Умножение рациональных чисел
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться умножать рациональные числа, определять знак произведения, находить модуль произведения и применять свойства умножения при выполнении не менее 4 из 5 практических заданий рабочего листа.
- Сформировать правило определения знака произведения чисел с одинаковыми и разными знаками и научить применять его до вычисления модулей множителей.
- Научить выполнять умножение обыкновенных дробей, десятичных дробей и смешанных произведений, рационально группируя множители.
- Развивать умение проверять истинность утверждений вычислением и объяснять обнаруженные ошибки.
- Воспитывать аккуратность записи, готовность проверять результат и сотрудничать при обсуждении решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение внимательной работы со знаками для получения достоверного математического результата.
- Проявляют интерес к поиску удобного способа вычисления рационального произведения.
- Понимают ценность самопроверки и исправления ошибок без отказа от выполнения задания.
- Развивают ответственность за собственный результат и уважительное отношение к объяснениям одноклассников.
Метапредметные
- Выделяют в выражении знак и модуль множителей, устанавливают последовательность вычислений.
- Сравнивают утверждение с правилом и подтверждают вывод вычислением или контрпримером.
- Планируют решение, выбирая прямое вычисление или группировку множителей.
- Работают с информацией рабочего листа, фиксируют результат в таблице и аргументируют ответ в паре.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют ошибочные рассуждения.
Предметные
- Знать правило: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными знаками отрицательно.
- Знать, что модуль произведения равен произведению модулей множителей, а произведение любого числа и нуля равно нулю.
- Уметь умножать рациональные числа, включая дроби и десятичные дроби, предварительно определяя знак.
- Уметь применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения.
- Уметь восстанавливать неизвестный множитель и проверять истинность равенств.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться безошибочно работать со знаками при умножении.
- Осознают необходимость доводить вычисление до проверки результата.
- Проявляют готовность принимать другую стратегию решения, если она приводит к тому же результату.
- Оценивают собственную уверенность при выполнении заданий рабочего листа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения в определении знака произведения.
- Планируют алгоритм: определить знак, перемножить модули, соединить результат со знаком.
- Контролируют правильность вычислений по промежуточным шагам.
- Находят и исправляют ошибку в равенствах и рассуждениях.
- Оценивают выполнение рабочего листа по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Извлекают правило из рассмотренных примеров и формулируют общий вывод.
- Классифицируют произведения по знакам множителей.
- Устанавливают связь между произведением, множителями, модулями и знаком.
- Моделируют вычисление краткой схемой «знак — модули — ответ».
- Используют свойства умножения для преобразования и рационального вычисления выражений.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, задавая уточняющие вопросы о знаке и модуле.
- Формулируют полный устный ответ с объяснением, а не только называют число.
- Аргументируют истинность или ложность утверждения конкретным вычислением.
- Согласовывают общий ответ группы и корректно комментируют ошибку одноклассника.
- Участвуют в математическом диалоге, соблюдая очередность высказываний.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Умножение рациональных чисел» по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 3 резервных экземпляра.
- Подготовить карточки для парной работы с четырьмя произведениями из заданий №2, №3 и №6 — по одной карточке на пару.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: базовые произведения, произведения с дробями и задания на свойства умножения — по одной карточке на ученика.
- Вывести на доску или экран алгоритм: 1) определить знак; 2) перемножить модули; 3) записать произведение с найденным знаком; 4) проверить ответ.
- Заранее записать на доске проблемное выражение $(-2)\cdot(-3)$ и рядом оставить место для двух способов объяснения.
- Подготовить магнитные знаки «+» и «−», карточки с числовыми множителями и маркеры для доски.
- Распечатать эталон ответов для самопроверки: №1 — «положительный», «отрицательный»; №2 и №6 — последовательность истинных и ложных утверждений; решения №4 и №8.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для формирующего оценивания.
- Организовать рассадку по парам так, чтобы ученики могли быстро сравнивать записи, не мешая друг другу.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме знака произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске два выражения: $3\cdot2$ и $(-3)\cdot(-2)$. «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и рабочего листа. Сегодня мы будем не просто считать, а выяснять, как знак каждого множителя влияет на знак произведения». | Готовят принадлежности, записывают дату, смотрят на выражения и предполагают, что оба произведения могут быть положительными. |
2 мин | Учитель продолжает: «Посмотрите на второе выражение. Почему два отрицательных множителя не дают отрицательный результат? А если один множитель будет положительным, что изменится? Сегодня нам нужно открыть правило и научиться применять его к дробям, десятичным числам и сложным произведениям». | Обсуждают вопрос с соседом 30 секунд, предлагают версии: «Два минуса дают плюс», «Знак зависит от количества отрицательных множителей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что при умножении важно отдельно рассматривать знак и величину числа. Сейчас проверим, какие знания помогут нам открыть общее правило».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия рационального числа, модуля, знака и правила умножения дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране числа $-\frac{2}{3}$, $\frac{9}{4}$, $-1{,}5$ и $0$. «Назовите знак каждого числа и его модуль. Что показывает модуль? Как изменяется число при умножении на $-1$?» | По очереди называют: «$-\frac{2}{3}$ — отрицательное, его модуль $\frac{2}{3}$; $\frac{9}{4}$ — положительное, модуль $\frac{9}{4}$; модуль $-1{,}5$ равен $1{,}5$; модуль нуля равен нулю». |
3 мин | Учитель предлагает устно вычислить $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}$ и $1{,}5\cdot2$. «Сначала не торопитесь с ответом. Какие действия выполняем с числителями и знаменателями? Как можно сократить дробь до умножения?» | Выполняют вычисления в тетради: $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$ и $1{,}5\cdot2=3$. Объясняют сокращение $2$ и $4$, $9$ и $3$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить модуль и перемножать положительные величины. Затруднение появляется тогда, когда среди множителей есть отрицательные числа. Давайте точно установим, какой знак должен получиться».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать алгоритм изучения нового правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с примерами $(-2)\cdot3$, $(-2)\cdot(-3)$ и $2\cdot(-3)$. «Попробуйте определить знак каждого произведения, не вычисляя модуль. Обсудите в паре, что общего у первых и третьего примера и чем отличается второй». | В парах расставляют карточки со знаками, формулируют: «Один отрицательный множитель даёт отрицательный результат, два отрицательных — положительный». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Можно ли все произведения рациональных чисел решать по одному плану? Какие шаги должны быть обязательными, чтобы не перепутать знак?» Учитель фиксирует ответы на доске и формулирует вместе с классом цель. | Предлагают алгоритм: «Сначала определить знак, затем умножить модули, затем поставить знак перед результатом». Записывают тему и цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: открыть правило знаков и применить его к заданиям рабочего листа — от простых утверждений до восстановления множителя и рациональной группировки».
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: вывести правило умножения рациональных чисел и зафиксировать алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает цепочку: $3\cdot2=6$, $(-3)\cdot2=-6$, $3\cdot(-2)=-6$, $(-3)\cdot(-2)=6$. «Рассмотрите четыре случая. Сравните количество отрицательных множителей со знаком результата. Что происходит, если отрицательных множителей нет, один, два? Сформулируйте правило своими словами». | Сравнивают случаи и отвечают: «При нуле отрицательных множителей результат положительный; при одном — отрицательный; при двух — положительный». Формулируют правило одинаковых и разных знаков. |
3 мин | Учитель показывает схему «Знак — Модули — Ответ». «Запишем общий алгоритм. В выражении $-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}$ сначала определяем знак: множители разных знаков, поэтому произведение отрицательное. Затем перемножаем модули: $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$. Ответ $-\frac{3}{2}$.» | Записывают алгоритм и решение примера, проговаривают каждый шаг: «Знак отрицательный; модули дают $\frac{3}{2}$; ответ $-\frac{3}{2}$». |
2 мин | Учитель добавляет: «Если один множитель равен нулю, произведение равно нулю независимо от знака другого множителя. А модуль произведения равен произведению модулей. Это позволит проверять утверждения из задания №2». | Записывают два свойства: $a\cdot0=0$ и $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$. Приводят пример $(-5)\cdot0=0$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «При умножении чисел с одинаковыми знаками произведение положительно, а при умножении чисел с разными знаками — отрицательно. Чтобы умножить рациональные числа: 1) определить знак; 2) перемножить модули; 3) поставить знак перед результатом. Если один множитель равен нулю, произведение равно нулю».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило открыто и записано. Теперь проверим его на утверждениях рабочего листа, где важно не угадывать, а объяснять каждый ответ».
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (7 мин)
Цель этапа: закрепить правило знаков и алгоритм умножения на заданиях №1–4 рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель направляет выполнение задания №1: «Заполните пропуски в правилах. Не переписывайте всё предложение вслепую: найдите слова, которые противопоставлены друг другу, и свяжите их с парами знаков». После сигнала таймера просит сравнить ответы в парах. | Заполняют пропуски: «положительный», «отрицательный». В парах объясняют, почему при разных знаках получается отрицательное произведение. |
3 мин | Учитель организует приём «Светофор» для задания №2. «Отметьте истинность каждого утверждения. Зеленая карточка — верно, красная — неверно. Для неверного утверждения обязательно исправьте формулировку». Обсуждает два спорных пункта. | Определяют: истинны утверждения о произведении двух отрицательных чисел, нулевом множителе и модулях; ложно утверждение о положительном результате при умножении положительного и отрицательного числа. Исправляют его на «произведение отрицательно». |
2 мин | Учитель разбирает у доски первый пример задания №4: «Вычислим $-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}$. Каков знак? Каков модуль? Не пропускайте сокращение». Затем предлагает ученикам самостоятельно выполнить второй пример. | Один ученик записывает $-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=-\frac{3}{2}$. Остальные решают $-\frac{5}{6}\cdot\frac{12}{25}=-\frac{2}{5}$ и сверяют порядок действий. |
Эталон решения
$-\frac{5}{6}\cdot\frac{12}{25}$. Знаки разные, поэтому результат отрицательный. Модули: $\frac{5}{6}\cdot\frac{12}{25}=\frac{5\cdot2}{25}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$. Ответ: $-\frac{2}{5}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В заданиях №1–4 мы применили правило к формулировкам, утверждениям и дробям. Далее используем свойства умножения, чтобы преобразовывать выражения быстрее».
Этап 6. Практикум и применение свойств умножения (7 мин)
Цель этапа: научить применять переместительное и сочетательное свойства, раскрывать скобки и рационально группировать множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к заданию №5: «Вставьте пропущенные множители. В первом равенстве меняется порядок множителей, во втором и третьем меняется группировка. Назовите свойство до записи ответа». Учитель показывает $-2\cdot5=5\cdot\square$. | Заполняют: $-2$, $2$, $-2$. Называют свойства: «переместительное» для первого и «сочетательное» для второго и третьего. |
2 мин | Учитель разбирает пример задания №8: «Вычислим $(-2{,}5)\cdot\frac45\cdot(-3)$. Сгруппируем $(-2{,}5)\cdot\frac45=-2$, затем $(-2)\cdot(-3)=6$. Такой способ уменьшает вычисления и помогает контролировать знак». | Записывают решение, называют положительный знак двух отрицательных множителей и получают $6$. |
2 мин | Учитель предлагает выполнить второй пример задания №8 в парах: $\left(-\frac79\right)\cdot18\cdot\left(-\frac1{14}\right)$. «Выберите группировку, которая даст целое число или единицу. Один ученик проговаривает действия, второй проверяет знак и вычисления». | Группируют $18\cdot\left(-\frac1{14}\right)=-\frac97$, затем $\left(-\frac79\right)\cdot\left(-\frac97\right)=1$. Формулируют ответ: «Произведение равно $1$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Свойства умножения не меняют значение произведения, но позволяют выбрать удобный порядок действий. Теперь каждый проверит, насколько уверенно умеет применять алгоритм самостоятельно».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение алгоритма на заданиях рабочего листа №6, №9 и №10.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель даёт инструкцию: «Самостоятельно выполните задания №6 и №9. В №6 напротив каждого равенства поставьте «верно» или «неверно» и выполните проверку обеих частей. В №9 найдите неизвестный множитель, сначала определив его знак. Записывайте промежуточные действия». Учитель оказывает адресную помощь, не называя ответ. | Решают индивидуально. Для №6 проверяют: $(-3)\cdot4=3\cdot(-4)$ — верно; $(-5)\cdot(-2)=-10$ — неверно; $\frac23\cdot(-9)=-6$ — верно; $(-1{,}5)\cdot2=3$ — неверно. В №9 находят $-\frac32$, $1{,}5$, $-\frac32$. |
3 мин | Учитель выводит краткий эталон и организует самопроверку: «Сверьте не только конечный ответ, но и знак. Если нашли ошибку, зачеркните только неверный шаг и рядом запишите исправление. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если исправили ошибку, красную — если нужен разбор». | Сверяют записи, исправляют ошибки, показывают карточку и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
Для задания №9: $x\cdot\left(-\frac35\right)=\frac9{10}$, поэтому $x=\frac9{10}:\left(-\frac35\right)=\frac9{10}\cdot\left(-\frac53\right)=-\frac32$. $-2{,}4\cdot x=-3{,}6$, поэтому $x=(-3{,}6):(-2{,}4)=1{,}5$. $x\cdot\left(-\frac78\right)=\frac{21}{16}$, поэтому $x=\frac{21}{16}:\left(-\frac78\right)=-\frac32$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что знак нужно контролировать на каждом шаге, особенно при делении на отрицательный множитель. Осталось обобщить правило и проверить более сложное рассуждение».
Этап 8. Включение в систему знаний и рефлексия (3 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание №10, утверждение $a<0$ и $b<0\Rightarrow a\cdot b>0$. «Объясните, почему утверждение верно без конкретных чисел. Затем рассмотрите утверждение $a\cdot(b-1)=a\cdot b-1$: можно ли считать его верным для любых $a$ и $b$? Приведите контрпример». | Формулируют: «Два отрицательных множителя дают положительное произведение». Для второго утверждения приводят контрпример, например $a=2$, $b=3$: левая часть $4$, правая $5$, значит равенство неверно. |
1 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: «Запишите на стикере одно правило, которое сегодня открыли, и один шаг алгоритма, который будете проверять особенно внимательно». | Пишут: «Одинаковые знаки дают плюс, разные — минус» и называют индивидуальное затруднение или способ его устранения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились умножать рациональные числа, отделяя работу со знаком от работы с модулями. Домашняя работа продолжит задания рабочего листа в том же формате».
Этап 9. Домашнее задание и завершение (0 мин)
Учитель сообщает домашнее задание и предлагает ученикам устно ответить на контрольные вопросы перед выходом. Задание фиксируется в завершающей части плана.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 90% заданий рабочего листа, правильно определены знаки, вычисления записаны последовательно, свойства умножения применены обоснованно.
- «4» — верно выполнены не менее 75% заданий, допущена не более чем одна существенная ошибка в знаке или вычислении, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно выполнены не менее 50% заданий, правило знаков в основном понято, но есть ошибки в сокращении дробей, восстановлении множителя или применении свойств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить знак произведения до вычисления модулей? | Проверка осознания основного правила урока. |
Какой шаг алгоритма помогает не перепутать знак и модуль? | Выявление понимания последовательности действий. |
Какое задание рабочего листа оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Как можно проверить истинность равенства или утверждения? | Проверка освоения навыка аргументации вычислением или контрпримером. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли правило умножения рациональных чисел и убедились, что знак произведения можно определить ещё до вычисления модулей. Особенно внимательно проверяйте случай с двумя отрицательными множителями и не смешивайте знак числа с его модулем. При решении сложных произведений выбирайте удобную группировку, но каждый промежуточный знак проговаривайте. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения с рациональными числами и применим свойства умножения к более сложным заданиям».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 произведений рациональных чисел: два произведения дробей с разными знаками, одно произведение десятичных чисел, одно произведение с нулём и одно задание на определение истинности равенства. В каждом примере записать знак до вычисления модуля. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знак, сокращение дробей и наличие промежуточных действий. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на применение переместительного и сочетательного свойств и 3 выражения из трёх множителей, выбирая группировку для получения целого числа или единицы. Дополнительно восстановить два неизвестных множителя по заданному произведению. | Формирует рациональный выбор способа вычисления; при проверке смотреть на обоснованность группировки и согласованность знаков. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два истинных и два ложных утверждения об умножении рациональных чисел, к каждому ложному подобрать контрпример, а затем решить сложное произведение из трёх дробных множителей с объяснением всех знаков. | Развивает анализ, создание математических высказываний и аргументацию; при проверке оценивать точность формулировки и полноту доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой знак имеет произведение двух отрицательных чисел? Чему равен модуль произведения? Какие три шага входят в алгоритм умножения рациональных чисел? Как проверить ложное равенство?»
