График функции: построение линии функции по таблице значений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться составлять таблицу значений и строить график зависимости $y=2x+1$ на координатной плоскости, а также определять по графику значения функции для заданных значений аргумента.
- Образовательная задача: сформировать представление о графике функции как о множестве точек координатной плоскости, координаты которых связаны заданным правилом.
- Развивающая задача: развивать умение устанавливать соответствие между формулой, таблицей и графическим изображением, анализировать ошибки и делать выводы.
- Метапредметная задача: учить планировать последовательность построения, проверять результат по эталону и аргументированно объяснять способ действия.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность при построении, ответственность за результат индивидуальной работы и готовность сотрудничать с одноклассниками.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию реальных зависимостей с помощью графиков.
- Осознают практическую ценность графиков для представления и чтения информации.
- Оценивают собственный вклад в достижение цели урока и принимают необходимость аккуратной математической записи.
- Сохраняют уверенность в возможности освоить новый способ действия через последовательное выполнение шагов.
Метапредметные
- Познавательные: соотносят формулу, таблицу значений и точки на координатной плоскости.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют построение, выполняют самопроверку и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: обсуждают решение в парах, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор координат точек.
- Работают с информацией, представленной в текстовой, табличной и графической формах.
- Применяют математическую речь для последовательного описания алгоритма построения графика.
Предметные
- Знать, что график функции состоит из точек $(x;y)$, координаты которых удовлетворяют заданному правилу.
- Уметь составлять таблицу значений функции $y=2x+1$ для выбранных значений $x$.
- Уметь отмечать пары координат на координатной плоскости и соединять полученные точки линией.
- Уметь по готовому графику находить значение $y$ при заданном значении $x$.
- Уметь обнаруживать ошибку в таблице или построении и объяснять способ её исправления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, зачем графическое представление зависимости нужно при решении учебных и жизненных задач.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному открытию нового способа.
- Оценивают трудность задания без отказа от попытки выполнить его.
- Проявляют уважение к иной точке зрения при обсуждении вариантов построения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют действия: выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, проверить построение.
- Сверяют таблицу и график с эталоном, находят и исправляют неточности.
- Осуществляют самооценку по критериям точности и полноты выполнения задания.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки графика функции.
- Устанавливают закономерность между изменением $x$ и изменением $y$.
- Моделируют зависимость в виде таблицы и набора точек.
- Анализируют ошибочное построение и устанавливают причину ошибки.
- Преобразуют информацию из формулы в таблицу и из таблицы в график.
Коммуникативные УУД
- Сотрудничают в паре при проверке координат точек.
- Формулируют вопросы о порядке построения и дают на них математически точные ответы.
- Объясняют партнёру, почему точка принадлежит или не принадлежит графику.
- Согласуют общий вариант алгоритма и корректно разрешают расхождения в решениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение координатной плоскости с осями $Ox$ и $Oy$, единичным отрезком и примером графика зависимости.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: минимальный, базовый и повышенный, по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить эталон таблицы значений и графика $y=2x+1$ для самопроверки, закрытый до нужного этапа.
- Раздать каждой паре линейку, два цветных карандаша и карточку с координатной плоскостью.
- Вывести на доску памятку: «1. Выбери $x$. 2. Вычисли $y$. 3. Запиши пару $(x;y)$. 4. Отметь точку. 5. Проверь».
- Подготовить стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: «составляю таблицу», «строю точки», «читаю график», «нахожу ошибку».
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска, маркеры, тетради, линейки, карандаши и раздаточные карточки.
Ход урока
Этап 1. Мотивирование на учебную деятельность (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практический смысл графического представления зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение изменения температуры воздуха в течение дня: «Ребята, сегодня мы будем работать не только с числами, но и с их изображением. Посмотрите на экран: здесь показано, как менялась температура. Почему по такому рисунку легче увидеть изменение температуры, чем по длинному списку чисел?» | Рассматривают изображение, формулируют предположения: «На графике сразу видны повышение и понижение температуры», «можно сравнить значения». |
2 мин | Учитель сообщает: «Сегодня мы сами научимся строить такую математическую модель. Ваша задача — не просто получить рисунок, а понять, почему каждая точка имеет право находиться на графике. В конце урока вы сможете построить график по формуле и прочитать с него нужную информацию». | Записывают дату, готовят тетради и формулируют ожидаемый результат: «Научиться строить и читать график функции». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «График помогает увидеть зависимость целиком. Чтобы построить его правильно, сначала вспомним координаты и таблицы значений, а затем выясним, какое новое действие нам понадобится».
Этап 2. Актуализация знаний и пробное действие (6 мин)
Цель этапа: актуализировать умения работать с координатной плоскостью и вычислять значение выражения по заданному значению переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость: «Назовите горизонтальную и вертикальную оси. Что откладываем по оси $Ox$, а что по оси $Oy$? Как записываем координаты точки?» Учитель отмечает точку $A(2;3)$ и просит объяснить её положение. | Отвечают: «Горизонтальная ось — $Ox$, вертикальная — $Oy$», «по $Ox$ откладываем $x$, по $Oy$ — $y$», «сначала записываем абсциссу, затем ординату». |
2 мин | Учитель предлагает вычислить значения $y=2x+1$ при $x=-2$, $x=0$, $x=2$: «Работаем устно, но каждое действие проговариваем. Что подставляем вместо $x$? Какой результат получаем?» | Выполняют вычисления и называют пары: $(-2;-3)$, $(0;1)$, $(2;5)$. |
2 мин | Учитель выдаёт пробное задание: «Отметьте на координатной плоскости точки $A(-2;-3)$, $B(0;1)$, $C(2;5)$ и попробуйте соединить их. Пока не обсуждаем, почему именно эти точки выбраны». Учитель фиксирует затруднения. | Отмечают точки, соединяют их и замечают затруднение: «Неясно, достаточно ли трёх точек», «не знаем, какие значения выбирать дальше». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Координаты и вычисления нам знакомы, но возник вопрос: как связать формулу с большим количеством точек и получившейся линией. Найдём точное место затруднения».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: осознать, какого знания не хватает для обоснованного построения линии по формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Вспомните последовательность наших действий. Мы выбрали $x$, вычислили $y$ и получили точки. Но почему эти точки можно соединять линией? Обсудите с соседом, что нужно доказать или установить». | 30 секунд размышляют индивидуально, 1 минуту обсуждают в парах, затем формулируют: «Нужно показать, что координаты каждой точки удовлетворяют формуле», «нужно выбрать несколько значений $x$». |
2 мин | Учитель задаёт подводящие вопросы: «Что произойдёт, если взять другое значение $x$? Будет ли получена новая точка? Как назвать все точки, координаты которых связаны одной формулой?» Учитель записывает на доске ответы детей и слово «график». | Отвечают: «Получится новая точка», «таких точек может быть много», «график функции — это точки, связанные заданным правилом». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили: нам нужен способ построить множество точек, координаты которых удовлетворяют формуле. Теперь сами поставим цель и определим план открытия нового знания».
Этап 4. Построение проекта решения проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать алгоритм построения графика функции по таблице значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: «Сформулируйте цель урока. Какие шаги нужно выполнить, чтобы построить график функции $y=2x+1$? Сначала выберем несколько удобных значений $x$. Затем что сделаем?» Учитель принимает предложения и оформляет план на доске. | Формулируют цель: «Научиться строить график по формуле». Предлагают план: выбрать значения $x$, вычислить $y$, записать таблицу, отметить точки, провести линию и проверить результат. |
4 мин | Учитель демонстрирует заполнение таблицы: «Возьмём значения $x=-2,-1,0,1,2$. Для $x=-2$ получаем $y=2\cdot(-2)+1=-3$; для $x=-1$ — $y=-1$; для $x=0$ — $y=1$; для $x=1$ — $y=3$; для $x=2$ — $y=5$. Каждая строка таблицы задаёт одну точку». | Записывают таблицу: $x$: $-2,-1,0,1,2$; $y$: $-3,-1,1,3,5$. Записывают пары $(-2;-3)$, $(-1;-1)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;5)$. |
4 мин | Учитель отмечает точки на координатной плоскости и проговаривает: «Сначала двигаемся по оси $Ox$, затем параллельно оси $Oy$. Проверяем каждую точку подстановкой. Все точки лежат на одной прямой, потому что значения связаны одной формулой. Графиком функции называют множество всех точек, координаты которых удовлетворяют этой формуле». | Строят точки в тетрадях, соединяют их линейкой, сверяют положение точек с доской и формулируют вывод: «График функции $y=2x+1$ — прямая линия, проходящая через построенные точки». |
Запись в тетрадях
Записать: «График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых связаны заданным правилом. Алгоритм построения: 1) выбрать значения $x$; 2) вычислить соответствующие значения $y$; 3) составить таблицу; 4) отметить точки $(x;y)$; 5) провести линию через полученные точки и проверить её по формуле».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли алгоритм: формула превращается в таблицу, таблица — в точки, а точки дают графическое изображение зависимости. Теперь проверим алгоритм на типовых заданиях и научимся проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графика с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «Постройте график функции $y=x-2$ для значений $x=-1,0,1,2,3$. Один ученик вычисляет значения и диктует их, второй проверяет подстановкой; затем поменяйтесь ролями». | В парах составляют таблицу: $y=-3,-2,-1,0,1$, записывают точки и проговаривают алгоритм. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: «Сравните таблицы с парой рядом. Не называйте только “правильно” или “неправильно”, укажите конкретный шаг, на котором возникла ошибка». | Сравнивают таблицы и координаты, исправляют ошибки в вычислениях или порядке записи координат. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Как по графику найти $y$, если $x=2$? Какая точка принадлежит графику $y=x-2$: $A(2;0)$ или $B(2;2)$? Объясните». | Показывают на графике значение $y=0$, выбирают $A(2;0)$ и объясняют: «$0=2-2$, значит координаты удовлетворяют формуле». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы убедились, что график можно не только строить, но и читать. Теперь каждый самостоятельно выполнит задание, а затем проверит его по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и включение в систему знаний (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма, применить его к заданиям разной сложности и связать график с практической зависимостью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки по выбору: «Вариант 1 — минимальный: составьте таблицу и отметьте четыре точки графика $y=3x$ для $x=-1,0,1,2$. Вариант 2 — базовый: постройте график $y=-x+2$ для пяти значений $x$ и найдите по нему $y$ при $x=1$. Вариант 3 — повышенный: объясните, почему точки $(0;2)$, $(1;1)$ и $(2;0)$ лежат на одном графике, и постройте его». | Выбирают уровень, индивидуально составляют таблицу, строят точки и линию. В повышенном варианте записывают проверку каждой точки подстановкой. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Проверьте не только ответ, но и каждый шаг: значения $x$, вычисления, порядок координат, положение точек и наличие линии. Отметьте карандашом место первой ошибки». | Сверяют работу с эталоном, ставят отметку за каждый выполненный шаг, исправляют ошибки и формулируют причину затруднения. |
3 мин | Учитель предлагает практический вопрос: «На графике зависимости стоимости поездки $y=50x+100$, где $x$ — число поездок, а $y$ — стоимость в рублях. Что означает число 100? Как найти стоимость пяти поездок?» | Объясняют: «100 — фиксированная стоимость», вычисляют $y=50\cdot5+100=350$ и связывают формулу с реальной ситуацией. |
Эталон решения
Для задания $y=-x+2$: при $x=-1$ получаем $y=3$; при $x=0$ — $y=2$; при $x=1$ — $y=1$; при $x=2$ — $y=0$; при $x=3$ — $y=-1$. Точки: $(-1;3)$, $(0;2)$, $(1;1)$, $(2;0)$, $(3;-1)$. После нанесения точек их соединяют прямой линией. При $x=1$ график даёт $y=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство из вас уже может самостоятельно пройти весь путь от формулы до графика. Важно помнить: любая ошибка в таблице переносится на рисунок, поэтому проверка подстановкой обязательна. Завершим урок самоанализом и определим, что получилось лучше всего».
Этап 7. Рефлексия учебной деятельности и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать новое содержание, оценить достижение цели и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если умеете строить график по формуле; жёлтую — если уверенно выполняете не все шаги; красную — если нужна помощь. Это не оценка, а сигнал для дальнейшей работы». | Поднимают карточки, отмечают в листе самооценки освоенные умения и один шаг, требующий тренировки. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Что называют графиком функции? Почему координаты точки записываются именно в порядке $(x;y)$? Как проверить, что точка принадлежит графику?» | Отвечают: «График — множество точек, связанных правилом», «сначала записываем значение аргумента», «нужно подставить координаты в формулу и проверить равенство». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите уровень, ориентируясь на сегодняшнюю самостоятельную работу. В каждом варианте обязательно составьте таблицу, подпишите оси и проверьте хотя бы одну точку подстановкой». | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы и называют последовательность выполнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно составлена таблица, вычислены все значения, нанесены и подписаны точки, проведена линия графика, выполнена проверка принадлежности точки формуле; ошибок нет или они самостоятельно исправлены.
- «4» — выполнены все основные действия, но допущена одна вычислительная или графическая неточность, не нарушающая общий способ построения.
- «3» — составлена хотя бы часть таблицы и нанесены основные точки, однако есть две и более ошибки в вычислениях, координатах или оформлении графика; после подсказки ученик исправляет работу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графике функции? | Выявление осознания нового определения и связи формулы с точками графика. |
Какие шаги алгоритма построения вы можете выполнить самостоятельно? | Определение степени сформированности нового способа действия. |
На каком шаге возникло затруднение: вычисление, запись координат или построение? | Выявление конкретных точек затруднения для последующей коррекции. |
Как по графику проверить значение функции? | Проверка умения читать графическую информацию и применять её в задаче. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что формулу функции можно представить в трёх взаимосвязанных формах: формуле, таблице и графике. Вы научились выбирать значения аргумента, вычислять значения функции и строить линию по полученным точкам. Самая частая ошибка — перепутать порядок координат или перенести на график неверное значение из таблицы, поэтому всегда выполняйте проверку. На следующем уроке мы продолжим читать графики и исследовать, как изменение формулы влияет на их положение».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить график функции $y=x+1$ по таблице для пяти целых значений $x$ от $-2$ до $2$; подписать оси и проверить подстановкой две точки. | Закрепляет алгоритм перехода от формулы к таблице и графику; при проверке обратить внимание на вычисления и порядок координат. |
Средний (повышающий) | Построить график функции $y=-2x+3$ для пяти значений $x$, затем по графику определить значение $y$ при $x=1$ и значение $x$, при котором $y=3$. | Формирует умение строить и читать график, устанавливать соответствие между координатами точки и формулой. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизненного контекста с зависимостью вида $y=ax+b$, построить её график по пяти точкам и письменно объяснить смысл коэффициентов. | Развивает функциональную грамотность, моделирование и умение объяснять математический смысл графика. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называется множество точек, координаты которых удовлетворяют формуле? Какие координаты записывают первыми? Назовите пять шагов построения графика. Как проверить, принадлежит ли точка графику функции?»
