Делимость суммы и произведения. Делители числа и разложение на простые множители
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться применять признаки делимости суммы и произведения, находить делители числа и раскладывать составное число на простые множители, объясняя каждый шаг решения.
- Сформировать представление о свойствах делимости суммы и произведения и связи между делителями числа и его разложением на простые множители.
- Научить находить все делители небольшого натурального числа и проверять полноту полученного списка.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, работать по алгоритму и аргументировать математический вывод.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за результат индивидуальной и групповой работы, интерес к поиску закономерностей.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного математического рассуждения и проверки результата.
- Проявляют интерес к поиску разных способов представления числа.
- Развивают уверенность при объяснении собственного решения одноклассникам.
- Принимают ответственность за вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и составляют план её достижения.
- Извлекают информацию из условия, таблицы и разложения числа на множители.
- Сравнивают способы нахождения делителей, выявляют закономерности и делают выводы.
- Работают в паре и группе, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибки.
Предметные
- Знать свойства: если $a$ делится на $d$ и $b$ делится на $d$, то $a+b$ делится на $d$; если $a$ делится на $d$, то $a\cdot b$ делится на $d$.
- Уметь находить делители натурального числа парами множителей и проверять полученный список.
- Уметь отличать простые числа от составных в пределах изученного диапазона.
- Уметь раскладывать составное число на простые множители.
- Уметь применять разложение на простые множители для нахождения делителей числа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения делимости для упорядочивания вычислений и решения практических задач.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через последовательное выполнение алгоритма.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
- Формируют положительное отношение к математическому поиску и доказательству.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность действий при разложении числа на простые множители.
- Сверяют результат с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют решение после взаимопроверки.
- Оценивают степень освоения нового алгоритма по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки простого и составного числа.
- Устанавливают связи между произведением, делителем и кратным.
- Классифицируют числа по признаку делимости.
- Моделируют разложение числа в виде дерева множителей.
- Формулируют и проверяют математические предположения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе при выполнении карточки.
- Объясняют партнёру ход решения, используя математические термины.
- Задают вопросы: «Почему этот множитель простой?» и «Как проверить полноту списка?».
- Сравнивают решения без перехода к личной оценке.
- Формулируют общий вывод группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числами 12, 18, 24, 30 и двумя проблемными утверждениями о делимости.
- Распечатать карточки для групп по 4 человека: 6 вариантов с заданиями на делители, делимость суммы и произведения.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика.
- Подготовить по 1 листу «Дерево множителей» на каждую группу и лист самооценки на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: «простое число имеет ровно два делителя; составное число имеет больше двух делителей».
- Подготовить цветные маркеры, стикеры трёх цветов и карточки с числами от 2 до 60.
- Подготовить эталон разложения чисел 36 и 60 для вывода на экран после самостоятельной работы.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор, таймер, магнитные карточки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску способов быстрой проверки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске карточки с числами 12, 18, 24 и 30: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит стать исследователями чисел. Посмотрите на доску и предположите, что объединяет эти числа. Не называйте первое пришедшее в голову свойство — сначала проверьте его на двух примерах." | Рассматривают числа, называют предположения: «Они составные», «Некоторые делятся на 2», «У них много делителей». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите наблюдение с соседом. Как можно доказать, что число связано с другими числами? Запишите один пример произведения, равного 24." Учитель фиксирует на доске варианты $24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$. | Записывают представления числа 24 в виде произведений, обсуждают их в парах и формулируют: «Множители произведения связаны с делителями числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно число можно представить несколькими произведениями. Сегодня выясним, как использовать это свойство для нахождения делителей и как делимость ведёт себя в сумме и произведении."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия делителя, кратного, простого и составного числа и подготовить основу для открытия нового свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный блиц: "Закончите фразы. Делитель числа — это число, на которое... Кратное числа — это число, которое... Простое число имеет... делителя. Составное число имеет..." Учитель показывает карточки 2, 5, 9, 13, 15 и просит классифицировать их. | Отвечают: «Делится без остатка», «Делится на данное число без остатка», «Ровно два», «Больше двух». Раскладывают карточки на группы простых и составных чисел. |
2 мин | Учитель предлагает задание «Математический светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Число 4 является делителем 20. Число 6 является делителем 20. Число 7 является делителем 42." После каждого ответа просит назвать проверку. | Поднимают карточки и обосновывают: «4 — делитель 20, потому что $20:4=5$»; «6 не является делителем 20»; «7 — делитель 42, потому что $42:7=6$». |
2 мин | Учитель записывает на доске $18=2\cdot9=3\cdot6$ и спрашивает: "Какие числа здесь являются делителями 18? Все ли множители простые? Как преобразовать запись дальше?" | Называют делители 2, 3, 6, 9, 18 и отмечают, что 9 и 6 составные; предлагают заменить их произведениями простых множителей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делитель даёт частное без остатка, а составное число можно представить произведением меньших натуральных чисел. Теперь проверим, всегда ли делимость сохраняется при сложении и умножении."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и сформулировать учебную задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два утверждения: «12 делится на 3 и 18 делится на 3, значит, 12+18 делится на 3»; «12 делится на 3, значит, 12·5 делится на 3». Затем спрашивает: "Как проверить оба утверждения? Можно ли сформулировать общее правило, не перебирая все числа?" | Выполняют проверки $12+18=30$, $30:3=10$ и $12\cdot5=60$, $60:3=20$. Предполагают: «Если оба слагаемых делятся на число, их сумма тоже делится на него»; «Если один множитель делится, произведение тоже делится». |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Сегодня мы должны не только проверить примеры, но и получить правила. Какие действия нам понадобятся?" Учитель записывает цель и план на доске. | Формулируют план: «Вывести правила, найти делители числа, разложить составное число на простые множители и применить алгоритм к заданиям». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: нужно научиться доказывать свойства, а не угадывать их по одному примеру. Начнём с общего рассуждения о сумме и произведении."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести свойства делимости суммы и произведения и построить алгоритм разложения числа на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Пусть $a$ и $b$ делятся на $d$. Тогда существуют такие числа $m$ и $n$, что $a=d\cdot m$, а $b=d\cdot n$. Сложим эти выражения: $a+b=d\cdot m+d\cdot n$. Что можно вынести за скобки?" Учитель подчёркивает на доске: $a+b=d(m+n)$. | Следят за преобразованием, отвечают: «Можно вынести $d$». Формулируют правило: «Если два слагаемых делятся на одно и то же число, то их сумма делится на это число». |
2 мин | Учитель продолжает: "Если $a=d\cdot m$, то $a\cdot b=(d\cdot m)\cdot b=d\cdot(m\cdot b)$. Какой вывод получаем? Приведите собственный числовой пример." | Записывают правило о произведении и примеры: $15\cdot4$ делится на 3, потому что 15 делится на 3; $8\cdot7$ делится на 4, потому что 8 делится на 4. |
3 мин | Учитель показывает «Дерево множителей» для 36: $36=4\cdot9$, затем $4=2\cdot2$, $9=3\cdot3$. Реплика: "Продолжаем делить составные множители, пока все ветви не закончатся простыми числами. Запишем итоговую строку: $36=2\cdot2\cdot3\cdot3=2^2\cdot3^2$." | Строят в тетрадях дерево множителей для 36, подчёркивают простые множители и записывают разложение. |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм: "Первый шаг — проверить, является ли число простым. Второй — выбрать простой делитель и разделить число. Третий — повторять деление с частным, пока не получится 1. Последовательность простых делителей и есть разложение." | Повторяют алгоритм по цепочке, составляют короткую памятку из трёх шагов и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
- Если $a$ и $b$ делятся на $d$, то $a+b$ делится на $d$.
- Если $a$ делится на $d$, то $a\cdot b$ делится на $d$.
- Разложение на простые множители — представление составного числа в виде произведения простых чисел.
- Алгоритм: выбрать простой делитель, разделить число, повторять до получения единицы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два свойства и научились раскладывать число на простые множители. Теперь проверим, как из разложения восстановить все делители числа."
Этап 5. Первичное закрепление в группах (7 мин)
Цель этапа: применить новые правила в совместной работе и научиться находить делители по разложению.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и распределяет роли: вычислитель, проверяющий, оформитель, докладчик. "Каждая группа получает карточку. На работу — 4 минуты. Решение должно содержать не только ответ, но и короткое объяснение." | Распределяют роли, получают карточки и читают условия. |
4 мин | Учитель раздаёт задания: группа 1 проверяет делимость суммы $24+36$ на 6; группа 2 проверяет делимость произведения $15\cdot8$ на 5; группа 3 раскладывает 48 на простые множители; группа 4 находит все делители 24; группы 5–6 решают аналогичные варианты для чисел 30 и 42. Учитель задаёт вопросы: "Как докажете полноту списка? Почему остановились?" | Решают задания, записывают правило или разложение, находят пары делителей: $1\cdot24$, $2\cdot12$, $3\cdot8$, $4\cdot6$. Докладчики готовят объяснение. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Сверьте решение соседней группы с критериями: правило названо, вычисления выполнены, ответ обоснован. Если нашли ошибку, укажите конкретный шаг." | Обмениваются карточками, отмечают сильную сторону и одно исправление, затем представители групп озвучивают ответы. |
Эталон решения
Для числа 24: $24=2\cdot12=2\cdot2\cdot6=2\cdot2\cdot2\cdot3=2^3\cdot3$. Делители удобно получать парами произведений: $1\cdot24$, $2\cdot12$, $3\cdot8$, $4\cdot6$. Поэтому все делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Для суммы: $24$ и $36$ делятся на 6, значит, по свойству делимости сумма $24+36=60$ делится на 6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы показали, что правило становится надёжным инструментом только тогда, когда мы объясняем каждый шаг. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он действовать без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение свойств делимости и алгоритма разложения числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит показать ваши знания. Базовый обязателен для всех. Повышенный и дополнительный можно выбрать при готовности. Записывайте промежуточные рассуждения." | Выбирают карточку, подписывают работу и читают задания. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт индивидуальные вопросы. Базовый: разложить 36 и 45 на простые множители; назвать делители 18. Повышенный: доказать делимость суммы $27+45$ на 9 и найти все делители 30. Дополнительный: объяснить, почему сумма двух чисел, делящихся на 4, делится на 4, и разложить 84. | Самостоятельно выполняют выбранные задания, проверяют деление умножением и записывают вывод полным предложением. |
2 мин | Учитель выводит эталон: $36=2^2\cdot3^2$, $45=3^2\cdot5$, делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; $27+45=72$, $72:9=8$. "Поставьте рядом с каждым заданием знак плюс, если решение совпало, или вопросительный знак, если нужен разбор." | Сверяют работу с эталоном, исправляют одну найденную ошибку другим цветом, отмечают затруднение в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какие действия уже стали уверенными, а где требуется тренировка. Осталось связать разложение и делители в одной практической задаче."
Этап 7. Включение знаний в систему и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить изученные способы в жизненном контексте, осмыслить результат и определить дальнейший шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Для школьного мероприятия подготовили 60 одинаковых наборов. Организатор хочет разложить их поровну в коробки так, чтобы в каждой коробке было одинаковое число наборов и не осталось лишних. Какие варианты количества коробок возможны?" Учитель напоминает: "Сначала разложите 60 на простые множители или найдите пары делителей." | Записывают $60=2^2\cdot3\cdot5$, составляют пары: $1\cdot60$, $2\cdot30$, $3\cdot20$, $4\cdot15$, $5\cdot12$, $6\cdot10$. Называют варианты количества коробок: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёная карточка — могу найти делители и разложить число; жёлтая — понимаю правило, но допускаю ошибки; красная — нужна совместная тренировка. Поднимите карточку и назовите одно действие, которое получилось лучше всего." | Поднимают карточки, формулируют самооценку: «Умею строить дерево множителей», «Пока путаю делитель и кратное», «Нужно внимательнее проверять список». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: какое свойство делимости суммы вы узнали; как проверить, что разложение числа завершено? Сдайте билет при выходе." | Пишут ответы: «Если оба слагаемых делятся на число, сумма делится на него»; «Все множители должны быть простыми, а их произведение должно давать исходное число». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от наблюдения за произведениями до самостоятельного применения свойств делимости. На следующем уроке мы используем разложение на простые множители для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, корректно сформулированы оба свойства делимости, разложения доведены до простых множителей, список делителей полный и есть проверка.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, ход рассуждения в основном объяснён.
- «3» — выполнено базовое задание, но допущены ошибки в одном разложении или пропущены отдельные делители; правило делимости сформулировано с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство делимости суммы или произведения вы сможете объяснить другому ученику? | Проверка осознанности формулировки и умения переносить знание в объяснение. |
Как вы проверяли, что список делителей числа полный? | Выявление понимания пар делителей и контроля результата. |
На каком шаге разложения на простые множители возникло затруднение? | Выявление точки затруднения в алгоритме. |
Какой цвет светофора вы выбрали и какое действие поможет перейти на следующий уровень? | Формирование навыка самооценки и планирования коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за числом его структуру: делители, произведения и простые множители. Важно не путать делитель с кратным и не останавливаться в разложении, пока среди множителей остаётся составное число. Если список делителей кажется неполным, ищите пары множителей и проверяйте их произведением. На следующем уроке мы применим сегодняшние знания для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить, делится ли сумма двух данных чисел на указанное число; проверить делимость произведения; разложить два составных числа на простые множители; выписать все делители одного из них. | Закрепляет формулировки свойств, алгоритм разложения и поиск делителей. При проверке смотреть на запись промежуточных действий и полноту списка. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на разложение чисел от 30 до 100 на простые множители и нахождение всех делителей; составить по одному собственному примеру на делимость суммы и произведения. | Развивает применение алгоритма и умение самостоятельно конструировать примеры. Проверять, чтобы выбранные числа действительно обладали указанным свойством. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать число 72: разложить его на простые множители, найти все делители, сгруппировать их в пары и объяснить, почему число делителей чётное для неквадратного числа и нечётное для полного квадрата. | Формирует анализ закономерности и математическое объяснение. При проверке оценивать связность рассуждения и использование терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется делителем числа? Какое свойство позволяет сделать вывод о делимости суммы? Когда разложение числа на множители завершено? Как проверить полноту списка делителей?»
