Арифметические действия со смешанными числами: сложение и вычитание
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться складывать и вычитать смешанные числа, включая случаи, когда при вычитании требуется занять одну целую часть, и выполнять проверку результата.
- Сформировать умение переводить смешанное число в сумму целой и дробной частей и выбирать удобный способ вычисления.
- Научить применять алгоритм занимания одной целой части при вычитании смешанных чисел с дробными частями.
- Развивать математическую речь, умение объяснять последовательность действий и находить ошибку в готовом решении.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за результат совместной работы и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность действий со смешанными числами при решении задач о длине, времени, массе и расходе материалов.
- Проявляют интерес к поиску разных способов вычисления и осознают необходимость аккуратной записи.
- Развивают положительное отношение к совместному обсуждению математических решений.
- Формируют ответственное отношение к самопроверке и исправлению ошибок.
Метапредметные
- Планируют последовательность вычислений и соотносят её с поставленной целью.
- Выделяют существенные данные, сравнивают способы решения и объясняют выбор действия.
- Работают с математической записью, схемой и алгоритмом как с моделями учебной задачи.
- Взаимодействуют в парах и группах, формулируют вопросы и аргументируют ответы.
- Осуществляют самоконтроль по образцу и корректируют найденные ошибки.
Предметные
- Знать правило сложения и вычитания смешанных чисел с одинаковыми и разными знаменателями.
- Уметь складывать целые и дробные части смешанных чисел с приведением дробей к общему знаменателю.
- Уметь выполнять разрядное «занимание» одной целой части при вычитании, представляя её в виде правильной дроби.
- Уметь записывать промежуточные действия и сокращать полученную дробь.
- Уметь проверять результат вычитания сложением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат урока и оценивают собственную готовность выполнять действия со смешанными числами.
- Понимают, что ошибка при вычислении может быть обнаружена и исправлена с помощью проверки.
- Проявляют настойчивость при решении задания, требующего нескольких последовательных действий.
- Уважают математические рассуждения одноклассников и корректно обсуждают разные способы решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют действия по алгоритму сложения и вычитания смешанных чисел.
- Проверяют правильность вычислений по эталону и обратному действию.
- Находят место ошибки, объясняют её причину и вносят исправление.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Актуализируют свойства правильной и неправильной дроби, общий знаменатель и смешанное число.
- Сравнивают запись целой единицы и дробной части смешанного числа.
- Моделируют занимание целой части с помощью схемы и дробовой модели.
- Выделяют этапы алгоритма и устанавливают связь между действиями.
- Анализируют готовое решение, находят неверный переход и предлагают исправление.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру порядок выполнения вычисления полным предложением.
- Задают уточняющие вопросы о приведении дробей к общему знаменателю.
- Распределяют роли в группе и согласовывают общий ответ.
- Аргументируют правильность решения, используя математические термины.
- Принимают замечания и корректно предлагают другой способ рассуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: тема, схема смешанного числа, алгоритмы сложения и вычитания, памятка о занимании целой части.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одному комплекту на парту, всего 15 комплектов; в каждом комплекте 4 выражения и одно задание на поиск ошибки.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: по одному варианту на каждого ученика, всего 30 карточек.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «умею складывать», «умею занимать целую часть», «умею проверять вычитание» — по одному на ученика.
- Подготовить цветные полоски или круги, разделённые на 3, 4 и 5 равных частей, — по одному набору на группу.
- Вывесить на доску памятку: $1=\frac{b}{b}$, затем алгоритм превращения $a\frac{b}{c}$ в сумму $a+\frac{b}{c}$.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор при наличии, маркеры, тетради, ручки и карточки с заданиями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость сложения и вычитания смешанных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске изображение двух лент: одна имеет длину $2\frac{3}{5}$ м, другая — $1\frac{4}{5}$ м. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать с числами, которые встречаются при измерении длины, массы и времени. Посмотрите на доску и приготовьтесь объяснить, как найти общую длину двух лент». | Записывают дату и тему в тетрадях, рассматривают схему, называют целую и дробную части чисел. |
2 мин | «Представьте, что для оформления класса нужно соединить эти две ленты. Как найти их общую длину? А если от ленты длиной $3\frac{1}{5}$ м отрезали $1\frac{4}{5}$ м, какое действие потребуется? Сегодня нам важно не просто получить ответ, а научиться объяснять каждый переход». Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как вычесть дробную часть, если её недостаточно?» | Предполагают: «Нужно сложить длины» и «Нужно выполнить вычитание». Формулируют затруднение: «В дробной части $\frac{1}{5}$ меньше, чем $\frac{4}{5}$, поэтому сразу вычесть нельзя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что смешанные числа нужны для описания реальных величин. Сложение кажется понятным, а при вычитании возникает затруднение. Сейчас выясним, какие знания помогут его преодолеть».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить правила работы с дробями, смешанными числами и общим знаменателем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку «Математический светофор». «Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Число $4\frac{2}{7}$ состоит из 4 целых и $\frac{2}{7}$. Дроби с одинаковыми знаменателями складывают, складывая числители. Одну целую можно представить как $\frac{1}{5}$. Последнее утверждение обсудите: верно ли оно и почему?» | Поднимают карточки, объясняют ответы: «Первые два утверждения верны, а $1=\frac{5}{5}$, поэтому $1\ne\frac{1}{5}$». Исправляют утверждение: «Одну целую можно представить как дробь с числителем, равным знаменателю». |
3 мин | Учитель записывает выражения: $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{8}-\frac{1}{4}$. «Вспомните, как выполнить эти действия. Что сначала нужно сделать с дробями? Почему нельзя сразу складывать или вычитать числители?» | Решают выражения в тетрадях, называют общий знаменатель 6 и 8, получают $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$. Формулируют: «Сначала нужно привести дроби к общему знаменателю». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $1=\frac{c}{c}$ при $c\ne0$; чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, сначала приводим их к общему знаменателю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как складывать и вычитать дроби и как записывать целую единицу дробью. Но пока не ответили на главный вопрос: что делать, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого?»
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить необходимость занимания целой части и сформулировать алгоритм выхода из затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение $3\frac{1}{5}-1\frac{4}{5}$. «Решите пример самостоятельно. Действуйте так, как умеете. Где остановились? Попробуйте объяснить, почему запись $\frac{1}{5}-\frac{4}{5}$ вызывает проблему». | Пытаются выполнить вычитание, фиксируют затруднение: «Из меньшей дроби нельзя вычесть большую, если работаем только с положительными числами». |
2 мин | Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Подумайте 30 секунд: можно ли заменить одну целую часть числа $3\frac{1}{5}$ дробью, не изменив значение числа? Обсудите с соседом и предложите способ». | Обсуждают в парах, формулируют цель: «Нужно занять одну целую и представить её дробью со знаменателем 5, то есть $1=\frac{5}{5}$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло потому, что $\frac{1}{5}<\frac{4}{5}$. Значит, нам нужен способ превратить одну целую в дробную часть с тем же знаменателем. Построим этот способ и проверим его на примере».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно применить алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел, включая занимание целой части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает сложение. «Рассмотрим $2\frac{3}{4}+1\frac{5}{6}$. Сначала приведём дробные части к общему знаменателю 12: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. Складываем целые части и дробные части. Если дробная сумма неправильная, выделяем целую часть. Следите за каждым переходом и проговаривайте его». | Записывают решение, отвечают: «Общий знаменатель 12; дробная сумма $\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}$». Получают $3+1\frac{7}{12}=4\frac{7}{12}$. |
4 мин | Учитель показывает схему занимания на доске. «Решим $3\frac{1}{5}-1\frac{4}{5}$. Одну из трёх целых представим как $\frac{5}{5}$: $3\frac{1}{5}=2+\frac{5}{5}+\frac{1}{5}=2\frac{6}{5}$. Теперь дробная часть стала больше. Вычитаем целые и дробные части». | Повторяют действия по схеме, записывают: $3\frac{1}{5}=2\frac{6}{5}$; $2\frac{6}{5}-1\frac{4}{5}=1\frac{2}{5}$. Объясняют: «Одну целую заменили пятью пятыми и прибавили к дробной части». |
2 мин | Учитель формулирует общий алгоритм. «Запишите четыре шага: привести дроби к общему знаменателю; сложить или вычесть дробные части; при необходимости занять одну целую; выполнить действие с целыми частями и сократить результат. При сложении неправильную дробь превращаем в смешанное число, при вычитании проверяем ответ сложением». | Записывают алгоритм, задают уточняющие вопросы и приводят пример, когда занимание не требуется: $5\frac{7}{8}-2\frac{3}{8}$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) привести дробные части к общему знаменателю; 2) выполнить действие с дробными частями; 3) при вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занять одну целую; 4) выполнить действие с целыми частями; 5) сократить дробь и выделить целую часть при необходимости.
Эталон решения
$3\frac{1}{5}-1\frac{4}{5}=2+\frac{5}{5}+\frac{1}{5}-1\frac{4}{5}=2\frac{6}{5}-1\frac{4}{5}=1\frac{2}{5}$. Проверка: $1\frac{2}{5}+1\frac{4}{5}=2\frac{6}{5}=3\frac{1}{5}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели два алгоритма. При сложении контролируем неправильную дробь, а при вычитании сначала сравниваем дробные части и при необходимости занимаем одну целую. Теперь проверим алгоритм вместе, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в совместной работе с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и распределяет роли: вычислитель и контролёр. «Выполните первое выражение вместе: $1\frac{2}{3}+2\frac{5}{6}$. Вычислитель записывает, контролёр задаёт вопросы: приведены ли дроби к общему знаменателю, выделена ли целая часть? Через минуту поменяйтесь ролями». | В парах находят общий знаменатель 6, получают $1\frac{4}{6}+2\frac{5}{6}=3\frac{9}{6}=4\frac{1}{2}$, проговаривают каждый шаг. |
3 мин | «Теперь решите два выражения: $4\frac{1}{7}-2\frac{5}{7}$ и $5\frac{3}{8}-1\frac{1}{4}$. В первом примере обязательно объясните, зачем занимать целую. Во втором сначала приведите дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8». Учитель наблюдает и задаёт наводящие вопросы. | Решают в парах: $4\frac{1}{7}-2\frac{5}{7}=3\frac{3}{7}$; $5\frac{3}{8}-1\frac{2}{8}=4\frac{1}{8}$. Объясняют партнёру место занимания. |
2 мин | Учитель показывает на экране ошибочное решение: $2\frac{1}{6}-1\frac{4}{6}=1\frac{3}{6}$. «Найдите ошибку, используя приём “Найди лишний шаг”. Что забыли сделать?» | Находят ошибку: «Не заняли одну целую». Исправляют: $2\frac{1}{6}=1\frac{7}{6}$, поэтому результат $1\frac{3}{6}=1\frac{1}{2}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Пары показали, что алгоритм работает только при внимательной проверке дробных частей. Сейчас каждый выполнит задания самостоятельно, чтобы оценить собственную готовность».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить использовать эталон для самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень по своей готовности. Обязательный минимум выполняют все: $2\frac{3}{10}+1\frac{4}{5}$ и $4\frac{2}{9}-1\frac{5}{9}$. Базовый уровень дополнительно: $3\frac{5}{6}-1\frac{3}{4}$. Повышенный уровень: составьте задачу по выражению $5\frac{1}{3}-2\frac{5}{6}$ и решите её». | Индивидуально выполняют выбранные задания, записывают общий знаменатель и промежуточные действия. Получают: $3\frac{1}{10}+1\frac{4}{5}=4\frac{9}{10}$; $4\frac{2}{9}-1\frac{5}{9}=2\frac{6}{9}=2\frac{2}{3}$; $3\frac{5}{6}-1\frac{3}{4}=2\frac{1}{12}$. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску. «Проверьте не только ответ, но и запись. Отметьте галочкой правильные этапы, а место ошибки обведите. Если ответ на вычитание вызывает сомнение, выполните проверку сложением». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, проверяют одно вычитание сложением. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно объяснить занимание; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если требуется помощь. Запишите рядом с номером задания, что именно вызвало затруднение». | Показывают карточки, фиксируют личное затруднение: «общий знаменатель», «занимание целой», «выделение целой части». |
Эталон решения
$2\frac{3}{10}+1\frac{4}{5}=2\frac{3}{10}+1\frac{8}{10}=3\frac{11}{10}=4\frac{1}{10}$; исправление: правильный результат равен $4\frac{1}{10}$. $4\frac{2}{9}-1\frac{5}{9}=3\frac{11}{9}-1\frac{5}{9}=2\frac{6}{9}=2\frac{2}{3}$. Важно не забывать, что при сложении $3\frac{11}{10}=4\frac{1}{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Особенно внимательно проверяйте неправильную дробь после сложения и результат вычитания обратным действием. Завершим урок оценкой собственного продвижения».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ действия, зафиксировать результат и объяснить дальнейшую тренировку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки. «Закончите три фразы: “Я умею складывать смешанные числа…”, “При вычитании я сначала…”, “Мне нужно потренироваться…”. Затем поставьте знак напротив утверждения, которое описывает вашу работу». | Заполняют лист самооценки, формулируют: «При вычитании сравниваю дробные части и при необходимости занимаю целую». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Как представить одну целую с знаменателем 7? Когда нужно занимать целую? Как проверить вычитание?». После ответов сообщает домашнее задание по уровням. | Отвечают: «$1=\frac{7}{7}$»; «Когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого»; «Сложить разность с вычитаемым». |
1 мин | «Запишите домашнее задание и выберите уровень, который соответствует вашей самостоятельности. Не забывайте: важен не только ответ, но и понятная запись всех переходов». | Записывают домашнее задание, сдают листы самооценки, формулируют личный итог урока. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и выбранное дополнительное задание, общий знаменатель найден правильно, занимание целой части оформлено, выполнена проверка одного вычитания.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, допущена одна вычислительная ошибка или есть неточность в оформлении промежуточного действия, но алгоритм выбран правильно.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных действий, ученик понимает необходимость общего знаменателя и занимания целой части, но допускает две и более вычислительные ошибки.
- Ниже базового уровня — ответ не засчитывается без исправления: необходимо разобрать ошибку по алгоритму и повторно выполнить аналогичное выражение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вычитании смешанных чисел? | Выявление осознания способа занимания целой части. |
В какой момент решения вы сегодня испытывали затруднение? | Определение точек затруднения в алгоритме. |
Как вы проверяли результат вычитания? | Проверка понимания связи между вычитанием и сложением. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились складывать и вычитать смешанные числа и выяснили, как действовать, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Главная ошибка — забыть занять одну целую или неверно превратить неправильную дробь в смешанное число. Проверка сложением помогает обнаружить такую ошибку. Дома вы закрепите алгоритм на выражениях разного уровня. На следующем уроке будем применять эти действия при решении задач и выражений с несколькими действиями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на сложение и вычитание смешанных чисел: два с одинаковыми знаменателями и два с разными знаменателями; в одном примере оформить занимание целой части. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на общий знаменатель, правильность занимания и выделение целой части. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, включающих сложение с неправильной дробью в результате и вычитание, требующее занимания; выполнить проверку двух ответов обратным действием. | Развивает самоконтроль и умение выполнять несколько последовательных преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи: одну на нахождение общей длины или массы, другую на нахождение остатка; использовать в условиях смешанные числа и подробно объяснить выбор действия. | Формирует функциональную математическую грамотность и умение переносить алгоритм в жизненный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как представить одну целую дробью со знаменателем $c$? Когда при вычитании смешанных чисел нужно занимать целую? Как проверить полученную разность?»
