Свойства сложения целых чисел: переместительное, сочетательное свойство и нейтральный элемент
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют переместительное и сочетательное свойства сложения целых чисел, назовут нейтральный элемент сложения и применят эти свойства при выполнении не менее 5 практических заданий с результатом не менее 80% верных ответов.
- Образовательная задача: вывести на конкретных примерах свойства сложения целых чисел и записать их буквенные формулировки.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать выражения, находить закономерность, выбирать удобный порядок вычислений и объяснять ход рассуждений.
- Регулятивная задача: учить планировать решение, проверять вычисления перестановкой слагаемых и исправлять найденные ошибки.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к совместной работе, взаимопомощь и уверенность в применении математических знаний.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют интерес к поиску краткого и рационального способа вычисления целых чисел.
- Осознают значение самопроверки и аккуратной записи математических выражений.
- Готовы принимать участие во фронтальном обсуждении и уважительно относятся к различным способам решения.
- Оценивают собственную успешность и формулируют учебное затруднение.
Метапредметные
- Умеют извлекать правило из наблюдения за числовыми примерами и формулировать вывод.
- Сравнивают два выражения, устанавливают равенство и объясняют его причину.
- Планируют последовательность действий при преобразовании суммы.
- Используют математическую речь для аргументации ответа и выполняют самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать переместительное свойство сложения: $a+b=b+a$.
- Знать сочетательное свойство сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
- Знать, что ноль является нейтральным элементом сложения: $a+0=0+a=a$.
- Уметь применять свойства при сложении положительных и отрицательных целых чисел, включая противоположные числа.
- Уметь объяснять, почему сумма противоположных чисел равна нулю: $a+(-a)=0$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться быстро и рационально преобразовывать суммы целых чисел.
- Связывают математическое правило с жизненной ситуацией изменения счета: выигрыш обозначается положительным числом, штраф — отрицательным.
- Осознают ценность точности, настойчивости и взаимопомощи при решении задач.
- Оценивают собственное продвижение по итогам урока.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планируют порядок действий при вычислении суммы и выборе свойства.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных заданий.
Познавательные УУД
- Выявляют закономерность на числовых примерах и переводят её в буквенную запись.
- Моделируют сложение целых чисел движением по координатной прямой.
- Сравнивают способы вычисления и выбирают наиболее удобный.
- Применяют анализ, классификацию и обобщение при работе с выражениями.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ и приводят математическое обоснование.
- Участвуют во фронтальном обсуждении и задают уточняющие вопросы.
- Согласуют решение в паре и корректно объясняют ошибку однокласснику.
- Соблюдают правила диалога и распределяют внимание между выступающими.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами $+7+(-8)=-1$, $6+(-4)=2$, $+2+(-5)=-3$, $+8+(-2)=6$, $-7+(+3)=-4$.
- Распечатать по одной карточке на парту с заданиями трёх уровней: базовый, повышающий и дополнительный.
- Подготовить по одному комплекту карточек со знаками «+», «−» и числами для каждой группы из 3–4 учащихся.
- Разместить на доске памятку: «Переставлять можно слагаемые; менять местами части суммы можно по скобкам; нейтральный элемент — 0».
- Подготовить координатную прямую на экране или большую полоску с отметками от −8 до 8.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одному мини-билету на выход.
- Подготовить маркеры, магниты, таймер и цветные карточки для игры «Математический светофор».
- Организовать фронтальную работу с учебником по теме сложения целых чисел без указания конкретных страниц.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую ценность рационального сложения целых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто считать, а искать такие способы сложения, которые помогают получать ответ быстрее и надёжнее." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: "В компьютерной игре игрок получил 7 очков и 8 штрафных баллов, каждый штраф отменяет одно очко. Как записать изменение счёта? А теперь представьте, что сначала мы учитываем штраф, а затем очки. Изменится ли итог?" | Отвечают: "Можно записать $+7+(-8)$"; предполагают: "Итог не изменится, если поменять порядок действий". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что порядок слагаемых может быть удобным или неудобным для вычислений, но, возможно, не влияет на результат. Сейчас проверим это на примерах и выясним, какие свойства помогают считать быстрее."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила сложения целых чисел с разными знаками и обнаружить необходимость нового обобщения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним правило сложения чисел с разными знаками. Посмотрите на выражения на доске: $+2+(-5)$, $+8+(-2)$, $-7+(+3)$. Что мы делаем сначала? Как определяем знак ответа?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Из большего модуля вычитаем меньший"; "знак получает слагаемое с большим модулем". Вычисляют: $-3$, $+6$, $-4$. |
3 мин | Учитель предлагает фронтальную проверку: "Сравните пары: $+7+(-8)$ и $(-8)+(+7)$; $(+2+(-5))+3$ и $+2+((-5)+3)$. Не вычисляйте сразу, а предположите, почему результаты могут совпасть. Запишите свои наблюдения одним предложением." | Сравнивают выражения, находят равенство и формулируют предположение: "Слагаемые можно переставлять, а скобки можно группировать по-разному". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило сложения чисел с разными знаками мы вспомнили, но пока не доказали наши предположения для любых целых чисел. Значит, нам нужно исследовать примеры и сформулировать общие свойства."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и план открытия новых свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд подумайте, всегда ли сумма $a+b$ равна сумме $b+a$. Затем обсудите ответ с соседом и приведите один пример с целыми числами. После этого две пары представят вывод классу." | Сначала работают индивидуально, затем обсуждают в парах. Приводят примеры: $(-4)+(+9)=(+9)+(-4)=5$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какую цель поставим? Какие свойства нужно проверить? Как поймём, что цель достигнута?" На доске записывает план: проверить перестановку слагаемых, проверить группировку, выяснить роль нуля, потренироваться. | Формулируют цель: "Открыть и применять свойства сложения целых чисел". Называют план действий и критерий успеха: правильно выбрать свойство и вычислить сумму. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня мы сами откроем три свойства сложения и используем их для удобных вычислений. Начнём с перестановки слагаемых."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести переместительное и сочетательное свойства сложения, а также определить нейтральный элемент.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $(-3)+(+8)$ и $(+8)+(-3)$. "Вычислим обе суммы. Что заметили? Теперь заменим числа буквами. Как записать обнаруженную закономерность?" Учитель подводит к формулировке: "От перестановки слагаемых сумма не изменяется". | Вычисляют обе суммы: $5$ и $5$. Формулируют и записывают: $a+b=b+a$. |
3 мин | Учитель показывает три числа: $-2$, $+5$, $-3$. "Сравним два способа группировки: $((-2)+5)+(-3)$ и $(-2)+(5+(-3))$. Посчитайте по действиям. Изменился ли результат?" | Вычисляют: $((-2)+5)+(-3)=3+(-3)=0$; $(-2)+(5+(-3))=(-2)+2=0$. Делают вывод о неизменности результата при изменении группировки. |
2 мин | Учитель записывает: "Сумму трёх чисел можно группировать по-разному" и предлагает буквенную запись. Затем уточняет: "Складываемые числа называются слагаемыми. Скобки показывают удобную группировку, но не меняют общей суммы." | Записывают $(a+b)+c=a+(b+c)$ и проговаривают сочетательное свойство. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Что происходит при прибавлении нуля? Проверьте на примерах $-6+0$, $0+(+4)$ и $0+0$. Какое число не изменяет сумму?" | Вычисляют и формулируют: "Ноль — нейтральный элемент сложения; $a+0=0+a=a$". |
Запись в тетрадях
- Переместительное свойство: $a+b=b+a$. От перестановки слагаемых сумма не изменяется.
- Сочетательное свойство: $(a+b)+c=a+(b+c)$. От изменения группировки слагаемых сумма не изменяется.
- Нейтральный элемент сложения — ноль: $a+0=0+a=a$.
- Сумма противоположных чисел равна нулю: $a+(-a)=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три свойства: можно переставлять слагаемые, менять группировку и добавлять ноль без изменения результата. Теперь проверим, умеем ли мы применять эти свойства не только в отдельных примерах, но и в игре."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математический конструктор» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и научиться преобразовывать суммы целых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на небольшие команды и раздаёт карточки с выражениями: $(-4)+(+9)$, $(+9)+(-4)$, $((-2)+5)+(-3)$, $(-2)+(5+(-3))$, $7+0$, $0+(-7)$. "Ваша задача — соединить выражения, которые равны, и назвать свойство, объясняющее равенство. На работу две минуты." | Составляют пары равных выражений и называют свойства: переместительное, сочетательное, нейтральный элемент. |
3 мин | Учитель проводит проверку: "Первая команда показывает одну пару, вторая — следующую. Ответ должен звучать полностью: выражения равны, потому что..." Учитель начисляет баллы за равенство и объяснение. | Представляют пары, например: $(-4)+9=9+(-4)$, потому что действует переместительное свойство; $7+0=7$, потому что ноль — нейтральный элемент. |
2 мин | Учитель предлагает фронтальную задачу: "Вычислите удобным способом: $(-8)+(+3)+(+8)$. Как использовать свойства, чтобы получить ответ почти устно?" | Переставляют слагаемые: $(-8)+8+3=0+3=3$. Объясняют использование переместительного свойства и свойства противоположных чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что свойства нужны не для записи ради записи, а для удобного вычисления: мы объединили противоположные числа и быстро получили ноль. Теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств сложения на заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Каждый выполняет обязательный базовый блок. Если он выполнен уверенно, переходите к повышенному. Продвинутый блок можно выбрать дополнительно. Работайте молча, записывайте не только ответ, но и удобное преобразование." | Выбирают карточку или уровень после выполнения обязательной части, записывают решение в тетради. |
4 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: вычислить $(-6)+0$, $0+(+11)$, $(-5)+(+8)$; преобразовать $(-3)+(+7)$ в равную сумму с переставленными слагаемыми. Повышенный уровень: вычислить удобным способом $(-12)+(+5)+(+12)$ и $(+4)+(-9)+(+6)$. | Решают индивидуально. В первом повышенном примере группируют противоположные числа: $(-12)+12+5=5$. Во втором получают $4+6-9=1$. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске: $-6+0=-6$, $0+11=11$, $-5+8=3$, $-3+7=7+(-3)=4$, $-12+5+12=(-12+12)+5=5$, $4-9+6=(4+6)-9=1$. "Проверьте каждую строку знаком плюс или исправлением. Ошибку не стирайте, а подпишите причину." | Сверяют решения, отмечают верные ответы, исправляют ошибки и указывают причину: неверный знак, ошибка при перестановке или вычислительная ошибка. |
Эталон решения
В выражении $(-12)+(+5)+(+12)$ удобно сгруппировать противоположные слагаемые: $(-12)+(+12)+(+5)=0+5=5$. Использованы переместительное свойство и равенство $a+(-a)=0$, затем свойство нейтрального элемента: $0+5=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что свойства помогают не только доказать равенства, но и сократить вычисления. Осталось проверить, умеете ли вы объяснить выбор свойства и оценить собственный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-билеты: "Закончите три фразы: сегодня я узнал; при вычислении суммы мне помогает; мне нужно потренироваться в..." Затем предлагает показать карточку светофора: зелёная — могу объяснить все свойства, жёлтая — нужна тренировка, красная — требуется помощь. | Заполняют билет на выход и показывают цвет самооценки. Формулируют, например: "Мне помогает объединять противоположные числа". |
2 мин | Учитель проводит фронтальную проверку: "Какое свойство используется в записи $a+b=b+a$? Что означает $a+0=a$? Как можно упростить $(-6)+4+(+6)$?" | Отвечают: "Переместительное свойство"; "ноль не изменяет сумму"; преобразуют: $-6+6+4=4$. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своей самооценке. Важно записывать преобразование суммы и рядом кратко указывать использованное свойство. Дополнительное задание выполняют те, кто хочет проверить себя на более сложной сумме." | Записывают выбранный уровень и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли свойства сложения целых чисел и увидели, что рациональная перестановка слагаемых делает вычисления короче. Проверьте себя дома: если можете объяснить не только ответ, но и использованное свойство, значит, цель урока достигнута."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и не менее двух повышенных, правильно записаны преобразования, названы использованные свойства, допущено не более одной неточности в оформлении.
- «4» — верно выполнены все обязательные задания или не менее 80% работы, свойства в основном названы правильно, допущены одна вычислительная ошибка или одна ошибка в объяснении.
- «3» — верно выполнена большая часть базовых заданий, но есть затруднения при выборе свойства или при сложении чисел с разными знаками; решение требует исправления по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство сложения вы сегодня открыли или лучше всего поняли? | Выявление осознанности усвоения трёх свойств. |
Какое преобразование помогло быстро решить $(-8)+3+8$? | Проверка понимания связи свойств сложения и рационального вычисления. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: выбор свойства, знаки или вычисления. |
Какой цвет светофора вы выбираете и что поможет перейти на следующий уровень? | Формирование навыка самооценки и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что сумму целых чисел можно складывать удобнее: переставлять слагаемые, менять их группировку и использовать ноль как нейтральный элемент. Особенно полезно сначала объединять противоположные числа, потому что их сумма равна нулю. Следите за знаками и не забывайте объяснять, какое свойство применили. На следующем уроке мы продолжим использовать свойства сложения при преобразовании и вычислении более сложных выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 выражений на сложение целых чисел: два примера с нулём, два с числами разных знаков и один пример с противоположными числами. В двух выражениях переставить слагаемые и записать равную сумму. | Закрепляет вычисление сумм, нейтральный элемент и переместительное свойство. При проверке обратить внимание на знаки и запись равенств. |
Средний (повышающий) | Решить 4 многосложных выражения, содержащих по три или четыре целых числа, рационально перегруппировав слагаемые. Рядом с каждым решением указать использованные свойства. | Формирует умение выбирать удобный порядок действий и применять переместительное и сочетательное свойства. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных выражения: одно на переместительное свойство, одно на сочетательное свойство и одно с нейтральным элементом. Вычислить их двумя способами и объяснить, почему результаты совпали. | Развивает создание математических примеров, аргументацию и осознанное использование свойств. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается переместительное свойство? Как записывается сочетательное свойство? Какое число является нейтральным элементом сложения? Чему равна сумма числа и противоположного ему числа? Как можно удобно вычислить $(-9)+(+4)+(+9)$?»
