Расстояние между двумя точками, расстояние от точки до прямой и длина маршрута на квадратной сетке
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся научатся находить расстояние между двумя точками и от точки до прямой на чертеже, а также вычислять длину маршрута на квадратной сетке, объясняя выбор способа решения.
- Сформировать представление о расстоянии между геометрическими объектами и о перпендикуляре как кратчайшем расстоянии от точки до прямой.
- Научить измерять отрезки с помощью линейки и определять длину маршрута по клеткам квадратной сетки.
- Развивать умение анализировать условие, моделировать ситуацию на чертеже, сравнивать варианты маршрутов и аргументировать вывод.
- Воспитывать аккуратность, ответственность за результат общей работы и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению геометрических знаний в жизненных ситуациях: выборе кратчайшего маршрута и определении расстояний.
- Осознают значение точности измерений и аккуратного выполнения чертежа.
- Развивают учебную мотивацию и положительное отношение к совместному поиску решения.
- Формируют навык объективно оценивать собственный вклад и результат работы пары.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из чертежа, схемы и квадратной сетки, переводят её в числовую запись.
- Сравнивают маршруты, устанавливают закономерность и объясняют, почему один путь короче другого.
- Работают в паре, распределяют действия, аргументируют ответ и осуществляют взаимопроверку.
- Используют самоконтроль по предложенному эталону и корректируют ошибки.
Предметные
- Знать, что расстояние между двумя точками равно длине отрезка, соединяющего эти точки.
- Понимать, что расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.
- Уметь измерять расстояние между точками и от точки до прямой линейкой.
- Уметь вычислять длину маршрута на квадратной сетке по числу пройденных единичных отрезков.
- Уметь сравнивать маршруты и выбирать маршрут наименьшей длины в простых ситуациях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают практическую ценность умения находить кратчайшее расстояние.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения.
- Соблюдают правила сотрудничества и доброжелательно относятся к мнению партнёра.
- Оценивают собственное продвижение по теме урока.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу.
- Планируют последовательность измерения или подсчёта длины маршрута.
- Проверяют результат с помощью линейки, повторного подсчёта или эталона.
- Обнаруживают ошибку и исправляют её после взаимопроверки.
- Оценивают соответствие результата поставленной цели.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки расстояния между геометрическими объектами.
- Сравнивают длины отрезков и маршрутов, классифицируют способы нахождения расстояния.
- Строят и читают простые геометрические модели на квадратной сетке.
- Устанавливают, что перпендикуляр является кратчайшим отрезком от точки до прямой.
- Формулируют вывод на основе измерений и практического опыта.
Коммуникативные УУД
- Ведут диалог и задают уточняющие вопросы партнёру.
- Распределяют роли измерителя, чертёжника и проверяющего.
- Объясняют способ решения полным предложением.
- Аргументированно защищают выбранный маршрут.
- Корректно принимают замечания и согласуют общий ответ.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения с точками, прямыми, перпендикуляром и квадратной сеткой.
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Распечатать листы квадратной сетки формата А5 по одному на каждого ученика и по одному дополнительному на пару.
- Подготовить линейки по одной на каждого ученика или одну на парту.
- Подготовить цветные маркеры или карандаши: красный для искомого расстояния, синий для маршрута.
- Вывесить на доске памятку: «Расстояние между точками — длина отрезка; расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра».
- Подготовить карточки для самооценки со светофором и листки для билета на выход.
- Подготовить на доске квадратную сетку с отмеченными точками A, B, C и прямой l.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски и таймера на 2–4 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и связать тему с практической задачей выбора расстояния и маршрута.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: тетрадь, ручка, линейка и цветной карандаш должны лежать на парте. Сегодня нам предстоит не просто измерять отрезки, а выяснить, как человек выбирает кратчайший путь на карте." | Проверяют готовность, достают принадлежности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране план школьного коридора с двумя отмеченными точками: "Представьте, что одна точка — кабинет, а другая — выход. Как узнать расстояние между ними? Всегда ли первый найденный маршрут будет самым коротким?" Учитель принимает 2–3 версии и сообщает название темы. | Формулируют предположения: "Нужно измерить путь", "Надо сравнить маршруты", "Расстояние может быть прямым отрезком". Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши предположения на чертежах и квадратной сетке. Нам важно не только получить число, но и объяснить, почему выбранный способ верен."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия точки, прямой, отрезка, единичного отрезка и навыки измерения длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске точки A и B и отрезок AB: "Что изображено на рисунке? Как называется часть прямой, ограниченная двумя точками? Чем измеряют длину отрезка?" | Отвечают: "Точки A и B, отрезок AB; длину измеряют линейкой". Показывают начало и конец отрезка. |
2 мин | Учитель предлагает измерить изображённый отрезок и спрашивает: "Как правильно приложить линейку? От какой отметки начнём измерение?" | В парах измеряют отрезок, начинают от нулевой отметки, называют результат с единицей измерения. |
1 мин | Учитель показывает на сетке путь из четырёх горизонтальных и двух вертикальных клеток: "Как определить длину такого маршрута, если сторона клетки равна 1 см?" | Считают единичные отрезки и отвечают: "Длина маршрута равна 6 см". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как измерять отрезок и считать единичные шаги. Теперь выясним, какой отрезок называют расстоянием от точки до прямой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при поиске кратчайшего расстояния от точки до прямой и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель изображает точку M и прямую l, проводит из M к l два наклонных отрезка и один перпендикуляр: "Все три отрезка соединяют точку M с прямой. Можно ли назвать расстоянием любой из них? Какой путь от точки к прямой будет самым коротким?" | Рассматривают рисунок, сравнивают отрезки, предполагают: "Самым коротким будет прямой путь под прямым углом". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, как проверить ваше предположение. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Научиться находить расстояние от точки до прямой и длину маршрута на сетке". Представляют варианты классу. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что не каждый отрезок от точки до прямой является расстоянием. Сейчас мы установим точное правило и применим его к практическим задачам."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать понятия расстояния между точками и расстояния от точки до прямой, установить роль перпендикуляра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает точки A и B: "Соединим точки отрезком AB. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего эти точки. Запишите определение. Теперь посмотрим на точку M и прямую l." | Записывают определение, проводят или обводят отрезок AB, называют его длину. |
3 мин | Учитель проводит перпендикуляр MH к прямой l и объясняет: "Точка H лежит на прямой l, а угол MHL прямой. Отрезок MH называется перпендикуляром. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Обратите внимание: перпендикуляр короче наклонных отрезков." | Рассматривают чертёж, находят прямой угол, записывают: «Расстояние от точки M до прямой l — длина перпендикуляра MH». |
3 мин | Учитель раздаёт сетку и говорит: "Отметьте точку P и горизонтальную прямую r. Проведите к ней перпендикуляр по вертикальным линиям сетки. Затем отметьте точки A и B и соедините их кратчайшим отрезком. Объясните, почему выбранные отрезки соответствуют расстояниям." | Выполняют построение цветным карандашом, отвечают: "Отрезок AB соединяет точки; перпендикуляр образует прямой угол с прямой r". |
Запись в тетрадях
1. Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. 2. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. 3. На квадратной сетке длина маршрута равна сумме длин пройденных единичных отрезков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два правила: между точками измеряем соединяющий их отрезок, а от точки до прямой ищем перпендикуляр. Теперь проверим эти правила в задачах и научимся применять их без подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы измерения и подсчёта длины маршрута с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выполните задание 1. На рисунке расстояние между точками A и B нужно измерить линейкой. Задание 2: из точки M к прямой l проведены три отрезка, один из них перпендикуляр. Назовите расстояние от M до l. Сначала решает один ученик, второй проговаривает алгоритм, затем поменяйтесь ролями." | В парах измеряют AB, записывают число с единицей измерения, находят перпендикуляр и объясняют выбор. |
2 мин | Учитель показывает квадратную сетку: "Маршрут из точки C в точку D проходит на 5 клеток вправо и на 3 клетки вверх. Сторона клетки 1 см. Запишите длину маршрута и объясните подсчёт." | Считают: $5+3=8$ единичных отрезков, записывают ответ 8 см, проговаривают способ. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по эталону на доске и спрашивает: "Какая ошибка могла возникнуть? Почему диагональный переход нельзя считать одной клеткой, если маршрут задан только по сторонам клеток?" | Сверяют ответы, отмечают ошибки, формулируют: "Нужно считать каждый пройденный единичный отрезок". |
Эталон решения
Если маршрут состоит из 5 горизонтальных и 3 вертикальных единичных отрезков, его длина равна $5+3=8$ см. Расстояние от точки до прямой определяется не наклонным отрезком, а перпендикуляром: проверяем наличие прямого угла и измеряем длину перпендикуляра.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили правила вместе с партнёром и увидели типичную ошибку — подмену длины маршрута расстоянием по диагонали. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет выбирать способ решения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов нахождения расстояния и длины маршрута.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень обязателен для всех. Работайте самостоятельно, записывайте не только ответ, но и способ." | Выбирают карточку, подписывают работу, читают условия. |
6 мин | Учитель наблюдает и консультирует вопросами: "Что именно требуется найти? Какой отрезок является перпендикуляром? Сколько горизонтальных и вертикальных единичных отрезков в маршруте?" | Решают задания: измеряют отрезки, выделяют перпендикуляр, подсчитывают длины двух маршрутов и выбирают более короткий. |
3 мин | Учитель вывешивает эталон: "Проверьте каждый шаг. За верное построение — один балл, за правильное измерение или подсчёт — один балл, за объяснение выбора — ещё один балл. Исправления выполняйте другим цветом." | Сверяют решение с эталоном, подсчитывают баллы, исправляют ошибки, показывают карточку светофора. |
Эталон решения
Для маршрута, состоящего из 7 горизонтальных и 4 вертикальных клеток, длина равна $7+4=11$ единичных отрезков. Если сторона клетки равна 1 см, длина маршрута равна 11 см. При сравнении двух маршрутов складываем число горизонтальных и вертикальных шагов каждого маршрута и выбираем меньшее значение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете выбирать нужное правило. Осталось обобщить результат, назвать трудность и проверить, достигли ли мы поставленной цели."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить достижение цели и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На листке ответьте на три вопроса: что называют расстоянием между двумя точками; как найти расстояние от точки до прямой; как вычислить длину маршрута на сетке? Добавьте один пример." | Пишут краткие ответы, приводят пример подсчёта маршрута, сдают листки. |
2 мин | Учитель предлагает завершить фразы: "Сегодня я научился...", "Мне было трудно...", "Теперь я могу объяснить..." и показывает шкалу самооценки от 1 до 3. | Заполняют самооценку, называют конкретное умение или затруднение. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по таблице. В каждой работе обязательно чертите схему, указывайте единицы измерения и записывайте объяснение выбора перпендикуляра или кратчайшего маршрута." | Записывают выбранный уровень и уточняют условия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились измерять расстояния между точками, находить расстояние от точки до прямой через перпендикуляр и вычислять длину маршрута по квадратной сетке. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить каждое решение не только числом, но и чертежом."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, расстояние от точки до прямой найдено по перпендикуляру, маршруты подсчитаны без ошибок, чертежи и единицы измерения оформлены аккуратно, способ решения объяснён.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, правило выбора перпендикуляра понято.
- «3» — выполнено базовое задание с помощью подсказки, правильно определён отрезок-перпендикуляр или длина одного маршрута, но есть ошибки в подсчётах или объяснении.
- Ниже «3» — правило расстояния от точки до прямой или алгоритм подсчёта маршрута пока не применяются самостоятельно; требуется дополнительная работа по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют расстоянием между двумя точками? | Проверить осознание определения и связь расстояния с длиной отрезка. |
Как определить расстояние от точки до прямой? | Выявить понимание роли перпендикуляра и возможных ошибок. |
Как вы нашли длину маршрута на квадратной сетке? | Проверить владение алгоритмом подсчёта единичных отрезков. |
Какое задание оказалось самым трудным и почему? | Выявить индивидуальные точки затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что расстояние между двумя точками измеряется длиной соединяющего их отрезка, а расстояние от точки до прямой — длиной перпендикуляра. Мы также научились считать длину маршрута по числу единичных отрезков на квадратной сетке. Самая частая ошибка — считать любой отрезок от точки до прямой расстоянием или пропускать отдельные шаги маршрута. На следующем уроке мы продолжим применять эти правила в более сложных задачах и будем составлять собственные маршруты."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: измерить расстояние между двумя парами точек на чертеже, определить расстояние от точки до прямой по изображённому перпендикуляру и найти длину маршрута из горизонтальных и вертикальных шагов на квадратной сетке. | Закрепить определения, навык измерения и подсчёта единичных отрезков; проверить наличие чертежа, вычислений и единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на квадратную сетку: сравнить два маршрута между одними точками, найти кратчайший маршрут с заданным числом горизонтальных и вертикальных шагов, объяснить выбор перпендикуляра в геометрическом чертеже. | Развить умение сравнивать способы решения и аргументировать выбор; при проверке обратить внимание на полное объяснение. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную карту на квадратной сетке с точками A, B и прямой l, придумать два вопроса о расстояниях и маршрутах, решить их и оформить эталонное объяснение. | Развить моделирование, творческое применение правил и умение проверять корректность собственной задачи. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой отрезок является расстоянием между точками?», «Какой отрезок является расстоянием от точки до прямой?», «Как посчитать длину маршрута на квадратной сетке?»
