Решение реальных задач с помощью нахождения НОД нескольких натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выбирать способ нахождения НОД трёх и более натуральных чисел и применять его для решения не менее двух практических задач, объясняя полученный ответ.
- Закрепить алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел через разложение на простые множители и последовательное нахождение НОД.
- Научиться распознавать в реальной ситуации необходимость деления объектов на одинаковые группы без остатка и формулировать математическую модель задачи.
- Развивать умение работать в паре и группе, сравнивать способы решения, проверять вычисления и аргументировать выбор ответа.
- Воспитывать внимательное отношение к условиям задач, ответственность за общий результат и готовность использовать математику в бытовых ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению НОД при планировании упаковки, распределении материалов и составлении одинаковых наборов.
- Осознают значение точных вычислений для получения справедливого и рационального результата.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную и групповую работу.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно выбрать способ решения практической задачи.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные из текста, составляют краткую запись и математическую модель ситуации.
- Планируют последовательность решения, выполняют самопроверку и исправляют обнаруженные ошибки.
- Сравнивают решения одноклассников, формулируют вопросы и аргументируют математический вывод.
- Используют интерактивную доску или электронный ресурс для проверки промежуточных результатов.
Предметные
- Знать смысл наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел и признак делимости без остатка.
- Уметь находить НОД трёх и более чисел разложением на простые множители и последовательным применением алгоритма.
- Уметь решать задачи на разбиение предметов на максимально возможное число одинаковых наборов.
- Уметь записывать ответ с единицами измерения и проверять его соответствие условию задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться распознавать ситуации применения НОД.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и уважительно относятся к иному способу решения.
- Оценивают собственную уверенность при работе с практическими задачами.
- Понимают ценность точного распределения ресурсов в повседневной жизни.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель практикума, планируют действия по алгоритму.
- Контролируют вычисления с помощью разложения на множители или обратной проверки.
- Сопоставляют полученный ответ с вопросом задачи и корректируют решение.
- Оценивают результат по предложенным критериям и формулируют, что требует доработки.
Познавательные УУД
- Извлекают числовые данные из текста и классифицируют задачи по способу решения.
- Строят модель ситуации в виде схемы, таблицы или краткой записи.
- Устанавливают общий делитель нескольких чисел и объясняют выбор НОД.
- Исследуют, как изменение одного из чисел влияет на возможное количество одинаковых наборов.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: читатель условия, вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы по условию и формулируют полный математический ответ.
- Сравнивают решения в паре и используют аргументы при защите группового результата.
- Договариваются о едином варианте записи и конструктивно принимают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту на группу.
- Подготовить маршрутные листы для четырёх групп с заданиями на упаковку, составление наборов, распределение материалов и творческое проектирование.
- Вывести на интерактивную доску алгоритм: выделить данные → определить искомое → найти НОД → интерпретировать ответ → проверить.
- Подготовить электронную мини-викторину или интерактивные задания с автоматической проверкой НОД.
- Распечатать листы самооценки и карточки для приёма «Светофор» — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры, листы А3, линейки и жетоны для группового соревнования.
- Подготовить на доске проблемный вопрос: «Как разделить разные количества предметов на самое большое число одинаковых наборов без остатка?»
- Использовать учебник как источник аналогичных практических заданий без указания номеров и страниц; заранее отобрать задачи базового, повышенного и творческого уровней.
- Оборудование: компьютер учителя, проектор или интерактивная доска, доступ к ЭОР, таймер, доска, раздаточные материалы.
- Для физкультминутки подготовить карточки с числами и краткими командами на движение.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать жизненную необходимость нахождения НОД.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение трёх коробок с 24 карандашами, 36 фломастерами и 48 наклейками. «Сегодня мы будем не просто считать, а решать задачу организаторов школьной ярмарки. Нужно собрать одинаковые подарочные наборы и ничего не оставить без распределения». | Рассматривают изображение, называют известные данные: «24, 36 и 48 предметов», формулируют практическую ситуацию. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить? Что должно быть общего у количества карандашей, фломастеров и наклеек?» Организует короткий приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | 30 секунд размышляют индивидуально, одну минуту обсуждают в паре, предлагают гипотезы: «Нужно найти число, на которое делятся все три количества», «Подойдёт НОД». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что НОД помогает не только выполнять вычисления, но и справедливо распределять реальные предметы. Сейчас проверим, насколько хорошо мы умеем находить НОД нескольких чисел и применять его в задачах».
Этап 2. Актуализация знаний и постановка задачи практикума (5 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм нахождения НОД и выявить готовность учащихся к решению практических задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три вопроса: «Что называют делителем числа? Что такое НОД двух чисел? Как проверить, что число является общим делителем?» Проводит фронтальный опрос и фиксирует ключевые слова на доске. | Отвечают: «Делитель делит число без остатка», «НОД — наибольший общий делитель», «Нужно проверить делимость каждого числа». |
3 мин | Учитель предлагает устно определить НОД чисел 18 и 30, затем спрашивает: «Как перейти от двух чисел к трём? Можно ли сначала найти НОД первых двух, а затем сравнить результат с третьим числом?» | Устно находят $НОД(18,30)=6$, предлагают алгоритм: «Сначала найти НОД первых двух чисел, затем найти НОД полученного результата и третьего числа». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно последовательно находить НОД: $НОД(a,b,c)=НОД(НОД(a,b),c)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили смысл НОД и увидели, что с несколькими числами можно работать последовательно. Теперь определим, как по тексту задачи понять, что именно нужно найти».
Этап 3. Проблемный диалог и моделирование ситуации (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: научить переводить условие практической задачи в математическую модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает условие: «Для школьной выставки подготовили 30 красных, 45 синих и 60 зелёных флажков. Из них хотят сделать одинаковые комплекты, используя все флажки. Какое наибольшее число комплектов можно получить?» Учитель ведёт проблемный диалог: «Что известно? Что требуется найти? Почему здесь нельзя просто сложить все флажки?» | Выделяют данные и вопрос, составляют краткую запись: 30, 45, 60 флажков; ищут наибольшее число одинаковых комплектов. Объясняют: «Важно, чтобы каждый вид флажков делился на число комплектов без остатка». |
2 мин | Учитель показывает схему трёх числовых отрезков и спрашивает: «Какое математическое понятие связывает все три числа? Какие единицы должны появиться в ответе?» | Формулируют модель: «Нужно найти $НОД(30,45,60)$». Делают вывод: ответ выражается в комплектах, а количество флажков каждого цвета в одном комплекте найдём делением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились видеть за словами “одинаковые группы”, “без остатка” и “наибольшее число наборов” задачу на НОД. Теперь применим эту модель в командной практической работе».
Этап 4. Групповой практикум и исследовательская работа (12 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм НОД на задачах разного содержания, развивать навыки моделирования и сотрудничества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на четыре группы, раздаёт маршрутные листы и объясняет роли. «В каждой группе должны быть читатель условия, вычислитель, проверяющий и докладчик. Сначала составьте модель, затем найдите НОД и обязательно объясните смысл ответа». | Распределяют роли, читают маршрутный лист, записывают порядок действий. |
5 мин | Учитель предлагает задания базового и среднего уровня. Группа 1 решает задачу о 42 яблоках, 56 грушах и 70 апельсинах; группа 2 — о 36 красных, 48 жёлтых и 60 синих бусинах. «Определите наибольшее число одинаковых наборов и состав каждого набора». | Разлагают числа на простые множители или используют последовательное нахождение НОД, оформляют краткую запись, вычисления и полный ответ на листе А3. |
3 мин | Учитель предлагает группам 3 и 4 задачу повышенного уровня: «В мастерской есть 72 см синей ленты, 90 см белой и 108 см красной. Ленту хотят разрезать на одинаковые по длине наборы без остатка. Какое наибольшее число наборов получится и сколько сантиметров ленты каждого цвета будет в одном наборе?» | Строят модель, находят $НОД(72,90,108)=18$, определяют состав одного набора: 4 см, 5 см и 6 см, готовят краткое объяснение. |
2 мин | Учитель проводит исследовательский вопрос: «Что изменится, если количество одного вида предметов увеличить на 1? Сохранится ли максимальное число наборов?» Предлагает проверить на примере 42, 56 и 71. | Сравнивают НОД исходных и изменённых чисел, формулируют вывод: «НОД может уменьшиться, потому что новое число может не делиться на прежний общий делитель». |
Эталон решения
Для задачи о ленте: $72=2^3\cdot3^2$, $90=2\cdot3^2\cdot5$, $108=2^2\cdot3^3$. Общие простые множители: $2\cdot3^2=18$. Значит, можно получить 18 одинаковых наборов. В одном наборе будет $72:18=4$ см синей, $90:18=5$ см белой и $108:18=6$ см красной ленты. Ответ: 18 наборов; в каждом наборе 4 см, 5 см и 6 см ленты соответствующих цветов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Группы показали, что один и тот же алгоритм работает с флажками, продуктами, бусинами и лентами. Сейчас немного сменим вид деятельности, а затем каждый проверит собственное умение решать задачу».
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (3 мин)
Цель этапа: снять утомление и повторить признаки делимости в игровой форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает карточки с числами 12, 15, 18, 20, 24 и 30. «Если число делится на 2 — поднимите руки вверх, на 3 — сделайте шаг вправо, на 5 — шаг влево. Если число делится и на 2, и на 3, выполните хлопок». Учитель меняет карточки в умеренном темпе. | Выполняют движения по правилам, проговаривают признаки делимости и называют общие делители отдельных чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы повторили признаки делимости и готовы к индивидуальной проверке. Теперь каждый покажет, как умеет применять НОД без подсказки группы».
Этап 6. Индивидуальная работа с использованием ЭОР и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом решения задач разного уровня и организовать формирующее оценивание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран электронное задание с выбором уровня. «Выберите карточку по своим силам: зелёную — базовую, синюю — повышенную, красную — творческую. Можно начать с базового уровня и перейти выше». | Выбирают уровень, записывают номер варианта в тетради, знакомятся с критериями. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый вариант: «В коробке 24 белых, 36 чёрных и 48 серых деталей. Составьте максимальное число одинаковых комплектов». Повышенный вариант: «Разделите 54, 72 и 90 жетонов на максимальное число одинаковых наборов и укажите состав набора». Творческий вариант: «Придумайте собственную задачу на НОД трёх чисел, решите её и изобразите модель». | Индивидуально составляют краткую запись, находят НОД, записывают вычисления и полный ответ. Для творческого варианта формулируют условие, выбирают числа и создают схему. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталонные ответы и организует самопроверку. «Проверьте не только число, но и смысл ответа, единицы измерения и отсутствие остатка. Ошибку не зачёркивайте молча: обозначьте её знаком исправления и запишите правильный шаг». | Сравнивают решение с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают баллы по критериям, поднимают карточку зелёного, жёлтого или красного цвета. |
Эталон решения
Для базового варианта: $НОД(24,36,48)=12$. Максимально можно составить 12 комплектов. В каждом комплекте будет $24:12=2$ белые, $36:12=3$ чёрные и $48:12=4$ серые детали. Проверка: $2\cdot12=24$, $3\cdot12=36$, $4\cdot12=48$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, что алгоритм можно применять и без групповой подсказки. Осталось осмыслить, где именно возникали трудности и как использовать этот способ в новых ситуациях».
Этап 7. Рефлексия, творческое задание и домашняя работа (7 мин)
Цель этапа: обобщить способ решения, оценить достижение цели и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Закончи фразу»: «Сегодня я научился…», «Чтобы найти число одинаковых наборов, нужно…», «Самой трудной частью было…». На доске фиксирует типичные затруднения. | Формулируют ответы: «Научился находить НОД трёх чисел», «Нужно найти общий делитель и выбрать наибольший», «Трудно было понять, что обозначает НОД в ответе». |
2 мин | Учитель предлагает творческое задание: «Представьте, что вы организуете школьный праздник. Придумайте набор из трёх видов предметов и такие количества, чтобы НОД был не меньше 6. Запишите условие и назовите состав одного набора». | В парах придумывают задачу, проверяют выбранные числа, записывают условие и краткий ответ. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу и контрольные вопросы: «Перед выходом ответьте: когда в задаче нужен НОД? Почему ответом является именно наибольший общий делитель? Как проверить состав одного набора?» | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы, сдают лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы использовали НОД как инструмент решения реальных задач: распределяли предметы, моделировали ситуации, проверяли решения и создавали собственные условия. На следующем уроке мы продолжим работу с практическими задачами и сравним разные способы нахождения НОД».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена задача выбранного уровня, правильно найден НОД трёх чисел, составлена математическая модель, записан полный ответ с единицами измерения и выполнена проверка.
- «4» — способ решения выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на общий ход решения.
- «3» — определена необходимость нахождения НОД, но есть ошибки в разложении чисел, вычислении или интерпретации состава набора; решение требует доработки.
- Дополнительный балл может получить группа за ясное объяснение способа, аккуратную модель и корректный ответ на исследовательский вопрос.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня применили при решении практических задач? | Выявление осознания связи между НОД и разбиением предметов на одинаковые группы. |
Как вы определили, что в задаче нужно искать НОД? | Проверка умения распознавать математическую модель по тексту. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и интерпретации ответа. |
Какой уровень задания вы выбрали и почему? | Формирование навыка самооценки и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что НОД нужен не только для вычислений, но и для решения задач о наборах, упаковках и справедливом распределении предметов. Важно не забывать: сначала нужно понять, что означает искомое число, затем найти НОД и только после этого объяснить состав одного набора. Типичная ошибка — назвать НОД ответом, не указав, сколько предметов каждого вида войдёт в набор. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и научимся выбирать наиболее удобный способ вычислений».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на составление максимального числа одинаковых наборов из трёх видов предметов; в каждой задаче найти НОД и указать состав одного набора. | Закрепляет распознавание задач на НОД, алгоритм вычисления и запись полного ответа; при проверке обратить внимание на отсутствие остатка и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых количества предметов заданы числами от 50 до 200; использовать разложение на простые множители или последовательное нахождение НОД и сравнить способы в одной задаче. | Развивает вычислительную самостоятельность и умение выбирать рациональный способ; проверить обоснование выбора и промежуточные вычисления. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу на НОД трёх натуральных чисел, оформить схему или таблицу и добавить вопрос об изменении одного из количеств. | Формирует умение моделировать реальную ситуацию, создавать условие и исследовать влияние изменения данных на ответ. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «По каким словам в условии можно распознать задачу на НОД? Почему для максимального числа одинаковых наборов выбирают именно НОД? Как проверить, что составленный набор использует все предметы без остатка?»
