Представление данных с помощью круговых диаграмм
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться представлять данные из несложной таблицы в виде круговой диаграммы, вычисляя величины секторов по формуле $\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$, и объяснять полученный результат.
- Научиться находить долю каждой категории от общего количества и переводить её в градусную меру центрального угла.
- Закрепить умение строить круговую диаграмму с помощью транспортира, линейки и цифрового инструмента.
- Развивать навыки анализа данных, работы в парах, аргументации и самопроверки.
- Формировать интерес к математике через игровой сюжет, связь с информатикой, географией и повседневной жизнью.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к представлению информации в наглядной форме и видят практическую ценность диаграмм.
- Осознают важность точности измерений и аккуратности при построении чертежей.
- Развивают уверенность в совместном решении учебной задачи и готовность принимать обоснованные решения.
- Формируют ответственное отношение к результату своей работы и уважение к мнению партнёра.
Метапредметные
- Извлекают данные из таблицы, вычисляют доли и преобразуют числовую информацию в графическую.
- Планируют последовательность построения диаграммы и проверяют соответствие суммы углов полному кругу.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли, задают вопросы и аргументируют выбор способа решения.
- Используют цифровой инструмент для построения и сравнения диаграмм.
- Применяют математические знания в межпредметном контексте: при анализе распределения времени, видов транспорта или результатов опроса.
Предметные
- Знать, что круговая диаграмма показывает состав целого и соотношение его частей.
- Знать формулу вычисления центрального угла сектора $\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$.
- Уметь находить долю категории и величину соответствующего сектора.
- Уметь строить круговую диаграмму по таблице данных и обозначать её элементы.
- Уметь читать круговую диаграмму, сравнивать сектора и формулировать выводы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность применять новый способ.
- Связывают построение диаграмм с задачами из жизни: планированием времени, анализом опросов и представлением статистики.
- Проявляют познавательный интерес через игровой сюжет «Математическое бюро расследований».
- Принимают необходимость точной проверки результата и корректного представления данных.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план построения круговой диаграммы.
- Распределяют время между вычислениями, построением и проверкой.
- Сверяют сумму углов с $360^\circ$, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают работу по критериям и фиксируют затруднение в листе самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют общее количество и отдельные категории в таблице данных.
- Устанавливают связь между частью целого, долей, процентом и центральным углом.
- Моделируют данные с помощью чертежа и условных обозначений.
- Сравнивают табличное и графическое представление информации.
- Проверяют правдоподобие вывода по размеру сектора.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и чертёжник, затем меняются ролями.
- Формулируют объяснение алгоритма построения для партнёра.
- Задают уточняющие вопросы и корректно сообщают об обнаруженной ошибке.
- Представляют вывод от имени пары и учитывают альтернативные решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с фотографиями круговых диаграмм, таблицей данных и пошаговым алгоритмом построения.
- Распечатать карточки трёх уровней с данными для построения диаграмм — по одной карточке на пару, всего по числу пар класса.
- Подготовить лист самооценки и короткий билет на выход для каждого ученика.
- Разложить на каждую парту линейку, транспортир, карандаш, ластик и цветные карандаши.
- Подготовить карточки ролей «вычислитель» и «чертёжник», чтобы пары менялись ролями.
- Вывести на доску или экран формулу $\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$, образец таблицы и критерии проверки.
- Подготовить интерактивную доску или проектор и доступ к электронному табличному редактору либо заранее созданному файлу с диаграммой.
- Подготовить музыкальный фрагмент или слайд для двухминутной физкультминутки с движениями по направлениям секторов.
- Разместить на доске игровой маршрут «Найди ошибку — Построй сектор — Защити вывод».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность через игровой сюжет и показать практическую ценность круговых диаграмм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы становимся сотрудниками математического бюро расследований. На экране вы видите круг, разделённый на цветные части. Как быстро понять, на что люди тратят своё свободное время?" Учитель показывает изображение круговой диаграммы без подписей. | Рассматривают изображение, предполагают: "Нужно сравнить размеры секторов", "Нужно узнать, что означает каждый цвет". |
2 мин | Учитель продолжает: "Наша задача — не просто увидеть части круга, а научиться построить такую диаграмму по данным. Работать будем в парах, за точность вычислений и качество вывода пары получат жетоны исследователей. Проверьте транспортир и карандаш: сегодня они будут нашими главными инструментами." | Проверяют принадлежности, объединяются в пары, выбирают роли «вычислитель» и «чертёжник», записывают дату и тему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что круговая диаграмма помогает быстро сравнить части целого. Сейчас вспомним, какие знания понадобятся, чтобы построить её точно."
Этап 2. Актуализация знаний. Игровая разминка «Математический светофор» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия доли, процента, полного круга и навыки измерения углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает карточки с утверждениями: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Полный круг содержит $360^\circ$. Половина круга — $90^\circ$. Четверть числа равна $25\%$. Если одна категория составляет половину всех данных, её сектор занимает половину круга." После каждого ответа просит кратко объяснить выбор. | Поднимают карточки, исправляют ошибки: "Половина круга — $180^\circ$", "Четверть числа — $25\%$", формулируют связь между долей и углом. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как найти четверть от общего количества? Как найти угол сектора, если известна доля? Представьте, что весь круг — это 100 процентов. Какой угол соответствует одному проценту?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Нужно разделить целое на четыре", "Умножить долю на $360^\circ$", «$1\%=3{,}6^\circ$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что круг — это всё множество данных, а каждая часть превращается в сектор. Но пока у нас нет общего алгоритма. Найдём место затруднения и сформулируем задачу урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость вычисления центрального угла и совместно сформулировать алгоритм работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу: «Любимые виды спорта в классе: футбол — 10 человек, плавание — 5, баскетбол — 3, шахматы — 2». Спрашивает: "Как представить эти данные кругом? Можно ли просто разделить круг на четыре равные части? Почему нет?" | Считают общее количество $20$, замечают неравенство категорий, отвечают: "Сектора должны быть разными по размеру". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте, затем минуту обсудите, что нужно вычислить для каждой категории. Сформулируйте цель урока одним предложением." Учитель записывает варианты на доске. | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в паре, предлагают: "Нужно найти угол каждого сектора и построить его транспортиром". Формулируют цель: "Научиться строить круговую диаграмму по данным". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что количества сами по себе не являются углами. Значит, нам нужен способ перевести часть общего количества в градусы. Сейчас откроем этот способ и проверим его на примере."
Этап 4. Открытие нового знания. Построение алгоритма (8 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить формулу вычисления центрального угла сектора и применить её к учебной таблице.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Вся таблица содержит $N$ наблюдений. Одна категория содержит $n$ наблюдений. Доля категории равна $\frac{n}{N}$. Поскольку полный круг — $360^\circ$, умножаем долю на $360^\circ$. Запишем формулу: $\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$. Почему в формуле появляется именно отношение $n$ к $N$?" Учитель показывает схему «часть — целое — угол». | Записывают формулу, объясняют: "$n$ — часть всех данных, $N$ — общее количество; отношение показывает долю категории". |
3 мин | Учитель решает первый пример: "Для футбола $n=10$, $N=20$. Найдём угол: $\alpha=\frac{10}{20}\cdot360^\circ=180^\circ$. Это половина круга. Для плавания: $\alpha=\frac{5}{20}\cdot360^\circ=90^\circ$. Проверьте, соответствует ли результат размеру категории." | Вместе с учителем вычисляют углы, сравнивают их с количеством участников, делают вывод: "В футболе в два раза больше учеников, чем в плавании, поэтому сектор в два раза больше". |
2 мин | Учитель предлагает парам закончить таблицу: "Вычислите углы для баскетбола и шахмат. Затем сложите все углы. Если сумма не равна $360^\circ$, ищите ошибку в вычислениях." | В парах вычисляют $\alpha_{бас}=\frac{3}{20}\cdot360^\circ=54^\circ$ и $\alpha_{шах}=\frac{2}{20}\cdot360^\circ=36^\circ$, проверяют сумму: $180^\circ+90^\circ+54^\circ+36^\circ=360^\circ$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Круговая диаграмма показывает состав целого. Чтобы найти центральный угол сектора, используют формулу $\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$, где $n$ — количество объектов категории, $N$ — общее количество объектов. Алгоритм: 1) найти $N$; 2) вычислить угол каждого сектора; 3) начертить круг; 4) отложить углы транспортиром; 5) подписать сектора и проверить сумму углов».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили формулу и проверили её на таблице. Теперь закрепим алгоритм построением диаграммы, причём каждый участник пары внесёт свой вклад."
Этап 5. Первичное закрепление в парах. «Построй сектор» (7 мин)
Цель этапа: построить круговую диаграмму по готовым данным и проговорить последовательность действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Распределение времени выходного дня: сон — 10 часов, прогулка — 4 часа, занятия — 3 часа, домашние дела — 2 часа, другое — 5 часов». Инструктирует: "Сначала найдите общее количество часов, затем вычислите углы. Вычислитель проговаривает действия, чертёжник строит. Через три минуты поменяйтесь ролями." | Читают условие, находят $N=24$ часа, распределяют роли и составляют таблицу «категория — количество — угол». |
4 мин | Учитель сопровождает работу: "Не начинайте чертить, пока не проверите все углы. Для сна вычислите $\frac{10}{24}\cdot360^\circ$, для прогулки — $\frac{4}{24}\cdot360^\circ$. Если угол получается дробным, договоритесь о разумном округлении и подпишите его." Учитель консультирует пары и отмечает точность построения. | Вычисляют углы: сон — $150^\circ$, прогулка — $60^\circ$, занятия — $45^\circ$, домашние дела — $30^\circ$, другое — $75^\circ$. Чертят круг, откладывают сектора транспортиром, меняются ролями. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь работами с соседней парой. Проверьте наличие названия, легенды, всех категорий и сумму углов. Напишите одну сильную сторону и один совет по приёму «Две звезды и пожелание»." | Проверяют диаграмму соседней пары по критериям, записывают: «Две звезды» — точные вычисления и аккуратные сектора; «пожелание» — добавить подписи или легенду. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Диаграмма построена, а взаимопроверка помогла увидеть качество работы. Сделаем короткую физкультминутку, чтобы переключить внимание, и затем каждый самостоятельно проверит свои умения."
Этап 6. Физкультминутка «Живой круг» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить образ полного круга и его частей через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Когда я называю угол $90^\circ$, повернитесь вправо на четверть оборота; $180^\circ$ — выполните полуоборот; $360^\circ$ — полный поворот без спешки. Теперь покажите руками сектор в одну четверть круга, половину круга и три четверти. Дышим спокойно, возвращаемся к работе." | Выполняют повороты и движения руками, называют: "$90^\circ$ — четверть круга", "$180^\circ$ — половина", "$270^\circ$ — три четверти", садятся и готовят тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили связь между углом и частью круга. Теперь каждый покажет, может ли самостоятельно пройти весь алгоритм от таблицы до вывода."
Этап 7. Самостоятельная работа с ИКТ и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и сопоставить ручное и цифровое представление данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки базового и повышенного уровня. Базовый вариант: «В школьной столовой за день выбрали: суп — 12 учеников, салат — 6, второе блюдо — 9, фрукты — 3. Постройте круговую диаграмму». Повышенный вариант дополнительно просит сделать два вывода. Учитель напоминает: "Запишите общее количество, формулу для каждого сектора и проверьте сумму углов." | Индивидуально находят $N=30$, вычисляют углы: суп — $144^\circ$, салат — $72^\circ$, второе блюдо — $108^\circ$, фрукты — $36^\circ$, строят диаграмму и подписывают её. |
2 мин | Учитель показывает на экране электронную таблицу с теми же данными: "Введите категории и количества в таблицу, выберите круговую диаграмму и сравните её с чертежом. Что совпало? Почему цифровой инструмент не освобождает нас от проверки данных?" | Сверяют ручную и цифровую диаграммы, формулируют: "Форма совпадает, если правильно введены данные; ошибку в исходной таблице программа сама не исправляет". |
2 мин | Учитель выводит эталон: $N=30$; $\alpha_1=\frac{12}{30}\cdot360^\circ=144^\circ$; $\alpha_2=72^\circ$; $\alpha_3=108^\circ$; $\alpha_4=36^\circ$. Просит провести самопроверку условными знаками: плюс — верно, точка — нужно исправить. | Сверяют вычисления и чертёж, исправляют найденные ошибки, отмечают в листе самооценки: «могу вычислять угол», «могу строить сектор», «могу делать вывод». |
Эталон решения
Общее количество: $N=12+6+9+3=30$. Для супа: $\alpha=\frac{12}{30}\cdot360^\circ=144^\circ$. Для салата: $\alpha=\frac{6}{30}\cdot360^\circ=72^\circ$. Для второго блюда: $\alpha=\frac{9}{30}\cdot360^\circ=108^\circ$. Для фруктов: $\alpha=\frac{3}{30}\cdot360^\circ=36^\circ$. Проверка: $144^\circ+72^\circ+108^\circ+36^\circ=360^\circ$. После этого строят круг, проводят радиус и последовательно откладывают полученные углы транспортиром.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете переводить данные в углы и проверять полный круг. Осталось применить диаграмму как средство анализа и объяснить, какие выводы из неё можно сделать."
Этап 8. Включение в систему знаний. Межпредметная мини-игра «Редакторы новостей» (4 мин)
Цель этапа: научить читать круговую диаграмму, сравнивать части и формулировать выводы в реальном и межпредметном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает диаграмму «Виды транспорта, которыми ученики добираются до школы»: автобус — $40\%$, пешком — $30\%$, автомобиль — $20\%$, велосипед — $10\%$. Спрашивает: "Какая категория самая большая? На сколько процентных пунктов доля автобуса больше доли велосипеда? Какой угол соответствует пешеходам?" | Отвечают: "Автобус — самая большая категория", "На 30 процентных пунктов", "$30\%\cdot360^\circ=108^\circ$; связывают математику с географией и безопасностью дорожного движения. |
2 мин | Учитель предлагает парам за 60 секунд подготовить заголовок для школьной новости и один вывод: "Не говорите только «сектор большой». Назовите категорию и сравнение. Например: «Большинство учеников...»" Две пары зачитывают варианты. | В парах формулируют новости: "Большинство учеников добираются автобусом; велосипедистов в четыре раза меньше, чем пассажиров автобуса". Представляют результат классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Диаграмма нужна не только для построения: она помогает читать информацию, сравнивать категории и делать обоснованные выводы. Завершим урок проверкой главного открытия и личной рефлексией."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите формулу угла сектора, назовите первый шаг построения и ответьте: почему сумма углов всех секторов должна быть равна $360^\circ$?" | Индивидуально записывают ответы: "$\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$", «найти общее количество и углы», «потому что сектора составляют полный круг». |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка — могу построить диаграмму сам; жёлтая — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в вычислениях или построении; красная — нужна помощь. Отметьте также, какой этап был самым полезным." | Поднимают карточки, отмечают в листе самооценки личный результат и затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а желающие добавьте повышающий или дополнительный. Перед уходом проверьте, что записали формулу и критерии." | Записывают выбранный уровень задания, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать таблицу данных в круговую диаграмму, проверять её точность и читать полученную информацию. Сохраните билет на выход как краткую памятку алгоритма."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдено общее количество, правильно вычислены все углы, построены и подписаны все сектора, сумма углов равна $360^\circ$, сформулирован содержательный вывод.
- «4» — алгоритм применён верно, допущена одна вычислительная или графическая неточность, не повлиявшая существенно на смысл диаграммы; вывод сформулирован.
- «3» — построена диаграмма не менее чем для трёх категорий, но допущены две ошибки в вычислениях, подписях или проверке суммы; общий способ работы понятен.
- Ниже отметки «3» — отсутствует вычисление общего количества либо невозможно определить соответствие секторов исходным данным; работа требует доработки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи количества и угла сектора? | Проверка осознания формулы и смысла отношения части к целому. |
Какой шаг алгоритма построения оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли, что диаграмма построена правильно? | Проверка освоения самоконтроля: сумма углов, подписи, соответствие данных. |
Какую информацию удобнее читать по диаграмме, чем по таблице? | Осознание практической ценности графического представления данных. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились представлять состав данных с помощью круговой диаграммы. Главное — не перепутать количество объектов с величиной угла: сначала найдите общее количество, затем вычислите сектор по формуле $\alpha=\frac{n}{N}\cdot360^\circ$. Не забывайте проверять сумму углов и подписывать легенду. На следующем уроке мы продолжим работать с диаграммами и научимся сравнивать данные, представленные разными способами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | По таблице из четырёх категорий построить круговую диаграмму: найти общее количество, вычислить четыре центральных угла, выполнить чертёж и добавить легенду. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на правильность общего количества, углов, подписей и сумму $360^\circ$. |
Средний (повышающий) | Составить по предложенным данным диаграмму распределения времени за день или расходов семьи по четырём-пяти категориям и написать три вывода со сравнением категорий. | Развивает применение и анализ; проверять осмысленность вывода и соответствие диаграммы исходной таблице. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести небольшой опрос не менее чем среди 10 человек, представить результаты в таблице и круговой диаграмме вручную или в электронном редакторе, указать способ проверки результата. | Развивает исследовательские и ИКТ-компетенции; смотреть на корректность сбора данных, вычислений, визуального оформления и аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обозначают $n$ и $N$ в формуле? Почему полный круг соответствует $360^\circ$? Как проверить, что все сектора построены правильно? Как по диаграмме сравнить две категории?»
