК». Записывают цель: «Научиться выбирать НОД или НОК и решать текстовые задачи». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Во время решения мы будем каждый раз задавать себе два вопроса: нужно ли разделить величины поровну и нужно ли дождаться общего повторения?"
Этап 4. Обобщение алгоритма и групповая работа (9 мин)
Цель этапа: систематизировать способы решения задач на НОД и НОК через работу групп и объяснение алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой группе две карточки. Карточка 1: "Из 48 красных и 60 синих флажков составляют одинаковые наборы, используя все флажки. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно получить? Сколько флажков каждого цвета будет в наборе?" Карточка 2: "Два фонаря мигают через 10 и 15 секунд. Через сколько секунд они мигнут одновременно?" | Распределяют роли, выделяют данные и вопрос, определяют: первая задача на НОД, вторая на НОК. |
3 мин | Учитель направляет работу вопросами: "Что обозначает найденный НОД в первой задаче? Почему после нахождения НОД нужно разделить 48 и 60? Что обозначает НОК во второй задаче?" | Записывают краткое условие, находят $НОД(48,60)=12$, вычисляют $48:12=4$, $60:12=5$; находят $НОК(10,15)=30$ и формулируют ответы. |
3 мин | Учитель приглашает докладчиков: "Представьте решение не только вычислениями, но и одним предложением объясните выбор действия. Остальные группы сравнивают решение и поднимают зелёный стикер при согласии, жёлтый — если есть вопрос." | Докладчики объясняют решения: «12 наборов, в каждом 4 красных и 5 синих флажков»; «фонари мигнут вместе через 30 секунд». Задают вопросы и корректируют записи. |
Эталон решения
В первой задаче число наборов должно быть общим делителем 48 и 60, причём наибольшим: $НОД(48,60)=12$. В одном наборе будет $48:12=4$ красных и $60:12=5$ синих флажков. Во второй задаче ищем первое общее кратное: $НОК(10,15)=30$. Ответ: через 30 секунд.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группа должна уметь объяснить не только число, но и его смысл. Теперь проверим, как каждый из вас применяет общий алгоритм самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка «Делитель или кратное?» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить различение НОД и НОК в движении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Если я называю ситуацию на равное распределение, приседаем один раз; если на повторное совпадение, поднимаем руки вверх. При слове «проверка» делаем шаг на месте. Готовы: разложить конфеты поровну; встретиться автобусам по расписанию; нарезать ленты одинаковой длины; одновременно прозвенеть двум таймерам." | Выполняют движения: приседают на ситуациях НОД, поднимают руки на ситуациях НОК, проговаривают: «распределение» или «совпадение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз закрепили главный ориентир. Переходим к самостоятельному маршруту, где каждый покажет собственный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с взаимопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение выбирать НОД или НОК и оформлять решение текстовой задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый: "В кружке 18 мальчиков и 24 девочки. Их хотят разделить на самое большое число одинаковых команд. Сколько команд получится и сколько мальчиков и девочек будет в каждой?" Повышенный: "Три автобуса отправляются через 12, 18 и 24 минуты. Через сколько минут они отправятся одновременно?" Продвинутый: "Есть 42 красных и 56 белых бусин. Составьте как можно больше одинаковых наборов и объясните, как изменить задачу, чтобы потребовался НОК." | Индивидуально решают выбранную карточку, записывают краткое условие, выбор НОД или НОК, вычисления, ответ и проверку. |
2 мин | Учитель выводит эталон: для первой задачи — $НОД(18,24)=6$; для второй — $НОК(12,18,24)=72$. Просит проверить не только число, но и единицы измерения и смысл ответа. | Сверяют решение, отмечают ошибки условным знаком, исправляют вычисления или формулировку ответа. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: "Назовите два удачных элемента решения и один совет. Совет должен быть конкретным: проверить НОД, добавить единицу измерения или объяснить выбор метода." | Обмениваются карточками в парах, записывают два достоинства и один конкретный совет, возвращают работу автору. |
Эталон решения
Для задачи о командах: $НОД(18,24)=6$. Получится 6 команд; в каждой будет $18:6=3$ мальчика и $24:6=4$ девочки. Для задачи об автобусах: $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, $24=2^3\cdot3$, поэтому $НОК(12,18,24)=2^3\cdot3^2=72$. Автобусы отправятся одновременно через 72 минуты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы показали, что умеете переходить от текста к математической модели. Осталось обобщить, что было главным, и определить, какой маршрут каждому нужно продолжить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (11 мин)
Цель этапа: осознать способы решения, провести самооценку и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно отличаете задачи на НОД и НОК; жёлтую — если иногда сомневаетесь; красную — если нужна помощь. Законите фразу: «Теперь я умею…», «Мне нужно повторить…»." | Поднимают карточки, устно заканчивают фразы: «Теперь я умею находить НОД в задачах на группы»; «Мне нужно повторить нахождение НОК нескольких чисел». |
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на вопрос: в задаче «два события повторяются через 8 и 12 минут» какой способ выберете и почему? Приведите значение результата." | Пишут: «Нужно найти НОК, потому что ищем первое общее время; $НОК(8,12)=24$, значит, события совпадут через 24 минуты». |
4 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняйте по готовности. В каждой задаче обязательно укажите, почему выбран НОД или НОК, и запишите ответ с единицами измерения." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сверяют выбранный уровень с учителем. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за текстом математическую ситуацию: распределение связано с НОД, а повторное совпадение — с НОК. Проверьте дома не только вычисления, но и смысл ответа."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные задачи, обоснован выбор НОД или НОК, выполнена проверка и записаны полные ответы с единицами измерения.
- «4» — верно решены не менее трёх задач, способ выбран правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность.
- «3» — верно решены две задачи либо способ выбран правильно, но требуется исправить вычисления, краткую запись или формулировку ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как понять по условию задачи, что нужен НОД? | Выявление понимания ситуации равного распределения. |
Как понять по условию задачи, что нужен НОК? | Проверка осознания идеи повторного совпадения событий. |
Какое действие в алгоритме оказалось самым сложным? | Выявление точки затруднения: анализ текста, выбор способа или вычисления. |
Что помогло вам работать в паре или группе? | Оценка сотрудничества и эффективности распределения ролей. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы обобщили решение текстовых задач на делимость, НОД и НОК. Главное — не искать знакомое слово в условии, а понять смысл ситуации: распределяем поровну или ждём общего повторения. Помните о типичной ошибке: найденное число нужно объяснить в контексте задачи и указать единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим применять делимость при решении более сложных задач и будем проверять несколько способов рассуждения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 текстовые задачи: две на распределение предметов поровну с использованием НОД и две на совпадение периодических событий с использованием НОК. В каждой задаче записать краткое условие, решение и полный ответ. | Закрепляет распознавание двух типов ситуаций; при проверке обратить внимание на обоснование выбора НОД или НОК. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых участвуют три числа или три повторяющихся события; выполнить проверку результата перечислением нескольких делителей или кратных. | Развивает умение находить НОД и НОК нескольких чисел и контролировать вычисления. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные задачи по жизненному контексту: одну на НОД и одну на НОК, решить их и обменяться с одноклассником для взаимной проверки. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять практический смысл результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой способ выбирают для равного распределения? Что означает НОД в ответе задачи? Какой способ выбирают для совпадения повторяющихся событий? Почему одного вычисленного числа недостаточно без текстового ответа?»
