Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и возможность обратного представления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить конечные десятичные дроби в обыкновенные, сокращать полученные дроби и определять, можно ли данную обыкновенную дробь представить конечной десятичной дробью.
- Образовательная задача: вывести и применить правило представления конечной десятичной дроби в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру знаменателя, выдвигать гипотезы и проверять их на примерах с использованием технологии ТРИЗ.
- Коммуникативная задача: формировать умение объяснять ход решения в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументированно защищать вывод.
- Воспитательная задача: развивать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и интерес к применению дробей в денежных и измерительных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Понимают практическую ценность дробей при работе с денежными суммами, длиной и массой.
- Проявляют готовность проверять собственное решение и спокойно исправлять ошибку.
- Осознают значение сотрудничества при решении общей математической задачи.
- Проявляют учебную мотивацию через поиск разных способов представления одного числа.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для её решения.
- Сравнивают записи чисел, выделяют существенный признак знаменателя и делают обобщение.
- Работают с таблицей и интерактивной визуализацией, извлекая математическую информацию.
- Осуществляют взаимопроверку по заданному алгоритму и аргументируют полученный вывод.
Предметные
- Знают, что конечная десятичная дробь представляется дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.
- Умеют переводить десятичную дробь в обыкновенную и сокращать результат.
- Умеют представлять некоторые обыкновенные дроби в виде конечных десятичных дробей.
- Умеют объяснять, почему дробь с несократимым знаменателем, содержащим простые множители, отличные от 2 и 5, не имеет конечной десятичной записи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения дробей через жизненные задачи о цене, длине и массе.
- Оценивают собственную готовность применить правило без подсказки.
- Развивают положительное отношение к поисковой математической деятельности.
- Соблюдают доброжелательность при обсуждении разных способов решения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют перевод дроби по шагам: определить число знаков, записать знаменатель, сократить.
- Проверяют результат обратным переводом.
- Находят ошибку в решении и корректируют запись.
Познавательные УУД
- Выделяют количество знаков после запятой как основание для выбора знаменателя.
- Моделируют связь десятичной и обыкновенной дробей на числовой прямой.
- Классифицируют дроби по возможности конечной десятичной записи.
- Формулируют и проверяют гипотезу о простых множителях знаменателя.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг преобразования.
- Согласуют общий ответ пары и распределяют роли.
- Задают вопросы: «Почему выбран именно такой знаменатель?» и «Можно ли сократить дробь?»
- Аргументированно представляют вывод группы классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с таблицей разрядов, числовой прямой и примерами $0,7$, $0,25$, $1,125$.
- Распечатать карточки для пар: 15 комплектов с десятичными и обыкновенными дробями трёх уровней.
- Распечатать карточки с заданиями ТРИЗ «Что будет, если изменить условие?» — по одной на пару.
- Подготовить листы самооценки и мини-билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Разместить на доске алгоритм: число знаков после запятой — знаменатель — числитель — сокращение — проверка.
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и жетоны для командного соревнования.
- Проверить работу интерактивной доски или проектора; заранее открыть визуальную модель дробей.
- Подготовить калькуляторы только для этапа проверки гипотезы, если это разрешено правилами класса.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую необходимость взаимного перевода дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, карточка для работы в паре. Сегодня нам понадобится не только считать, но и объяснять свои решения. Посмотрите на экран: цена товара записана как 12,50 рубля, а в условии задачи требуется обыкновенная дробь. Как связать эти две записи?" | Проверяют готовность, читают запись на экране, предполагают: "Нужно превратить десятичную дробь в обыкновенную". |
2 мин | Учитель использует приём «Реальный контекст»: "Представьте, что вы сравниваете упаковки массой 0,75 кг и $\frac{3}{4}$ кг. Это одинаковые массы или только похожие записи? Обсудите ответ с соседом 30 секунд и сформулируйте общий вывод." | Обсуждают в парах, отвечают: "Записи обозначают одну и ту же величину, потому что $0,75=\frac{3}{4}$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна величина может иметь две формы записи. Сегодня выясним, как быстро выполнять такой перевод и всегда ли обыкновенную дробь можно записать конечной десятичной дробью."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о разрядах десятичной дроби, сокращении дробей и делении числителя на знаменатель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране числа $0,4$, $0,08$, $2,135$: "Назовите, сколько знаков после запятой у каждого числа и какой знаменатель соответствует десятым, сотым и тысячным. Почему число $0,4$ можно записать как $0,40$?" | Заполняют устно таблицу: $0,4$ — один знак и знаменатель 10; $0,08$ — два знака и знаменатель 100; $2,135$ — три знака и знаменатель 1000. Объясняют, что добавление нуля справа не меняет значение. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Быстрый круг»: "Сократите дроби $\frac{6}{10}$, $\frac{25}{100}$ и $\frac{125}{1000}$. Затем вспомните: как получить десятичную запись дроби $\frac{3}{4}$?" Учитель фиксирует разные способы на доске. | Решают в тетради, сверяют с соседом: $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$, $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, $\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$. Отвечают: "$3$ разделить на $4$, получим $0,75$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разряды и сокращение дробей. Теперь проверим, какой общий алгоритм позволит переводить любую конечную десятичную дробь."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и выдвинуть гипотезу о возможности обратного перевода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $0,6=\frac{6}{10}$, $0,25=\frac{25}{100}$, $0,125=\frac{125}{1000}$. Затем задаёт вопрос ТРИЗ «Наоборот»: "Мы умеем двигаться слева направо. А можно ли всегда двигаться справа налево? Например, превратить $\frac{7}{20}$ и $\frac{5}{12}$ в конечные десятичные дроби? Что может помешать?" | Сравнивают знаменатели, предполагают: "$\frac{7}{20}=0,35$, а $\frac{5}{12}$, вероятно, не даст конечной записи". Формулируют затруднение: "Нужно узнать признак возможности". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель, затем обсудите её в паре и предложите классу одну формулировку. В цели должен быть глагол действия и условие проверки." | Формулируют цель: "Научиться переводить десятичные дроби в обыкновенные и определять, можно ли обыкновенную дробь записать конечной десятичной". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужны алгоритм прямого перевода и признак обратного перевода. Давайте откроем их через наблюдение и проверку примеров."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы перевода и сформулировать признак конечной десятичной дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на экране разрядную модель: "Рассмотрим число $0,37$. В нём 37 сотых, поэтому $0,37=\frac{37}{100}$. Теперь число $1,205$ — это 1205 тысячных, значит $1,205=\frac{1205}{1000}$. Запишите: количество знаков после запятой показывает число нулей в знаменателе. После записи обязательно сокращаем дробь, если это возможно." | Записывают примеры, проговаривают алгоритм: "Убрать запятую, записать полученное число в числитель, в знаменателе поставить 1 и столько нулей, сколько знаков после запятой, затем сократить". |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Переведём $0,45$. Получаем $\frac{45}{100}$, сокращаем на 5 и получаем $\frac{9}{20}$. Проверьте обратным действием: $9:20=0,45$. Почему нельзя оставить только $\frac{45}{10}$?" | Отвечают: "Потому что в числе две цифры после запятой, это 45 сотых, а не 45 десятых". В парах проверяют запись делением. |
3 мин | Учитель предлагает исследование ТРИЗ «Разделение»: "Сравните знаменатели после сокращения: $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{5}{12}$. Разложите их на простые множители. Что общего у первых трёх?" | Работают в парах: $4=2^2$, $20=2^2\cdot5$, $8=2^3$, $12=2^2\cdot3$. Формулируют вывод: "Конечная десятичная дробь получается, если в несократимом знаменателе есть только множители 2 и 5". |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) убрать запятую и получить числитель; 2) в знаменателе записать 1 и столько нулей, сколько знаков после запятой; 3) сократить дробь; 4) проверить переводом обратно. Признак: несократимая обыкновенная дробь имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда её знаменатель не содержит простых множителей, кроме 2 и 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два правила и проверили их на примерах. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно, чтобы увидеть, где ещё возникают затруднения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перевода десятичных дробей и научиться обосновывать возможность обратного перевода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Выполните перевод и проговорите друг другу каждый шаг: $0,8$, $0,36$, $2,125$. Один ученик решает, второй проверяет по алгоритму, затем поменяйтесь ролями." | Решают: $0,8=\frac{8}{10}=\frac45$; $0,36=\frac{36}{100}=\frac9{25}$; $2,125=\frac{2125}{1000}=\frac{17}{8}$. Объясняют действия партнёру. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: "Проверьте, есть ли знаменатель нужной степени десяти, выполнено ли сокращение и сделана ли проверка. Запишите две сильные стороны и один совет." | Проверяют запись партнёра, отмечают правильный алгоритм и формулируют совет, например: "Не забудь сократить на 125". |
2 мин | Учитель задаёт задачу с реальным контекстом: "Лента имеет длину 0,75 м. Представьте эту длину обыкновенной дробью метра и объясните, почему это удобно при делении ленты на равные части." | Записывают $0,75=\frac{75}{100}=\frac34$ м, объясняют: "Ленту можно разделить на четыре равные части, каждая составляет $\frac14$ м". |
Эталон решения
$0,75=\frac{75}{100}$. Сокращаем числитель и знаменатель на 25: $\frac{75}{100}=\frac34$. Проверка: $3:4=0,75$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы не только получили ответы, но и объяснили алгоритм. Теперь каждый покажет, может ли выполнить перевод самостоятельно и определить границы применения правила."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Минимум: переведите $0,42$ и $1,6$. Базовый: дополнительно определите, имеют ли конечную запись $\frac7{25}$ и $\frac5{12}$. Повышенный: объясните без деления, почему $\frac{13}{40}$ имеет конечную запись, а $\frac{13}{30}$ — нет." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают все промежуточные действия и подчёркивают итог. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: "$0,42=\frac{42}{100}=\frac{21}{50}$; $1,6=\frac{16}{10}=\frac85$; $\frac7{25}=\frac{28}{100}=0,28$; у $\frac5{12}$ в знаменателе есть множитель 3; $40=2^3\cdot5$, $30=2\cdot3\cdot5$. Сверьте решения и поставьте знак: верно, нужна коррекция или требуется помощь." | Сверяют по эталону, исправляют ошибки другим цветом, отмечают результат на листе самооценки: "Могу сам", "Нужна подсказка" или "Пока затрудняюсь". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что прямой перевод уже получается уверенно. Ошибки чаще всего связаны с количеством нулей и сокращением, поэтому в конце ещё раз проверим именно эти шаги."
Этап 7. Включение знаний в систему и межпредметное применение (5 мин)
Цель этапа: применить признак и алгоритм в задаче с измерениями и связать математику с естественно-научным содержанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране схему измерения: "В лаборатории измерили длину растения — 0,625 м. Запишите её в виде обыкновенной дроби метра. Затем сравните с результатом другой группы — $\frac58$ м. Одинаковы ли измерения?" | Выполняют $0,625=\frac{625}{1000}=\frac58$, отвечают: "Измерения одинаковы". |
3 мин | Учитель применяет приём «ТРИЗ — идеальный конечный результат»: "Представьте, что прибор показывает только десятичные числа, а расчёт требует обыкновенные дроби. Какой минимальный алгоритм можно разместить на наклейке прибора? Сформулируйте его в трёх-четырёх коротких шагах." | В парах создают мини-алгоритм, выбирают точные формулировки: "Убрать запятую; поставить степень десяти; сократить; проверить". Две пары представляют варианты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили правило не только к учебным примерам, но и к измерению длины. Осталось зафиксировать, чему научились, и выбрать домашнюю практику."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры: "Заполните билет на выход: запишите один пример перевода десятичной дроби, один признак возможности конечной записи и ошибку, которую вы теперь умеете замечать. Прикрепите стикер в колонку «Уверенно», «Нужна тренировка» или «Нужна помощь»." | Заполняют билет: например, "$0,24=\frac6{25}$; в знаменателе должны быть только множители 2 и 5; нельзя забывать сокращение". Размещают стикер. |
1 мин | Учитель сообщает задание: "Выберите уровень, но обязательный минимум выполняют все. Перед уходом ответьте соседу на вопрос: почему $\frac5{12}$ нельзя записать конечной десятичной дробью?" | Фиксируют домашнее задание, отвечают: "После сокращения в знаменателе остаётся множитель 3". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, каждый перевод содержит знаменатель соответствующей степени десяти, дроби сокращены, а признак для обратного перевода объяснён.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка или пропущено сокращение в одном примере, но алгоритм и признак сформулированы верно.
- «3» — правильно выполнены не менее двух базовых переводов, но есть затруднение в сокращении или в объяснении возможности конечной десятичной записи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о переводе десятичной дроби в обыкновенную? | Выявление осознания алгоритма и роли степени десяти в знаменателе. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным? | Выявление точки затруднения: выбор знаменателя, сокращение или проверка. |
Почему $\frac7{20}$ можно представить конечной десятичной дробью, а $\frac5{12}$ нельзя? | Проверка понимания признака простых множителей знаменателя. |
Как вы проверяли правильность своего ответа? | Формирование навыка самоконтроля и обратного действия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за десятичной записью обыкновенную дробь и переводить её по понятному алгоритму. Важно помнить: количество знаков после запятой определяет знаменатель, а после этого дробь нужно сократить. Для обратного перевода проверяем, чтобы в несократимом знаменателе остались только множители 2 и 5. На следующем уроке мы продолжим сравнивать и выполнять действия с рациональными числами, используя оба вида записи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 переводов конечных десятичных дробей в обыкновенные: две с десятыми, две с сотыми и одну с тысячными; каждую дробь сократить и проверить. | Закрепляет алгоритм выбора знаменателя и сокращения; при проверке обратить внимание на количество нулей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на определение возможности конечной десятичной записи для обыкновенных дробей со знаменателями 8, 20, 25 и 12; для возможных дробей выполнить перевод. | Формирует умение раскладывать знаменатель на простые множители и применять признак 2 и 5. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о цене, длине или массе, в которой одна величина задана десятичной дробью, а ответ требуется представить обыкновенной дробью; добавить объяснение обратной проверки. | Развивает функциональную грамотность, моделирование и умение самостоятельно создавать математическую задачу. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как по числу знаков после запятой выбрать знаменатель?», «Зачем сокращать полученную дробь?», «Какие простые множители могут содержаться в знаменателе дроби с конечной десятичной записью?»
